تحويل كروسكاب إلى سطح بوي عبر سطح ستاينر الروماني

تحويل كروس كاب إلى سطح بوي، عبر سطح ستاينر الروماني

كيفية تحويل كروس كاب إلى سطح بوي (يميني أو يساري، حسب الاختيار) من خلال سطح ستاينر الروماني.

**27 سبتمبر 2003 **

الصفحة 4

يتم تقديم النموذج من زاوية أخرى:

اللوحة 14: نعيد نفس العملية بإنشاء "الأذن الثالثة" من منحنى التداخل الذاتي. في الشكل المكعب، تأخذ هذه الشكل ثلاث مربعات لها قمة مشتركة: النقطة الثلاثية T.

اللوحة 15: عند دوران الجسم، تجد نفسك تعيد اكتشاف النموذج المكعب لسطح بوي الذي قدمته وعرضته في "التوبيولوجيكون" (حيث يتوفر قطع مخصصة لبناءه).

اللوحة الأخيرة: حاولت رسم سطح ستاينر (من الدرجة الرابعة، بينما بوي من الدرجة السادسة) وهو ينحني ويتحول إلى سطح بوي.

يمكن ملاحظة أن في "الشكل الدائري" من الضروري امتلاك مهارة كبيرة لفهم الكائن. عيننا تشعر بالارتباك عندما يتعلق الأمر بفهم كائن حيث تتطابق أكثر من طبقة واحدة على نفس خط الرؤية. لذلك فإن الفائدة من الشكل المكعب تكمن في جعل التحولات التي تُعتبر معقدة في الهندسة متاحة للجميع، حيث يبذل الأشخاص جهدهم لبناء النماذج بأنفسهم. في هذه العملية، لاحظنا أن الاختيار بين أزواج النقاط الحادة ينتج عن سطح بوي "يميني" أو "يساري" (كلمات عشوائية تمامًا). يغمر المستوى المشروع بتمثيلين "معاكسين" في المرآة. يمكن ملاحظة أنه من الممكن الانتقال من سطح بوي يميني إلى سطح بوي يساري من خلال نموذج "متوسط" وهو سطح ستاينر الروماني.

من المؤسف أن هذه الرسومات قد تُنشر في مجلة "Pour la Science" أو "La Recherche". لكن منذ عشرين عامًا، أنا محظور من النشر في هذه المجلات بسبب ادعاءات غير مقبولة عن الطائرات المُحلقة. شكرًا لك يا سيد هيرفيه ثيس وفيليب بولانجر. لا أحسب عدد المقالات من هذا النوع التي أرسلتها لهذه المجلات والتي تم إرجاعها بلطف. تعودنا في النهاية على وضعية المُطرود.

بشكل ملحوظ، هناك في فرنسا "جائزة ألمبيرت" مخصصة لتكريم مؤلفي الكتب الترويجية في الرياضيات. أخبرتني هذه القصة من قبل عضو في اللجنة المكلفة بتحديد من سيحصل على الجائزة (هناك بعض الأموال في المقدمة). حوار:

• ولكن في النهاية، هل لا يمكننا منحه الجائزة؟ لقد قدم أعمالًا مميزة مثل "الهندسية" و"الثقب الأسود" و"التوبيولوجيكون".

• نعم، لكنه لم يكتب فقط هذه المجلات.

• ما الذي تقصد؟

• لقد كتب أيضًا "جدار الصمت".

• أه، في هذه الحالة...

نعم، "جدار الصمت"، الذي صدر في عام 1983، هو ألبوم مخصص لعلم MHD. وكما يعلم الجميع، هذه العلوم المثيرة للجدل لها قدرة أو مكر يسمح للطائرات المُحلقة بالتحرك بسرعة فوق الصوتية دون صوت انفجار.

خفي هذه العلوم، لا أستطيع رؤيتها

لدي في مخزوني نسخة رائعة من "عكس المكعب" مع نموذج مركزي جميل، وهو ليس النسخة المكعبة من نموذج مورين. كل شيء من إبداعي. في يوم من الأيام....

22 أكتوبر 2003: لا يزدحمون هذه الصفحات، إذا صدقنا عدد العداد. قدّمت يوم الاثنين 13 أكتوبر 2003 محاضرة في CMI (مركز الرياضيات والحاسوب في شاتو غومبرت-مارسيليا) بدعوة من تروتمن. في هذه المناسبة، تمكّنت من عرض مجموعة من ثلاثين نموذجًا من الورق المقوى، وستكون أول من يرى هذه النماذج، حيث تم تصويرها بواسطة كريستوف تاردي.

عندما تقدم محاضرة، تتشكل جو معين. في الصورة التالية، عالم رياضيات يعبر عن حيرته.

في الخلفية، جزء من النماذج المُعرضة. في أحد اللحظات، طرحت السؤال:

*- من بينكم من رأى سطح ستاينر الروماني من قبل؟ ارفعوا أيديكم. *

لم يكن أحد قد رآه من قبل. لذلك قررت تقديم الكائن، الذي هو في الواقع افتراضي، على الحاسوب المحمول الذي جلبه، وهو كائن تم إنشاؤه بمساعدة كريستوف تاردي، مهندس، وفرانسيس ديسكامب، من معهد لاو لانغفين في غرنايل (ILL). يبدو أن هذه العرضة أربكت الحضور، الذين لا يعتادون رؤية الأسطح الرياضية تتحرك بحرية.

نوعان من الألواح الورقية، مرئيتان في المقدمة، ساعدتا في عرض باقي النماذج في تسلسل منطقي. النماذج "الخضراء والصفراء" تُظهر، في الشكل المكعب، الأداة الأساسية لإنشاء أو إلغاء زوج من النقاط الحادة. الكائن الأبيض الأبعد هو نموذج مكعب لـ كروس كاب، والذي يتحول أولًا إلى نموذج مكعب لسطح ستاينر الروماني، ثم إلى سطح بوي "يميني" أو "يساري" حسب الرغبة.

تحليل النماذج يُثير ملاحظات مختلفة من الحضور. أحد علماء الرياضيات يسأل:

*- إذا، من خلال متابعة النماذج في هذا الاتجاه، يمكننا الانتقال من كروس كاب إلى بوي، يبدو أن العكس يمكن أن يسمح بتحويل بوي إلى كروس كاب. *

أجيب بنعم. شجعًا، يضيف مُحدثي:

*- إذا، عند الوصول إلى مرحلة سطح ستاينر الروماني، نتوقف، فإننا نتمكن من العودة إلى سطح بوي في المرآة. *

أوافق مرة أخرى. ولكن للأسف، لن يتطوع أحد لتقديم توضيحات حول هذا العالم الغريب حيث نُزود انغماسات أسطح مغلقة بنقاط حادة، تُخلق أو تُلغى بأزواج، مما يشكل نوعًا من توسيع عالم الانغماسات. يبدو لي أن كلمة "الانغماسات" مناسبة. إذا وجد قارئ توضيحات، فسيكون مرحّبًا بهم.

انحناء مركّز في نقطة حادة

سيتم حسابه بجمع الزوايا في القمة ومقارنتها بمجموع الزوايا الإقليدية: 2π.

في الأعلى واليسار، تم عرض إحدى التمثيلات المتعددة للنقطة الحادة. "تفكيك" الكائن (في اليمين) يؤدي إلى مجموع يتجاوز المجموع الإقليدي 2π بمقدار 2α. نستنتج من ذلك أن الانحناء الزاوي المركّز بالقرب من هذه النقطة C هو -2α. إذا كانت الزاوية α تساوي π/2، فإن الانحناء السلبي يساوي c (الشكل في الأسفل واليسار). في الواقع، يمكن أن يكون الانحناء المركّز في نقطة حادة عددًا لا نهائيًا من القيم. في الأسفل واليمين، نزيد مجموع الزوايا وانحناءة الانحناء يجب أن تكون أقل من 2α. نزيد من الانحناء السلبي.

عند العمل بشكل عكسي، يمكن أن نصل إلى حالة مذهلة: جعل الانحناء (الزاوي) المركّز في C ... صفرًا:

يمكننا الآن البدء من تمثيل مكعب لكروس كاب حيث تظهر نقطتان حادتان، كل منهما يحمل انحناءًا سلبيًا يساوي -π:

هناك ثمانية "نقاط موجبة" تتوافق مع قيمة +π/2. نضيف أربع "نقاط موجبة" أخرى بانحناء +π/4 وأربع "نقاط سلبية" بانحناء -π/4.

إضافة إلى النقطتين الحادتين بانحناء -π.

المجموع الكلي: 2π

عند قسمة الانحناء الكلي على 2π نحصل على خاصية أويلر-بونكارé.