كيف تحول قبعة متصالبة إلى سطح بويه (يمينًا أو يسارًا، حسب اختيارك) مرورًا بسطح شتاينر الروماني.
27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003
الصفحة 2
ها هي قبعة متصالبة (كما ستكتشفها في صور الواقع الافتراضي). تحتوي على نقطتين حديتين تحدّان خط تقاطع ذاتي. يمكن صنعها بقرط بالون بمكواة تجعيد. لكن يمكنك أيضًا بناء تمثيلات متعددة السطوح لها. تلك الموجودة في الأسفل ستعنينا بشكل خاص.
في هذه اللوحة 4 تكمن اللحظة الأصعب استيعابًا. يبدو لي شبه مستحيل أن يفهم أي شخص عادي هذه الأشكال بمجرد النظر إلى الرسومات. ابنِ هذه المجسمات. بصراحة، نسحب النقطة الحدية C2 نحو "داخل السطح" (وهو ما لا معنى له في المناسبة، لأنك لاحظت بلا شك فورًا أن القبعة المتصالبة أحادية الجانب). بالإصرار، يعبر السطح نفسه ويكتمل مجموعة التقاطع الذاتي، بشكل "مستدير"، بمنحنى على شكل 8. تنشأ في الأثناء نقطة ثلاثية T.
السطح أكثر قابلية للفهم في شكله متعدد السطوح، وفي الأسفل قمنا بتكبير بعض العناصر لنُظهر ما يدفعنا إلى تحويل هذا الجسم إلى سطح شتاينر الروماني (انظر الواقع الافتراضي) الذي يتمثل أبسط شكل متعدد السطوح له في تجميع أربعة مكعبات (هنا لا نرى سوى ثلاثة).
اللوحة 5: متعدد السطوح على اليسار، والمستدير على اليمين. السهم يسلك ممرًا سنقوم "بقرصه". في الأسفل بداية القرص.
اللوحة 6: تم تنفيذ القرص بإنشاء نقطة شاذة B. في الواقع، بما أننا نقرص من الجانبين، اختصارًا للوقت، تتشكل نقطتان شاذتان S1 وS1 ثم زوجان من النقاط الحدية. هنا، بدون ورق مقوى ومقص وشريط لاصق، ستكون في ورطة.
اللوحة 7: قمنا ببساطة بتهجير النقاط الحدية المختلفة. إذا كانت النقطة C2 "بديهية"، فستجد صعوبة أكبر في تحديد النقطتين C3 وC4 كنقطتين حديتين. ومع ذلك فهما موجودتان في نهاية خط تقاطع ذاتي. فوق النقطة C3 توجد ببساطة ما أسميته "بوزيكورن"، وهي نقطة تركيز انحناء موجب (نقطة تركيز انحناء سالب هي "نيغاكورن"). بتشويه هذا الجسم قليلًا نصادف شكلًا متعدد السطوح لسطح شتاينر الروماني (سطح من الدرجة الرابعة اخترعه شتاينر في روما. انظر عرضه في الواقع الافتراضي).
إذن، تم الأمر. توجد أنواع مختلفة من الأسطح، وفقًا للقواعد التي نفرضها على أنفسنا. الأسطح التي لا تتقاطع مع نفسها تسمى غمرًا (للكرة، للطارة في R3). عندما تتقاطع لكن المستوى المماس يتغير باستمرار تسمى غمرًا. مثال: زجاجة كلاين في تمثيلها الكلاسيكي. لا يوجد في R3 تمثيل لزجاجة كلاين في شكل غمر. إنها تتقاطع مع نفسها بالضرورة. تمتلك الأغمار مجموعات تقاطع ذاتي خالية من النقاط الحدية. هذه المنحنيات متصلة لكن يمكنها أن تتقاطع حيث توجد نقاط مزدوجة أو ثلاثية. ملاحظة: يمكن أن تظهر الكرة في شكل غمر، بجعلها ببساطة تتقاطع مع نفسها. وبهذه الطريقة على وجه التحديد نتمكن من قلبها (A.Phillips، 1967، مع غطاء من طبقتين لسطح بويه كمرحلة مركزية؛ B.Morin وJ.P.Petit، 1979 مع نموذج مورين ذي الأذنين الأربع كنموذج مركزي، وهذا تمثيل متعدد السطوح له اخترعته منذ نحو عشر سنوات.
مخطط لتجميع هذا الجسم بمساعدة قطع
إذا وسّعنا قاعدة اللعبة بافتراض أن هذه الأجسام تمتلك نقاطًا حدية نحصل على أغمار (القبعة المتصالبة، سطح شتاينر الروماني). لا أعرف إن كانت هذه هي الكلمة الدقيقة، لكن بما أنني لم أجد أي رياضي يمكنه أن ينيرني وجدت من الممتع اختراع واحدة، مؤقتًا، إلى أن يظهر خبير هندسي. وهكذا ستكون القبعة المتصالبة وسطح شتاينر الروماني غمرين "للمستوى الإسقاطي".
لأقول لكم كل شيء، بعد محنتي في مجال MHD على مدى خمس وعشرين سنة بدأت هذه الأعمال لأنها بدت لي بعيدة قدر الإمكان عن أي تطبيق عسكري. لكن، كما لاحظ صديقي العجوز ميهن، فإن مصطلح غمر قد يثير الالتباس ويوحي للبحرية الوطنية بأنني أحاول عبر هذه الأبحاث إخفاء بعض الاختراقات في مجال الدفع تحت البحري.
تسمح قاعدة "الخلق-الإفناء" لأزواج النقاط الحدية بالانتقال من غمر جسم إلى آخر، وهذا ما فعلناه للتو بإظهار أن القبعة المتصالبة وسطح شتاينر الروماني كانا غمرين لنفس الجسم المسمى المستوى الإسقاطي. لا تحاول البحث عن شكل "المستوى الإسقاطي". لا يمكن استيعاب هذا الجسم إلا عبر تمثيلاته المختلفة. أما كلمة مستوى إسقاطي فهي مجرد واحدة من ألف كلمة أخرى اخترعها الرياضيون لإضلال من يريدون دخول دائرتهم المغلقة. لن يفيدك لاروس في الرياضيات.
يبقى لنا إذن الانتقال إلى سطح بويه، وهو غمر للمستوى الإسقاطي
العودة إلى فهرس "تحويل قبعة متصالبة إلى بويه"
العودة إلى الجديد العودة إلى الدليل العودة إلى الصفحة الرئيسية
عدد الزيارات منذ 25 أكتوبر 2003: