نموذج القلب في قلب المكعب
31 ديسمبر 2001
لقد رأيتم جميعًا جسمًا غريبًا يدور بلا كلل على الجزء الأيسر من الصفحة الرئيسية للموقع. ما هذا؟
يومًا ما، عندما يتوفر لدي الوقت، سأضع على الموقع وصفًا لقلب الكرة، كما كنت قد وضّحته في عدد يناير 1979 من مجلة Pour la science، أي منذ ... 22 عامًا. كل ذلك سيتطلب بطبيعة الحال تفاصيل كثيرة ومقدمة. قلب كرة، ماذا يعني ذلك؟ الكرة ليست لها الدلالة نفسها عند رجل الشارع وعند الرياضي الهندسي. فبالنسبة لرجل الشارع، تُعرَّف هذه بأنها، في فضاء ثلاثي الأبعاد، موضع النقاط الواقعة على مسافة R من نقطة ثابتة O فيه. أما الهندسي فسيواصل تسمية جسم يقابل "كرة مشوّهة"، نوع من "البطاطا"، بـ"الكرة". لاستيعاب كل هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصلوا على القرص المدمج Lanturlu الذي يحمل الشريط المصور "Le Topologicon". لكن الرياضي يذهب أبعد من ذلك. عندما يُقال إن سطحًا "منتظم"، يمكن في كل نقطة من نقاطه تعريف مستوى مماس. وهذا يتيح بالفعل تصور عدد لا نهائي من التشوهات لـ"الكرة الابتدائية" إلى عدد لا نهائي من البطاطا، حين يمكن فضلًا عن ذلك أن تكون مساحة السطح المذكور أيًّا كانت. ومع ذلك، في "كون فيزيائي" فإن الشخص الذي يشوّه هذه الكرة سيصطدم باستحالة جعلها تخترق نفسها. وإذا كان هذا الاختراق أو حتى هذه التلامسات ممنوعًا، فسنتحدث حينها عن تغميرات الكرة S2. لكن الرياضي يمنح نفسه كل الحقوق. فالكرة بالنسبة له جسم "افتراضي" تصبح فيه اختراقات الطبقات ممكنة. ويُظهر تتابع الرسوم التالي كرة "اخترقت نفسها". ونسمي حينها هذا التمثيل للكرة تغميرًا.
للتغمير مجموعة من التقاطعات الذاتية (هنا منحنى دائري بسيط). ويجب أن يتغير المستوى المماس تغيرًا متصلًا. ومع ذلك، حين ننظر إلى الرسوم أعلاه، نرى أن العملية تدير فعلًا جزءًا (ممثلًا باللون الأخضر) من داخل الكرة نحو الخارج. ولإتمام قلب كهذا سيلزم سحق هذا النوع من النقانق الاستوائية. ويبدو الأمر مبدئيًا إشكاليًا. فهذا السحق سيكسر اتصال المستوى المماس. وبالتالي ستتضمن العملية مرحلة لا تكون تغميرًا.
في أحد الأيام برهن رياضيّ أمريكي، ستيفن سمال، أن "الكرة S2 لا تمتلك سوى صنف واحد من التغمير". وكانت النتيجة الطبيعية لهذه العبارة الغامضة أنه يجب أن يكون ممكنًا ربط سلسلة من التغميرات للكرة تتيح الانتقال من "الكرة القياسية" إلى تمثيلها "المتقابل"، أي الذي تكون فيه كل النقاط قد استُبدلت بنقاطها المتقابلة. باختصار ... كرة مقلوبة، وجهان. كان راؤول بوت هو رئيس سمال. فبقدر ما بدا برهان الأخير، الشكلي المحض، سليمًا، بقدر ما لم يكن أحد يرى كيف يُقبل على إنجاز العملية. كان بوت يقول لسمال بلا انقطاع "أرني كيف تعتزم الإقدام على الأمر"، فيجيب سمال، بلسانه الثقيل الشهير، "ليست لدي أدنى فكرة". نال سمال لاحقًا ميدالية فيلدز، المكافئة لجائزة نوبل، لكن في الرياضيات. وبالمناسبة، قد تتساءلون لماذا لم يرغب نوبل قط في إنشاء جائزة نوبل للرياضيات. الجواب بسيط: زوجته هربت مع رياضيّ.
بقيت الأمور على حالها سنوات عديدة إلى أن نشر رياضيّ أمريكي يدعى أنتوني فيليبس في عام 1967 في Scientific American نسخة أولى من هذا القلب، بالغة التعقيد. أما الثانية فقد ابتُكرت في مطلع السبعينيات من القرن الماضي على يد الرياضي الفرنسي (الأعمى) برنار موران. وكنت أول من رسم هذه السلسلة من التحولات التي ستكون، كما قلت سابقًا، موضوع مقال قادم في الموقع، وهو مقال وافر إلى حد بعيد. ومهما يكن من أمر، فإن هذا يقودنا إلى استنتاج جانبي. يمكن أن تكون الأسطح موضوع تمثيلات متعددة السطوح. ويمكن اعتبار مكعب أو رباعي سطوح تمثيلين متعددي السطوح للكرة، من حيث أن لهذه الأجسام الطوبولوجيا نفسها. وفي هذا الصدد، راجعوا شريطي المصور Le Topologicon. وفضلًا عن ذلك، سيُفهم أنه إذا كان قلب كرة ممكنًا، فقلب مكعب ممكن أيضًا. والتحول الذي ابتكره برنار موران (الذي وضّحته في مقال يناير 1979 من Pour la Science) يمر عبر نموذج مركزي. ويوجد تماثل في هذه السلسلة. وهذا ما نسميه "النموذج المركزي ذا الأذنين الأربع". وهنا أيضًا أستبق الأمور. لكن كما يمكن أن تخضع الكرة لتمثيلات متعددة السطوح، فكذلك يمكن أن تخضع لها المراحل المتعاقبة لهذه التحولات. والجسم الذي ترونه يدور على صفحتي الرئيسية هو هكذا النسخة متعددة السطوح من النموذج المركزي لقلب الكرة، وهو نموذج ابتكرته منذ نحو عشر سنوات. وتكمن فائدة هذه النماذج متعددة السطوح في أنه يمكن بناؤها بأسطح مستوية. بل يمكن ترتيبها وفق مخططات قص. ألقوا نظرة على الرسم التالي (وأشكر بالمناسبة صديقي كريستوف تاردي، الذي أنتج عناصره بأبعاد صحيحة).
هذا رسم سيخرج على طابعتكم بحجم صغير، غير قابل للاستعمال.
لطباعة هذا الشكل على ورقة A4
عليكم حينها بأخذ أربع نسخ منه على ورق A4 سميك، ورقتين بلون وورقتين بلون آخر
هذا مخطط قص لديكم هنا رؤية عامة له. لكن لطباعته يُفضل أن تنتقلوا إلى صفحة القص. اطبعوها. ثم، مزودين بهذه النسخة المطبوعة على الورق العادي لطابعتكم، اذهبوا إلى آلة نسخ وأنجزوا أربع نسخ مطابقة لهذا الرسم، اثنتين على ورقتين من الورق المقوى الأخضر واثنتين على ورقتين صفراوين. ستكونون قادرين، بمساعدة مخطط القص هذا، على بناء النموذج المركزي لقلب المكعب.
لديكم، على هذه العناصر المقصوصة، أزواج من الحروف: a ، b c ، d ، e ، f إلخ.... يكفي أن تجروا الطيّات بجعل الحروف نفسها متطابقة، ثم بتجميع هذه الأوجه بشريط لاصق شفاف. وتُظهر الرسوم التالية طريقة تركيب أحد العناصر الأربعة. هذا أولًا كيف يجب أن تبدأوا طيّ أحد العناصر الأربعة:
هذان اثنان من هذه العناصر الأربعة، منظوران من زاويتين مختلفتين.
ثم تُرتَّب هذه لتُعطي جسمًا له تماثل من الرتبة الرابعة حيث تتناوب عناصر خضراء وعناصر صفراء. لرؤية هذا في ثلاثة أبعاد، اذهبوا وألقوا نظرة على منجزات السيد تاردي في "الواقع الافتراضي". كما يُنتَج النموذج المركزي المجمَّع كليًا بصيغة "vrml" في هذا القسم. وهذا الجسم، منظورًا من زوايا مختلفة:
لا يمكن القول إن منظرًا يقابل "الأعلى" والآخر "الأسفل" لأن هذين التسميتين سيكونان اعتباطيين تمامًا. في المنظر الأيسر تقابل النقطة "المركزية" "النقطة المزدوجة" (حيث تتقاطع طبقتان) في النموذج المركزي لموران، بينما تعادل النقطة المركزية اليمنى "النقطة الرباعية" في النموذج نفسه (حيث تتقاطع أربع طبقات). كان عليّ أن أوجّه الجسم بعناية كي لا يوحي الشكل الأيسر بصليب معقوف. وإلا، فمن الناحية المعمارية، كان يمكن لهذا التمثيل متعدد السطوح لنموذج موران المركزي أن يشكل مشروعًا جيدًا جدًا لبيت ثقافة وطني اشتراكي.
منظر أخير:
ملاحظة أخيرة: لا يوجد تمثيل متعدد السطوح جيد لقلب الكرة (أي قلب المكعب). ويجب أن يُفهم بـ"الجيد" سلسلة من النماذج واضحة بما يكفي بحيث يمكن تركيبها في شكل مخططات قص بطريقة سهلة نسبيًا، مثل النموذج أعلاه. وينبغي إجراء بحث في هذا الاتجاه، وهو في متناول أي كان، وربما في متناول غير رياضيّ، أو فنان تشكيلي، مثلًا. منذ أكثر من عشرين عامًا كنت مدرسًا للنحت في مدرسة الفنون الجميلة في إيكس أون بروفانس، في زمن كانت فيه لا تزال تُدار من قبل صديقي الممتاز جاك بولييه. وفي تلك الأماكن وُلد أول تمثيل زوالي لسطح بويه بمساعدة قطوع ناقصة، وهو مفتاح بناء أول معادلة ضمنية على يد أبِري. ويجب أن أقول إنني في ذلك الوقت كنت دائمًا مندهشًا من الخيال الهندسي لدى طلاب الفنون، الذي كان يتجاوز في كثير من الأحيان خيال... الهندسيين.
العداد مُشغَّل في 31 ديسمبر 2001. عدد الاتصالات:
العودة إلى فهرس الرياضيات الواقع الافتراضي العودة إلى الجديد