نموذج مركزي (متعدد الوجوه) لانعكاس المكعب
نموذج المكعب المركزي للانعكاس
31 ديسمبر 2001
لقد شاهدتم جميعًا بشكل لا ينتهي كائن غريب يدور على الجانب الأيسر من الصفحة الرئيسية للموقع. ماذا يقصد؟
في يوم ما، عندما أجد وقتًا، سأضع على الموقع وصفًا لانعكاس الكرة، كما قمت بشرحه في عدد يناير 1979 من مجلة "Pour la science"، أي منذ ... 22 عامًا. هذا سيتطلب بالطبع العديد من التفاصيل والمقدمة. ما معنى انعكاس الكرة؟ الكرة ليست ذات معنى واحد للرجل العادي والرياضياتي-الهندسي. بالنسبة للرجل العادي، الكرة تُعرف بأنها مجموعة النقاط التي تبعد مسافة R عن نقطة ثابتة O في الفضاء ثلاثي الأبعاد. سيستمر الهندسي في تسمية "كرة" كائنًا يتوافق مع "كرة مُعَدَّلة"، نوع من "بطاطة". لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصل على قرص Lanturlu الذي يحتوي على القصة المصورة "Le Topologicon". ولكن الرياضياتي يذهب أبعد من ذلك. عندما تُسمى سطح "منتظم"، يمكننا في كل نقطة من نقاطه تحديد مستوى مماس. هذا يسمح بالفعل بالتفكير في عدد لا نهائي من التغيرات لـ "الكرة الأصلية" إلى عدد لا نهائي من "البطاطات"، عندما يكون مساحة هذا السطح أيًا كان. ومع ذلك، في "عالم فيزيائي" سيواجه الشخص الذي يغير الكرة صعوبة في جعلها تمر عبر نفسها. إذا كان منع هذه التداخلات أو حتى الاتصالات، فسنتحدث عن "الانغماسات" للكرة S2. ولكن الرياضياتي يمنح لنفسه كل الامتيازات. الكرة، بالنسبة له، كائن "افتراضي" حيث تصبح التداخلات ممكنة. تظهر الصور التالية كرة تمر نفسها. نسمّي هذه التمثيل للكرة "انغماسًا".
يحتوي الانغماس على مجموعة من التداخلات الذاتية (في هذه الحالة منحنى دائري بسيط). يجب أن يتغير مستوى المماس بشكل مستمر. ومع ذلك، عندما ننظر إلى الصور أعلاه، نرى أن العملية تدور جزءًا (مُمثلاً باللون الأخضر) من داخل الكرة إلى الخارج. لاستكمال هذا الانعكاس، يجب أن نضغط على هذا النوع من "الأنابيب الاستوائية". يبدو هذا الأمر في البداية مثيرًا للجدل. سيؤدي هذا الضغط إلى كسر استمرارية مستوى المماس. وبالتالي، ستكون هذه العملية مرحلة لا تُعتبر انغماسًا.
في يوم ما، أثبت رياضياتي أمريكي يُدعى ستيفن سمايل أن "الكرة S2 تملك فئة واحدة من الانغماسات". كان نتائج هذه الجملة الغامضة أننا يجب أن نتمكن من تسلسل سلسلة من الانغماسات للكرة تسمح بالانتقال من "الكرة القياسية" إلى تمثيلها "المقابل"، أي التي تم استبدال جميع نقاطها بـ "نقيضها". بمعنى آخر، كرة مقلوبة. كان راؤول بات عالم سمايل. بينما كانت إثباتات سمايل، بشكل فردي، تبدو خالية من الأخطاء، لم يكن أحد يرى كيف يمكن تنفيذ هذه العملية. كان بات يقول باستمرار لسمايل "أظهر لي كيف تخطط لإجراء ذلك"، والجواب الذي أعطاه سمايل، مع شعره المعروف على لسانه، كان "لا أعرف شيئًا عن ذلك". حصل سمايل لاحقًا على ميدالية فيلد، المعادلة لجائزة نوبل، ولكن في الرياضيات. في هذه الأثناء، قد تتساءل لماذا لم يرغب نوبل أبدًا في إنشاء جائزة نوبل للرياضيات. الجواب بسيط: زوجته غادرت مع رياضياتي.
ظل الأمر على حاله لسنوات عديدة حتى نشر رياضياتي أمريكي يُدعى أنطوني فيليبس في عام 1967 نسخة أولية من هذا الانعكاس في مجلة "Scientific American"، وهي مثيرة للقلق للغاية. كانت الثانية مبتكرة في أوائل السبعينيات من قِبل الرياضياتي الفرنسي (العمي) بيرنارد مورين. كنت أول من رسم هذه السلسلة من التحولات التي ستكون موضوع مقالة قادمة على الموقع، وهي كثيرة بالفعل. في كل الأحوال، هذا يقودنا إلى استنتاج فرعي. يمكن تمثيل الأسطح بشكل متعدد الوجوه. يمكن اعتبار المكعب أو الهرم الثلاثي كتمثيلات متعددة الوجوه للكرة، طالما أن هذه الأشياء تملك نفس الטופولوجيا. في هذا الصدد، راجع قصتي المصورة "Le Topologicon". علاوة على ذلك، من الممكن فهم أن الانعكاس يمكن أن يتم على الكرة، ويمكن أيضًا أن يتم على المكعب. التحول الذي ابتكره بيرنارد مورين (وقد قمت بتصويره في مقال يناير 1979 من مجلة "Pour la Science") يمر عبر نموذج مركزي. هناك توافق في هذه السلسلة. يُسمى هذا "النموذج المركزي بأربع أذنين". مرة أخرى، أتنبأ. ولكن تمامًا كما يمكن للكرة أن تُمثل بشكل متعدد الوجوه، يمكن أيضًا تمثيل مراحل التحولات التالية. الكائن الذي تراه يدور على صفحتي الرئيسية هو النسخة متعددة الوجوه من النموذج المركزي لانعكاس الكرة، نموذج ابتكرته منذ حوالي عقد من الزمن. فائدة هذه النماذج متعددة الوجوه هي أنها يمكن بناؤها باستخدام أسطح مسطحة. يمكن حتى ترتيبها وفقًا لقطع معينة. نظّر إلى الرسم التالي (وأود أن أشكر في هذه المناسبة صديقي كريستوف تاردي، الذي أنتج العناصر المُقاسة بشكل صحيح).
**هذا رسم سيخرج من طابعتك بحجم صغير، غير قابل للاستخدام. **
لطباعة هذه الصورة على ورقة A4
يجب أن تطبع أربع نسخ على ورقة A4 قوية، وورقتين بلون واحد، وورقتين بلون آخر
هذا هو قطع مخطط يعرض لك لمحة عامة. ولكن لطباعته، من الأفضل أن تنتقل إلى الصفحة القطع. اطبعها. ثم، باستخدام هذا النسخة المطبوعة على الورق العادي من طابعتك، اذهب إلى مكتب تصوير وقم بعمل أربع نسخ مماثلة لهذا الرسم، اثنتين على ورقتين من الورق المقوى الأخضر، واثنتين على ورقتين من الورق الأصفر. ستكون قادرًا، باستخدام هذا القطع، على بناء النموذج المركزي لانعكاس المكعب.
لديك، على هذه العناصر المقطعة، أزواج من الحروف: a، b، c، d، e، f، إلخ... ما عليك سوى تطبيق طيّات تجعل الحروف نفسها متطابقة، ثم تجميع هذه الوجوه باستخدام شريط لاصق شفاف. توضح الصور التالية الطريقة التي يجب اتباعها لتركيب أحد العناصر الأربعة. إليك أول خطوة في طي أحد العناصر الأربعة:
هذان من العناصر الأربعة، رؤيتان من زوايا مختلفة.
بعد ذلك، تُركّب هذه العناصر لتصبح كائنًا يملك تناظرًا من الدرجة الرابعة أو يتبادل عناصر خضراء وصفراء. لرؤية هذا في 3D، اذهب وانظر إلى إنجازات السيد تاردي في "الواقع الافتراضي". يتم إنتاج النموذج المركزي المُركّب تمامًا أيضًا في "vrml" في هذه القسم. إليك هذا الكائن، مُشاهدًا من زوايا مختلفة:
لا يمكن القول إن إحدى الرؤى تتوافق مع "العلوي" والأخرى مع "السفلي" لأن هذه التسميات ستكون تمامًا عشوائية. في الرؤية اليسرى، النقطة "المركزية" تتوافق مع "النقطة المزدوجة" (حيث...)