تحويل الكروسكاب إلى سطح بو، عبر سطح شتاينر الروماني

كيفية تحويل قبعة متقاطعة إلى سطح بويه (يمين أو يسار، حسب الاختيار) مروراً بسطح شتاينر الروماني.

27 سبتمبر 2003

الصفحة 4

ثم يُعرض النموذج من زاوية أخرى:

اللوحة 14: نعيد إنتاج العملية نفسها بإنشاء "الأذن" الثالثة لمنحنى التقاطع الذاتي. في الشكل متعدد السطوح، تأخذ هذه الأذن شكل ثلاثة مربعات لها رأس مشترك: النقطة الثلاثية T.

اللوحة 15: بتدوير الجسم، تستعيد النسخة متعددة السطوح من سطح بويه التي ابتكرتها وعرضتها في Topologicon (حيث يوجد قطع يسمح ببنائها).

اللوحة الأخيرة: حاولت تصوير سطح شتاينر (من الدرجة الرابعة، بينما بويه من الدرجة السادسة) وهو يلتوي ويتحول إلى سطح بويه.

نرى أنه في الشكل "المستدير" تلزم عادة راسخة لفهم الجسم. أعيننا مرتاحة جداً عندما يتعلق الأمر بفهم جسم تتراكب فيه أكثر من طبقتين على خط نظر واحد. ومن هنا أهمية الشكل متعدد السطوح الذي يجعل في متناول الجميع تحولات تُعد متطورة في الهندسة، بقدر ما يبذل الناس جهداً لبناء النماذج بأنفسهم. وبالمناسبة نلاحظ أنه حسب أزواج النقاط الحدية المختارة نحصل على سطح بويه "أيمن" أو "أيسر" (كلمات اعتباطية تماماً). المستوى الإسقاطي يُغمر وفق تمثيلين "متقابلين" في المرآة. نرى أنه يمكن الانتقال من بويه يمين إلى بويه يسار عبر نموذج "مركزي" هو سطح شتاينر الروماني.

سيكون من اللطيف بلا شك أن تُنشر رسوم كهذه في Pour la Science أو La Recherche. لكن منذ عشرين عاماً أنا "ممنوع من النشر" في هاتين المجلتين بسبب انحرافي الأطباق الطائرة. شكراً للسيدين هيرفيه تيس وفيليب بولانجيه. لم أعد أحصي المقالات من هذا النوع التي أرسلتها إلى هاتين المجلتين وأُعيدت إليّ بأدب. ينتهي المرء إلى التعود على وضع المحروم.

على سبيل الحكاية، يوجد في فرنسا "جائزة دالمبير" مخصصة لمكافأة مؤلفي كتب تبسيط الرياضيات. روى لي القصة عضو من اللجنة المكلفة بتحديد من يجب أن تُمنح له الجائزة (فهناك مع ذلك بعض المال في الأمر). حوار:

• لكن، ألا يمكننا منح الجائزة لبيتي؟ لقد أنجز أعمالاً رائعة مثل Géométricon وTrou Noir وTopologicon.

• نعم، لكنه لم ينجز هذه الألبومات فقط.

• إلى ماذا تشير؟

• لقد كتب أيضاً Le Mur du Silence.

• آه، في هذه الظروف....

نعم، Le Mur du Silence، الصادر عام 83، ألبوم مخصص للديناميكا الهيدرومغناطيسية. وكما يعلم الجميع، فإن لهذا العلم الكبريتي فضيلة، أو خبثاً، هي السماح للأطباق الطائرة بالتطور بسرعة فوق صوتية دون إحداث فرقعة.

أخفِ هذا العلم، فأنا لا أستطيع رؤيته

لدي في أدراجي نسخة رائعة من "قلب المكعب" مع نموذج مركزي في غاية الجمال، وهي ليست النسخة متعددة السطوح من متغيرة موران. كل ذلك من إبداعي. في أحد الأيام الأربعة.....

22 أكتوبر 2003: لا تزدحم هذه الصفحات، إن صدّقت رقم العداد. ألقيت يوم الاثنين 13 أكتوبر 2003 محاضرة في CMI (مركز الرياضيات والمعلوماتية في شاتو-غومبير-مرسيليا) بدعوة من تروتمان. وبالمناسبة تمكنت من عرض مجموعة من نحو ثلاثين نموذجاً من الكرتون، ستحظون بأول عرض لها في يوم قريب، بعد أن صوّرها كريستوف تاردي.

عند إلقاء محاضرة، يتشكل جوّ ما. في الصورة التالية، هندسي يعبّر عن حيرته.

في الخلفية، جزء من النماذج المعروضة. في لحظة ما طرحت السؤال:

- من سبق له أن رأى سطح شتاينر الروماني؟ ارفعوا أيديكم.

لم يكن أحد قد رآه قط. لذلك رأيت من المفيد عرض الجسم، في الواقع الافتراضي، على الحاسوب المحمول الذي أحضرته، وهو جسم أُنجز بمشاركة كريستوف تاردي، المهندس، وفريديريك ديسكامب، من معهد لاوه-لانجفان في غرونوبل (ILL). من الواضح أن هذا العرض أربك الحاضرين، غير المعتادين على رؤية أسطح رياضية تتطاير كما يشاء.

لوحان من الكرتون، يظهران في المقدمة، أتاحا عرض تتابع النماذج بترتيبها المنطقي. النموذجان "الأخضر والأصفر" يوضحان، بشكل متعدد السطوح، الأداة الأساسية لإنشاء وإفناء زوج من النقاط الحدية. الجسم الأبيض الأبعد هو نسخة متعددة السطوح من القبعة المتقاطعة، تتحول أولاً إلى نسخة متعددة السطوح من سطح شتاينر الروماني، على بعد متر واحد، ثم، حسب الاختيار، إلى سطح بويه "أيمن" أو "أيسر".

أثار تحليل المجسمات ملاحظات مختلفة لدى الحاضرين. سأل أحد الهندسيين:

- إذا كان ممكناً، باتباع المجسمات في هذا الاتجاه، الانتقال من القبعة المتقاطعة إلى بويه، يبدو أنه بالعكس يجب أن يكون ممكناً تحويل بويه إلى قبعة متقاطعة.

أجبت بالإيجاب. وإذ تشجع محدثي أضاف:

- إذا توقفنا عند مرحلة سطح شتاينر الروماني، يصبح من الممكن عندئذٍ الانطلاق نحو سطح بويه في المرآة.

وافقت مرة ثانية. لكن للأسف لن يتقدم أحد لتقديم توضيحات عن هذا العالم الغريب حيث نمنح غمرات أسطح مغلقة نقاطاً حدية، تُنشأ أو تُفنى في أزواج، ويشكل المجموع نوعاً من توسيع لعالم الغمرات. كلمة "submersions" تبدو لي أنيقة. إذا عثر قارئ على توضيحات فسيكون موضع ترحيب.

انحناء مركّز في نقطة حدية

سنحسبه بجمع الزوايا عند الرأس ومقارنة هذا المجموع بالمجموع الإقليدي: 2π.

في الأعلى واليسار أُدرجت إحدى التمثيلات المتعددة للنقطة الحدية. "تفكيك" الجسم (إلى اليمين) يؤدي إلى مجموع يتجاوز المجموع الإقليدي 2π بقيمة 2α. نستنتج أن الانحناء الزاوي المركّز في جوار هذه النقطة C هو -2α. إذا كانت الزاوية α تساوي π/2 فإن الانحناء السالب يساوي c (الشكل في الأسفل واليسار). في الواقع، يمكن للانحناء المركّز في نقطة حدية أن يأخذ عدداً لا نهائياً من القيم. في الأسفل واليمين نضخّم المجموع الزاوي ويصبح الانحناء عندئذٍ < 2α. نضخّم الانحناء السالب.

بالعمل بالطريقة العكسية يمكن الوصول إلى وضع مدهش إلى حد ما: جعل الانحناء (الزاوي) المركّز في C ... معدوماً:

يمكننا الآن الانطلاق من تمثيل متعدد السطوح للقبعة المتقاطعة تظهر فيه نقطتان حديتان تقابل كل منهما انحناءً سالباً يساوي -π:

هناك ثمانية "زوايا موجبة" تقابل قيمة +π/2. نضيف أربع "زوايا موجبة" أخرى بانحناء +π/4 وأربع "زوايا سالبة" بانحناء -π/4

زائد النقطتين الحديتين بانحناء -π.

المجموع: 2π

بقسمة هذا الانحناء الكلي على 2π نستعيد خاصية أويلر-بوانكاريه لجميع تمثيلات المستوى الإسقاطي (مثل سطح بويه).

خلال محاضرتي تطرقت إلى فن وأسلوب تبادل النقطتين الحديتين لقبعة متقاطعة، باستخدام قلب الكرة. لم أعد أذكر إن كنت قد وضعت ذلك في مكان ما في موقعي. إنه فوضى عارمة. سأضطر للبحث، وإلا سأضع ذلك في مكان ما. الأمر ممتع إلى حد ما. على أي حال، لم يعجب هذا العرض أحد الحاضرين في المحاضرة.

• لا أرى لماذا يستخدم بيتي جهازاً كهذا لإثبات التناظر الذي يوحّد النقطتين الحديتين لقبعة متقاطعة. هناك ما هو أبسط بكثير.

ورسم على السبورة صورة كرة مسحوقة بمسطرتين تُجعلان متلاصقتين، وتعطي فعلاً مجموعة تقاطع ذاتي على شكل قطعة مستقيمة تحدّها نقطتان حديتان، كما هو الحال في القبعة المتقاطعة. لكن للأسف، وقد أدرك صاحبنا ذلك، هذه ليست قبعة متقاطعة.

• يا للعجب، فما هي إذن؟ سأل أحدهم.

إنها ببساطة كرة مزودة بنقطتين حديتين. إذا جُعلتا تلتقيان نحصل على خط تقاطع ذاتي يصبح عندئذٍ دائرة بسيطة. ونحصل في الأسفل واليسار (في المقطع) على غمر للكرة لم يبق لنا إلا تحويله إلى غمرها. ويمكن فضلاً عن ذلك الانتقال إلى تمثيل متعدد السطوح لهذا السطح:

إنه ثنائي الجانب والانحناء هو 2π.

يمكننا إذن أن نلهو كثيراً مع هذه "الغمرات". لنأخذ غمراً للطارة يقوم على تدوير إشارة "اللانهاية" أو "الثمانية" حول محور.

ستتيح لنا تقنية التقاء النقاط الحدية الوصول بسرعة كبيرة إلى الغمر القياسي للطارة، كما هو مبين في تتابع الرسوم.

لكن الأمور لا تكون أحياناً بهذه السهولة والوضوح. آخذ مثلاً كرة أسحقها بين قطعتين مستقيمتين، هذه المرة، طولاهما أقل من القطر. نحصل مجدداً على نقطتين حديتين.

بما أنه يمكن رسم شريط موبيوس عليها، فإن هذا السطح أحادي الجانب. أُدرج تمثيله متعدد السطوح الذي يسمح بحساب انحنائه الكلي. نجد عندئذٍ صفراً. إن لم أكن مخطئاً فسيكون هذا زجاجة كلاين. لا نعرف عادة سوى الغمر الأكثر كلاسيكية حيث خط التقاطع الذاتي دائرة بسيطة. لكن هناك غمرات أخرى، مثل هذا. أعترف أنني لم أجد بعد كيفية تحويل الجسم أعلاه إلى غمر لزجاجة كلاين. ولا أعرف أيضاً إن كانت الغمرات المختلفة تنتمي إلى زمرة هوموتوبيا نفسها (للكرة واحدة فقط). مبدئياً لا، بما أن الطارة يمكن غمرها بأربع طرق مختلفة لا يمكن الربط بينها بهوموتوبيا نظامية. في انتظار ذلك لهوت بتحويل هذا السطح بإنشاء نقطتين حديتين إضافيتين فنحصل عندئذٍ على قبعتي متقاطعتين مرتبطتين بأنبوب. بتفكيكهما نستعيد خاصية أويلر-بوانكاريه مساوية للصفر.

هذا "السطح الغريب" ينبغي أن يكون قادراً على التحول إلى أحد غمرات زجاجة كلاين. لكن أيها؟ على أي حال، هذا واحد منها حُصل عليه بتدوير "الثمانية" حول محور وجعلها تنفذ، زيادة على ذلك، نصف دورة:

الصفحة السابقة

العودة إلى فهرس "تحويل قبعة متقاطعة إلى بويه"

العودة إلى الجديد العودة إلى الدليل العودة إلى الصفحة الرئيسية

عدد الزيارات منذ 6 أكتوبر 2003: