تحويل كروسكاب إلى سطح بوي، عبر سطح ستاينر الروماني

تحويل كروس كاب إلى سطح بوي، عبر سطح ستاينر الروماني

كيفية تحويل كروس كاب إلى سطح بوي (يميني أو يساري، حسب الاختيار) من خلال سطح ستاينر الروماني.

27 سبتمبر 2003

الصفحة 4

يتم عرض النموذج من زاوية مختلفة:

اللوحة 14: نقوم بنفس العملية مرة أخرى، ونقوم بإنشاء "الأذن الثالثة" من منحنى التقاطع الذاتي. في الشكل الثلاثي الأبعاد، تأخذ هذه الشكل ثلاث مربعات تشارك رأسًا مشتركًا: النقطة الثلاثية T.

اللوحة 15: عند تدوير الجسم، تجد النسخة الثلاثية الأبعاد لسطح بوي الذي قدمته في "التوبولوجيكون" (حيث يوجد قطع يمكن استخدامها لبناءه).

اللوحة الأخيرة: حاولت رسم سطح ستاينر (من الدرجة الرابعة، بينما بوي من الدرجة السادسة) أثناء تقوسه وتغييره إلى سطح بوي.

من الواضح أن فهم هذا الجسم يتطلب مهارة كبيرة. عيننا تشعر بالارتباك عندما نحاول فهم كائن يحتوي على أكثر من طبقة واحدة على نفس خط الرؤية. لذلك، يُعد الشكل الثلاثي الأبعاد مفيدًا، لأنه يسمح للعامة بفهم التحولات المعقدة في الهندسة، طالما أن الأشخاص يبذلون جهدًا لبناء النماذج بأنفسهم. أثناء هذه العملية، لاحظنا أن الاختيار بين زوج من النقاط الحادة ينتج سطح بوي "يميني" أو "يساري" (كلمة عشوائية). يُغمر مستوى المشروع بشكلين "متشابهين" بشكل مقلوب. من الواضح أنه يمكن الانتقال من سطح بوي يميني إلى سطح بوي يساري عبر نموذج "مركزي" وهو سطح ستاينر الروماني.

من المرجح أن يكون من الرائع نشر هذه الرسومات في مجلة "Pour la Science" أو "La Recherche". ولكن منذ عشرين عامًا، تم منعي من النشر في هذه المجلات بسبب "الانحراف" المرتبط بالكائنات الطائرة. شكرًا لك يا سيد هيرفيه ثيس وفيليب بولانجر. لا أحسب عدد المقالات التي أرسلتها لهذه المجلات والتي تم إرجاعها بلطف. في النهاية، اعتدت على وضعية المُطرود.

بشكل ملحوظ، هناك في فرنسا "جائزة ألمبيرت" مخصصة لتكريم مؤلفي الكتب الترويجية في الرياضيات. أخبرتني القصة من قبل عضو في اللجنة المُكلفة بتحديد من سيحصل على الجائزة (هناك بعض المال في المقدمة). حوار:

• ولكن ألا يمكننا منح جائزة بيتت؟ لقد قدم أعمالًا مميزة مثل "الهندسيكون"، "الثقب الأسود"، و"التوبولوجيكون".

• نعم، لكنه لم يكتب فقط هذه الكتب.

• ما الذي تقصد؟

• لقد كتب أيضًا "جدار الصمت".

• أه، في هذه الحالة...

نعم، "جدار الصمت"، الذي صدر في عام 1983، هو ألبوم مخصص للهيدروديناميكا المغناطيسية. وكما يعلم الجميع، هذه العلوم المثيرة للجدل تُعتبر قادرة على تمكين المركبات الطائرة من التحرك بسرعة فائقة دون إحداث صوت.

خفي هذه العلوم، فلن أراها أبدًا

لدي في مخزوني نسخة رائعة من "قلب المكعب" مع نموذج مركزي جميل، وهو ليس النسخة الثلاثية الأبعاد من نموذج مورين. كل شيء من إبداعي. في يوم من الأيام... .

22 أكتوبر 2003: لا يزدحمون بهذه الصفحات، إذا صدقنا عدد العداد. قدّمت يوم الاثنين 13 أكتوبر 2003 محاضرة في CMI (مركز الرياضيات والحاسوب في شاتو غومبرت-مارسيليا) بدعوة من تروتمن. في هذه المناسبة، تمكّنت من عرض مجموعة من ثلاثين نموذجًا من الورق المقوى، والتي ستكون مقدمة لأول مرة قريبًا، وقد تم تصويرها بواسطة كريستوف تاردي.

عند تقديم محاضرة، تتشكل جو معين. في الصورة التالية، جغرافي يعبر عن حيرته.

في الخلفية، جزء من النماذج المعروضة. في لحظة ما، طرحت السؤال:

*- من بينكم من رأى سطح ستاينر الروماني من قبل؟ رفعوا أيديكم. *

لم يكن أحد قد رآه من قبل. لذلك قررت تقديم هذا الكائن، الذي هو في الواقع افتراضي، على جهاز الحاسوب المحمول الذي جلبته، وهو تم إنشاؤه بمساعدة كريستوف تاردي، مهندس، وفريديريك ديسكامب، من معهد لاو لانغفين في غرانون (ILL). من الواضح أن هذه العرض أربك الحضور، الذين لم يعتادوا رؤية الأسطح الرياضية تتحرك بحرية.

لوحتان من الورق المقوى، مرئيتان في المقدمة، ساعدت في عرض باقي النماذج في تسلسل منطقي. النماذج "الخضراء والصفراء" توضح، بشكل ثلاثي الأبعاد، الأداة الأساسية لخلق أو إلغاء زوج من النقاط الحادة. الجسم الأبيض الأبعد هو نسخة ثلاثية الأبعاد من كروس كاب، والتي تتحول أولًا إلى نسخة ثلاثية الأبعاد من سطح ستاينر الروماني، ثم إلى سطح بوي "يميني" أو "يساري" حسب الرغبة، مسافة متر واحدة بعيدًا.

تحليل النماذج أدى إلى ظهور ملاحظات مختلفة من الحضور. سأل أحد الجغرافيين:

*- إذا، بالسير عبر النماذج في هذا الاتجاه، يمكننا الانتقال من كروس كاب إلى بوي، فهل من الممكن، بالسير في الاتجاه المعاكس، تحويل بوي إلى كروس كاب؟ *

أجبت بنعم. شجعًا، أضاف مُحدثي:

*- إذا، عند الوصول إلى مرحلة سطح ستاينر الروماني، ووقفنا هناك، فهذا يسمح لنا بالعودة إلى سطح بوي مقلوبًا. *

أيدت مرة أخرى. ولكن للأسف، لن يتطوع أحد لتقديم توضيحات حول هذا العالم الغريب حيث يتم تزويدها بنقاط حادة، تُنشئ أو تُلغي بزوج، مما يشكل نوعًا من توسيع لعالم الانغماسات. يبدو لي أن كلمة "الانغماسات" مناسبة. إذا وجد قارئ توضيحات، فسيكون مرحّبًا بها.

انحناء مركّز في نقطة حادة

سنحسبه بجمع الزوايا في الرأس ومقارنتها بمجموع الزوايا الإقليدية: 2π.

في الأعلى واليسار، تم عرض أحد التمثيلات متعددة الوجوه لنقطة حادة. تفكيك الجسم (في اليمين) يؤدي إلى مجموع يتجاوز المجموع الإقليدي 2π بقيمة 2α. نستنتج من ذلك أن الانحناء الزاوي المركّز بالقرب من هذه النقطة C هو -2α. إذا كانت الزاوية α تساوي π/2، فإن الانحناء السلبي يساوي c (الشكل في الأسفل واليسار). في الواقع، يمكن لانحناء مركّز في نقطة حادة أن يأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم. في الأسفل واليمين، نزيد مجموع الزوايا ونلاحظ أن الانحناء يجب أن يكون أقل من 2α. نزيد من الانحناء السلبي.

عند العمل بطريقة عكسية، يمكن أن نصل إلى موقف مثير للدهشة: جعل الانحناء (الزاوي) المركّز في C ... صفرًا:

يمكننا الآن البدء من تمثيل ثلاثي الأبعاد لكروس كاب يحتوي على نقطتين حادتين، كل منهما يحمل انحناءًا سلبيًا قدره -π:

هناك ثمانية "نقاط موجبة" تقابل قيمة +π/2. نضيف أربع "نقاط موجبة" أخرى بانحناء +π/4 وأربع "نقاط سلبية" بانحناء -π/4.

إضافة إلى النقطتين الحادتين بانحناء -π.

المجموع الكلي: 2π

عند قسمة الانحناء الكلي على 2π نحصل على خاصية أويلر-بونكارé.