الرباعيات

الكرة S3 والرباعيات

BK

إذا كانت الكرة S3 تشبه الدائرة S1 أكثر مما تشبه الكرة S2، فذلك لأن كلتيهما تقابل زمرة الوحدات في حقل أعداد: حقل الأعداد العقدية بالنسبة لـ S1 وحقل الرباعيات بالنسبة لـ S3. لكن هذا لا ينجح مع S2 لأن R3 ليس حقل أعداد.

لفهم هذه البنى، سأذكّر كيف نجعل من R2 حقل أعداد بغمره في جبر المصفوفات المربعة 2×2 ذات معاملات حقيقية. سنرى بعد ذلك أن بناءً مشابهاً يسمح بتزويد R4 ببنية حقل (حقل الرباعيات) بغمره في جبر المصفوفات المربعة 2×2 ذات معاملات عقدية.

1. حقل الأعداد العقدية

لتكن M2(R) فضاء المصفوفات 2×2 ذات معاملات حقيقية. إنه فضاء المصفوفات

ö ÷ ÷ ø | d |
|---|

حيث a,b,c,d أعداد حقيقية. نعلم:

1. جمع مصفوفتين من M2(R)،

2. ضرب مصفوفة من M2(R) بعدد حقيقي،

3. ضرب مصفوفتين من M2(R) إحداهما بالأخرى.

نقول لتلخيص هذه الخصائص الثلاث إن M2(R) جبر. إنه ذو بعد 4 لأنه يلزم 4 وسائط لوصفه.

لكل شعاع (x,y) من المستوي R2، يمكن أن نقرن المصفوفة المربعة ذات المعاملات الحقيقية

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

نلاحظ عندئذ أن

1. مجموع مصفوفتين كهاتين يبقى على الشكل نفسه

(y

1

• y

2

)

ö ÷ ÷ ø ,| x | 1 | + x | 2 |
|---|---|---|---|

2. جداء مصفوفة z كهذه بعدد حقيقي l يبقى من هذا النوع

| l | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø ,| l | x |
|---|---|

| l | x |
|---|

3. الجداء المصفوفي لمصفوفتين كهاتين كذلك

x

1

x

2

y

1

y

2

y

1

x

2

• x

1

y

2

• (y 1 x 2 + x 1 y 2 )

x

1

x

2

y

1

y

2

x

1

x

2

y

1

y

2

ö ÷ ÷ ø .

x

1

x

2

y

1

y

2

بنينا إذن فضاءً جزئياً من M2(R)، سنرمز إليه بـ C، مستقراً بالجمع والضرب بعدد قياسي والضرب المصفوفي. نقول إن C جبر جزئي من M2(R). إنه ذو بعد 2. يمكن أن نلاحظ خاصية مهمة لهذا الجبر: إنه إبدالي

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

z

1

z

2

= z

2

z

1

.

محدد مصفوفة z Î C يُكتب

ê ê ê ê = x2 + y2 ,| x |
|---|

وبالتالي، فإن كل مصفوفة z في C غير معدومة قابلة للعكس ومقلوبها

--- ****

æ ç ç è

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

ينتمي أيضاً إلى C. نقول إن C حقل. لقد أعدنا للتو اكتشاف حقل الأعداد العقدية.

المصفوفة المقابلة للشعاع (1,0)، هي المصفوفة الوحدة ****

ö ÷ ÷ ø | 1 |
|---|

المصفوفة المقابلة للشعاع (0,1)، نرمز إليها بـ i ****

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

لها الخاصية الملحوظة

i

2

=

1

i

2

=

1

بهذه الرموز، نرى أن كل عدد عقدي يُكتب بطريقة وحيدة

حيث x و y عددان حقيقيان.

المرافق لعنصر z في C، نعرّفه بمنقول المصفوفة z

| - | y |
|---|

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

في حقل الأعداد العقدية يوجد فضاءان جزئيان ملحوظان. من جهة يوجد مضاعفات المصفوفة الوحدة 1، أي مجموعة المصفوفات من الشكل

ö ÷ ÷ ø | x |
|---|

وهي مستقرة بالجمع والضرب. إنه الفضاء الحقيقي، المطابق لحقل الأعداد الحقيقية والذي يظهر كحقل جزئي من C. وهو يُعرَّف أيضاً بالمعادلة

| z = | - | z |
|---|

يوجد أيضاً الفضاء الجزئي للمصفوفات z ذات الأثر المعدوم (أثر مصفوفة هو مجموع عناصرها القطرية)

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

نسميه الفضاء التخيلي. إنه مستقر بالجمع لكن ليس بالضرب. نلاحظ أنه أيضاً فضاء المصفوفات 2×2 المتناظرة المائلة.

بهذه التعريفات، يُحسب الجداء القياسي العادي لشعاعين من R2 بسهولة. إذا كانت z1 المصفوفة المقابلة لـ (x1,y1) وكانت z2 المصفوفة المقابلة لـ (x2,y2)، فإن --- ****

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

(x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = 1 2 Tr (z 1 - z 2 )

معيار شعاع (x,y) المقابل لـ z يُكتب

**** --- ****

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

\ \ (x,y) \ \ 2 = x 2 + y 2 = Det (z) = 1 2 Tr (z - z )

نسميه أيضاً مقياس أو معيار العقدي z ونرمز إليه بـ | z|. لدينا بالطبع | z1z2| = | z1|| z2|.

الزمرة الجزئية للوحدات في الحقل C، التي نرمز إليها بـ U(1)، هي مجموعة العناصر z من C التي تحقق

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

\ z\ 2 = z - z = x 2 + y 2 = 1 .

هذه المجموعة مستقرة بالضرب. العنصر 1 ينتمي إلى U(1). كل عنصر من U(1) قابل للعكس ومقلوبه يبقى في U(1). نقول إن U(1) زمرة. انتبه، مجموع عنصرين من U(1) ليس في U(1) عموماً. إذن أظهر البناء السابق الدائرة S1 كزمرة، زمرة عناصر الوحدات في C. المماس للدائرة S1 عند النقطة 1، وهو ما نسميه جبر لي للزمرة U(1)، هو المستقيم التخيلي المعرَّف بـ

| Tr | (z) = 0 . |
|---|

2 حقل الرباعيات

التعريف.

لنعد إلى البناء السابق لتزويد R4 ببنية حقل. لتكن M2(C) فضاء المصفوفات 2×2 ذات المعاملات العقدية. لكل زوج من الأعداد العقدية (a,b) يمكن أن نقرن المصفوفة المربعة ذات المعاملات العقدية

ö ÷ ÷ ÷ ø | - | a |
|---|

| - | a |
|---|

نلاحظ عندئذ أن:

1. مجموع مصفوفتين كهاتين يبقى على الشكل نفسه

(b

1

• b

2

)

a

1

a

2

a

1

a

2

ö ÷ ÷ ÷ ø ,

a

1

a

2

2. جداء مصفوفة q كهذه بعدد حقيقي l يبقى من هذا النوع

| l | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø ,| l | - | a |
|---|---|---|

| l | - | a |
|---|

3. الجداء المصفوفي لمصفوفتين كهاتين كذلك

a 1 a 2 - b 1 - b 2

a

1

b

2

• b

1

a

2

• a 1 - b 2 - - b 2 - a 1

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

ö ÷ ÷ ÷ ø .

• a 1 - a 2 - - b 1 - b 2

بنينا إذن جبراً جزئياً من M2(C) سنرمز إليه بـ K. لكن خلافاً لـ C، هذا الجبر ليس إبدالياً. في الواقع، لدينا مثلاً

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

بينما

ö ÷ ÷ ø æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

محدد مصفوفة q Î K يُكتب

ê ê ê ê ê = | a|2 + | b|2 ,| - | a |
|---|

| - | a |
|---|

وبالتالي، فإن كل مصفوفة q في K غير معدومة قابلة للعكس ومقلوبها

--- ****

æ ç ç ç è

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

ينتمي أيضاً إلى K. نسمي K حقل الرباعيات. وهو أيضاً فضاء شعاعي حقيقي ذو بعد 4. يمكن كتابة كل رباعية q على الشكل

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

q = t

1

• x

I

• y

J

• z

K

حيث

ö ÷ ÷ ø I = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø J = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø K = æ ç ç è

ö ÷ ÷ ø | 0 |
|---|

نتحقق دون عناء من العلاقات التالية:

I2 = J2 = K2 = - 1,

IJ = - JI = K , ** JK** = - KJ = I , KI = - IK = J.

الجداء القياسي العادي لشعاعين في R4 ممثلين بالرباعيتين

q

1

= t

1

1

• x

1

I

• y

1

J

• z

1

K

q 1 = t 1 1 + x 1 I + y 1 J + z 1 K

و

q

2

= t

2

1

• x

2

I

• y

2

J

• z

2

K

q 2 = t 2 1 + x 2 I + y 2 J + z 2 K

يُكتب

--- ****

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

(t 1 ,x 1 ,y 1 ,z 1 )·(t 2 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ) = 1 2 Tr (q 1 - q 2 )

معيار شعاع (t,x,y,z) ممثل بـ q يُكتب

**** --- ****

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

\ \ (t,x,y,z) \ \ 2 = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = Det (q) = 1 2 Tr (q - q )

نسميه أيضاً مقياس أو معيار الرباعية q ونرمز إليه بـ | q|. لدينا بالطبع | q1q2| = | q1|| q2|.

الرباعيات الحقيقية والتخيلية.

المرافق لعنصر q في K، نعرّفه بمنقول المصفوفة المرافقة لـ q

| - | a |
|---|

| - | b |
|---|

| - | b |
|---|

ö ÷ ÷ ÷ ø | a |
|---|

يقال عن رباعية q إنها حقيقية إذا كانت من الشكل

ö ÷ ÷ ø | t |
|---|

حيث t عدد حقيقي. هذا يسمح بتطابق R مع حقل جزئي من K. الفضاء الجزئي لـ الرباعيات الحقيقية يُعرَّف بالمعادلة

| q = | - | q |
|---|

نعرّف أيضاً فضاء الرباعيات التخيلية H بالمعادلة

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

إنه فضاء ذو بعد 3، مولَّد بـ I،J،K. وهو يُعرَّف أيضاً كفضاء المصفوفات M من M2(C)، المضادة للهرميتية

M = t`M = - M*

(M* هو منقول مصفوفة العناصر العقدية المرافقة) ذات الأثر المعدوم

| Tr | (M) =0 |
|---|

ملاحظة 1: * في حالة الحقل C، كنا قد لاحظنا أن الفضاء التخيلي يتكون من المصفوفات الحقيقية 2×2 المتناظرة المائلة. لكن أثر مصفوفة متناظرة مائلة *

tM = - M * معدوم بالضرورة، وهذا ليس حال مصفوفة مضادة للهرميتية *

M = t`M = - M .*

*زمرة الوحدات. * * *

الزمرة الجزئية للوحدات في الحقل K، التي نرمز إليها بـ SU(2)، هي مجموعة العناصر q من K التي تحقق

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

\ q\ 2 = z - z = t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

إنها مجموعة النقاط المنتمية إلى الكرة S3 التي تظهر هكذا، مزودةً بـ بنية زمرة، الزمرة SU(2). الفضاء المماس (ذو البعد 3) للكرة S3، الذي نسميه جبر لي للزمرة SU(2)، هو الفضاء التخيلي المعرَّف بـ

| Tr | (q) = 0 . |
|---|

يمكن التحقق من أن قوس لي، لعنصرين من H، X و Y

| [X,Y] = XY | - | YX |
|---|

ينتمي أيضاً إلى H.

الفضاء المماس للكرة S3 عند نقطة ما q يُحصل عليه بضرب عناصر الفضاء التخيلي H يساراً بـ q

T

q

S

3

= q H.

T

q

S

3

= q H.

كل جيوديزي للكرة S3 صادر من النقطة 1 في الاتجاه X (حيث X ينتمي إلى H و | X| = 1) يُعرَّف بـ

| q(s) = exp(sX) = cos(s) | 1 | + sin(s) X |
|---|

العودة إلى صفحة الاستقبال

عدد الزيارات منذ 14 مايو 2004 :