نموذج مركزي (متعدد الوجوه) لعكس مكعب
نموذج مركزي لعكس المكعب
31 ديسمبر 2001
لقد شاهدتم جميعًا بشكل لا ينتهي، كائن غريب يدور على الجانب الأيسر من الصفحة الرئيسية للموقع. ماذا يقصد؟
في يوم ما، عندما أحصل على وقت، سأقوم بتثبيت وصف لعكس الكرة على الموقع، كما قمت بشرحه في العدد من يناير 1979 من مجلة "Pour la science"، أي قبل ... 22 عامًا. هذا سيتطلب بالتأكيد العديد من التفاصيل والمقدمة. ما معنى عكس الكرة؟ الكرة ليست ذات معنى واحد للشخص العادي وللعالم الرياضي-الهندسي. بالنسبة للشخص العادي، تُعرَّف الكرة بأنها، في فضاء ثلاثي الأبعاد، مجموعة النقاط التي تبعد مسافة R عن نقطة ثابتة O. سيستمر الهندسي في تسمية "كرة" كائنًا يتوافق مع "كرة مُغيَّرة"، نوع من "بطاطة". لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصل على قرص Lanturlu الذي يحتوي على القصة المصورة "Le Topologicon". لكن العالم الرياضي يذهب أبعد من ذلك. عندما تُعتبر سطحًا "منتظمًا"، يمكننا في كل نقطة من نقاطه تحديد مستوى مماس. هذا يسمح بالتفكير في عدد لا نهاية له من التغيرات للكرة الأصلية إلى عدد لا نهاية له من "البطاطات"، عندما يمكن أن تكون مساحة السطح أي شيء. ومع ذلك، في "عالم فيزيائي"، الشخص الذي يغيّر الكرة سيواجه صعوبة في جعلها تمر عبر نفسها. إذا كان منع هذه المرور أو حتى اللمس، نتحدث عن "الغمر" للكرة S2. لكن العالم الرياضي يمنح لنفسه كل الحقوق. الكرة بالنسبة له كائن "افتراضي" حيث تصبح مرور الطبقات ممكنة. يظهر الرسم التالي كرة قد "عبرت نفسها". تُسمى هذه التمثيل للكرة "الانغماس".
الانغماس يحتوي على مجموعة من التقاطعات الذاتية (في هذه الحالة، منحنى دائري بسيط). يجب أن يتغير مستوى المماس بشكل مستمر. ومع ذلك، عندما ننظر إلى الرسومات أعلاه، نرى أن العملية تدور جزءًا (مُمثلاً باللون الأخضر) من داخل الكرة إلى الخارج. لإكمال هذا الانعكاس، يجب أن نضغط على هذا النوع من "الأنبوب الاستوائي". يبدو هذا الأمر في البداية مثيرًا للجدل. هذا الضغط سيُعطل استمرارية مستوى المماس. وبالتالي، ستكون هذه العملية مرحلة ليست انغماسًا.
في يوم من الأيام، قام عالم رياضيات أمريكي، ستيفن سمايل، بإثبات أن "الكرة S2 تمتلك فئة واحدة فقط من الانغماس". كان الاستنتاج من هذه الجملة الغامضة هو أنه يمكننا ربط تسلسل من الانغماسات للكرة لتحويلها من "الكرة القياسية" إلى تمثيلها "المقابل"، أي التي تم فيها استبدال كل نقطة بـ "نقطة متقابلة". بمعنى آخر، كرة مقلوبة. كان راؤول بات مشرف سمايل. بينما كانت إثباتات سمايل، المجردة تمامًا، تبدو بلا عيوب، لم يكن أحد يرى كيف يمكن تنفيذ العملية. كان بات يقول باستمرار لسمايل "أظهر لي كيف تخطط لإجراء ذلك"، والرد الذي قدمه سمايل مع شعره الشهير كان "لا أملك أي فكرة". لاحقًا، حصل سمايل على ميدالية فيلد، وهي مكافأة تشبه جائزة نوبل، لكن في الرياضيات. في هذه الأثناء، قد تتساءل لماذا لم يرغب نوبل أبدًا في إنشاء جائزة نوبل للرياضيات. الجواب بسيط: زوجته غادرت مع رجل رياضيات.
ظل الوضع على حاله لسنوات عديدة حتى قام عالم رياضيات أمريكي يُدعى أنطوني فيليبس بنشر نسخة أولية من هذا الانعكاس في مجلة "Scientific American" في عام 1967، وكانت مثيرة للقلق للغاية. تم اختراع النسخة الثانية في أوائل السبعينيات من قِبل عالم الرياضيات الفرنسي (العمي) بيرنارد مورين. كنت أول من رسم هذه السلسلة من التحولات التي سأتحدث عنها في مقال قادم على الموقع، وهو مقال مكثف إلى حد ما. ومع ذلك، نصل إلى استنتاج فرعي. يمكن للسطوح أن تُمثل بشكل متعدد الوجوه. يمكن اعتبار مكعب أو رباعي السطوح كتمثيلات متعددة الوجوه للكرة، طالما أن هذه الأشياء تمتلك نفس "الهندسة التفاضلية". في هذا الصدد، راجع قصتي المصورة "Le Topologicon". علاوة على ذلك، من الممكن فهم أن إذا كان من الممكن عكس الكرة، فمن الممكن أيضًا عكس المكعب. التحول الذي اخترعه بيرنارد مورين (وقد قمت بشرحه في مقال يناير 1979 من "Pour la science") يمر عبر نموذج مركزي. هناك تناظر في هذه السلسلة. يُسمى هذا "النموذج المركزي بـ أربعة أذنين". مرة أخرى، أتنبأ. ولكن تمامًا كما يمكن للكرة أن تُمثل بشكل متعدد الوجوه، يمكن أيضًا تمثيل مراحل التحولات التالية بشكل متعدد الوجوه. الكائن الذي تراه يدور على صفحتي الرئيسية هو نسخة متعددة الوجوه من النموذج المركزي لعكس الكرة، نموذج اخترعته قبل حوالي عشر سنوات. فائدة هذه النماذج المتعددة الوجوه هي أنها يمكن بناؤها باستخدام أسطح مسطحة. يمكن حتى ترتيبها وفقًا لقطع معينة. نظّر إلى الرسم التالي (أود أن أشكر في هذه المناسبة صديقي كريستوف تاردي، الذي أنتج العناصر المُقاسة بشكل صحيح).
**هذا رسم يخرج على طابعة بحجم صغير، غير قابل للاستخدام. **
لطباعة هذه الصورة على ورقة A4
يجب أن تقوم بنسخ أربع نسخ على ورقة A4 قوية، نسختين من لون واحد، ونسختين من لون آخر
هذا هو قطع عرض عام. ولكن من الأفضل أن تنتقل إلى الصفحة قطع لطباعته. اطبعها. ثم، باستخدام نسخة مطبوعة على الورق العادي من طابعتك، اذهب إلى مكتب نسخ وقم بعمل أربع نسخ متطابقة من هذا الرسم، نسختين على ورقتين من الورق المقوى الأخضر، ونسختين على ورقتين من الورق الأصفر. ستكون قادرًا، باستخدام هذا القطع، على بناء النموذج المركزي لعكس المكعب.
لديكم على هذه العناصر المقطعة أزواج من الحروف: a، b، c، d، e، f إلخ... ما عليك سوى إجراء طيّات بحيث تتطابق الحروف نفسها، ثم تجميع هذه الأوجه باستخدام شريط لاصق شفاف. الرسوم التالية توضح كيفية تركيب أحد العناصر الأربعة. إليك أول ما يجب أن تبدأ به طي أحد العناصر الأربعة:
هناك عنصرين من هذه العناصر الأربعة، مرئيين من زوايا مختلفة.
ثم يتم تجميعها لتصبح كائنًا يمتلك تناظرًا من الدرجة الرابعة أو تتناوب عناصر خضراء وعناصر صفراء. لرؤيتها في 3D، اذهب إلى مراجعات السيد تاردي، في "الواقع الافتراضي". يتم إنتاج النموذج المركزي المُجمع بالكامل أيضًا في "vrml" في هذه القسم. إليك هذا الكائن، مرئي من زوايا مختلفة:
لا يمكن القول إن إحدى الرؤى تتوافق مع "ال أعلى" والأخرى مع "الأسفل"، لأن هذه التسميات ستكون تمامًا عشوائية. في الرؤية اليسرى، النقطة "المركزية" تتوافق مع "النقطة المزدوجة" (حيث...