السطح المتساوي والخطوط الجيوديسية

لقد "نَقَّيْنا" هذه الصورة هنا لجعلها أكثر وضوحًا قليلاً. السطح هو كائن ذي بُعدين، هنا "غَمَرَ" في فضاء ثلاثي الأبعاد إقليدي، R³. يمكننا "رؤيته" من الأعلى. توجد مصادفة أن هذا السطح قابل للغمر في الفضاء R³ "بشكل متطابق". بمعنى آخر، إذا لصقنا شريطًا لاصقًا عليه، فإنه سيُسجل فعليًا على مسار مُستقيم يربط بين نقطتين A و B على السطح. الطول المقاس على طول القوس المستقيم مطابق أيضًا. إنه متطابق، أصلًا "بطول متساوٍ". أسفله، هناك تمثيل بعدين لا يُعتبر متطابقًا ... طول القوس A'B' لا يساوي طول القوس AB. اصنع الكائن التالي باستخدام ورقة وقلم ومقص:

هذه الصورة ليست متطابقة. أولاً، المنحنى المُمثل ليس مسارًا مستقيمًا في المستوى. ثانيًا، عرض القوس AB ليس "الطول الحقيقي" الذي يمكن قياسه على "السطح الحقيقي"، الذي "لا يحتوي على ثقب". الورقة المثقوبة هي مجرد تمثيل مفيد، لا أكثر. نفس الشيء بالنسبة لتقنية رسم أحد الجانبين ثم الجانب الآخر، حيث يظهر المنحنى بالكامل فقط بشكل شفاف.

في الشكل التالي، قدمنا مسارات المستقيمات على السطح، حُسبت بواسطة الحاسوب (وهو ما يظهر في المقال).

الخطوط المتقطعة للمنحنى تتوافق مع الفروع الموجودة "من الجانب الآخر" (كأننا ننظر إلى السطح "من الأعلى").

الآن سؤال: هل يمكننا بناء تمثيل مسطح ومتطابق لهذه المسارات؟ الجواب نعم. لقد رأينا أننا يمكننا تغيير المتغير r إلى المتغير r. وبالتالي يمكن تمثيل المسارات على مستوى "إحداثيات قطبية" (r, j). المسارات (هنا مسار غير محوري) تبدو كالتالي:

هذا تمثيل متطابق. ثلاثة نقاط A و B و C تنتمي إلى السطح، وتقع على نفس المسار المستقيم. A' و B' و C' هي النقاط المماثلة في هذا التمثيل [r, j]. النقاط A و B تقعان على نفس نصف الكرة، والمسار المستقيم الذي يربطهما لا يمر عبر دائرة الغرة. قياسًا في هذا المستوى، على طول صورة المسار المستقيم (والذي لا شك أنه ليس مسارًا مستقيمًا في هذا المستوى)، فإن طول القوس A'B' يساوي طول القوس AB، المقاس على السطح.

القوس BC يمر عبر الكرة ذات الغرة. نفس الشيء.

لكن هذه المطابقة لا تنطبق على جميع المسارات المستقيمة على السطح. واحدة توجد، فريدة بطريقتها: دائرة الغرة، المختصرة هنا إلى نقطة. إنها السطح الوحيد الذي يعود على نفسه.

المسارات المستقيمة هي الأشياء الوحيدة التي نملكها لفهم سطح أو، بشكل عام، فضاء غير مسطح وغير إقليدي. إنها مؤشرات مفيدة (حتى لو كان لدينا رؤية مُغيَّرة في أنظمة تمثيلنا ثنائية وثلاثية الأبعاد - بالمنظور). نحن نعلم أن هذه المسارات المستقيمة موجودة، وأنها مُميزة. على سبيل المثال، المسارات المستقيمة على الكرة هي دوائر كبيرة. في حالة الفضاء-الزمن، فهي مملوءة بكم هائل من المسارات المستقيمة الفضائية-الزمنية. توجد المسارات المستقيمة بشكل داخلي، ولفهمها (أصلًا: تمسك، أخذها في أحضانك)، نحاول "إحساسها" كرجال أعمى. ومع ذلك، خطوط الإحداثيات الفضائية-الزمنية لا تملك واقعًا داخليًا، ولا تشكل مجموعتا خطوط الطول والعرض جزءًا لا يتجزأ من الكرة. إنها لا تُقدَّم "من الداخل". هندسة شوارتسشيلد، حل معادلة الحقل الإينشتاين، هي سطح فائق بعدي بـ4 أبعاد. قام العلماء بوضع عائلات كاملة من المنحنيات عليها، "ثابت t"، "ثابت r"، إلخ.

لا تنسَ أبدًا أن هذه الإجراءات تمامًا عشوائية، على الرغم من أن حتى خبراء الكونيات النظرية يميلون أحيانًا إلى نسيان هذه النقطة، ويجب أن يُذكر بانتظام من قبل علماء الرياضيات الجغرافيين. لذلك كان من المناسب تمامًا تغيير إحداثيات الفضاء-الزمن.

في هذه المرحلة، ستقول: إذًا، ما الذي يخبرنا أن اختيار إحداثيات أفضل من آخر؟ ما الذي هو معقول أو غير معقول؟ هذا سؤال ذوق. اختيار إحداثيات الفضاء-الزمن يعني فرض رؤية فيزيائية على كائن رياضي. في حالة الأرض، منحناها أقطابًا عندما كانت تدور. القطب الشمالي هو ببساطة المتعامد على سطح "الأرض" الذي يشير إلى نجمة القطب، نجمة ثابتة في السماء.

في مسألة المطابقة وغير المطابقة، تُظهر الخرائط صعوبة تمثيل كرة على مستوى. تُعتبر خريطة ميركاتور (تحويل الكرة الأرضية إلى أسطوانة مماسة لخط الاستواء) ممتعة جدًا لمن يعيشون بالقرب من خط الاستواء. ومع ذلك، شخص يعيش في أحد الأقطاب سيواجه مفاجأة سيئة: مجاله النقطي سيتحول إلى خط مستقيم...

هناك مئات الطرق لتحويل كرة إلى مستوى. دعنا نتخيل هذا:

تخيل أننا نصنع خرائط من هذا النموذج ونبيعها. نجاح فوري لدى من يعيشون في الأقطاب: الخرائط مطابقة تقريبًا في هذه المناطق. مفيدة لفهم المسافات في تلك المناطق. إذا كانت الأرض مأهولة في الأقطاب وقاسية نسبيًا في الأماكن الأخرى، فإن الخرائط كانت ستُصنع هكذا بالتأكيد. ومع ذلك، سنرى أن دائرة الحد في الخريطة على المستوى لا تتوافق الآن مع خط الاستواء، بل مع خط عرض (هنا في نصف الكرة الشمالي). بالقرب من هذه المنطقة، ستكون الخريطة بعيدة تمامًا عن المطابقة. بالإضافة إلى ذلك، على هذه الخريطة الغريبة، يجب تمثيل جزء من كتلة الأرض بخط مستمر وجزء آخر بخط متقطع لأنها تقع خارج خط العرض حيث يبدو الكائن "يتمدد على نفسه". ربما يمكننا توفير خرائط على قرص من الورق، مع ظهور بقية كتلة الأرض من الجانب الآخر من الورقة.

دعنا نحاول الآن "تخيل كل هذا في 3D". قدمنا أن لانتورلو غمس ذراعه الأيسر في كرة الغرة من خلال رسمين منفصلين، مما قد يبدو أنه يشير إلى أن الفضاء الثلاثي الأبعاد الثاني "في مكان آخر". لتصحيح هذا، يجب أن نضع الرسمين في المنظور فوق بعضهما البعض، مع تمثيل اليد التي تخرج (اليمين) بخط متقطع.

حاولت أن أفعل ذلك، رغم أن الأمر لم يكن سهلاً. يمكنني استخدام لونين مختلفين، أحمر للجزء من الجانب الثلاثي الأبعاد الأول من فضاءنا الثلاثي الأبعاد غير المتصل ببساطة، وأخضر للآخر. سي thấy لانتورلو الأحمر يخرج يده اليسرى التي غمسها في الكرة كيد يمين أخضر.

بالطبع، "داخل" كرة الغرة لا يوجد شيء. مظهر الداخل، المحتوى الحجمي، هو فقط بسبب اختيارنا لهذا الفضاء الثلاثي الأبعاد للتمثيل. تمامًا كما في الثقب المُحفور في ورقة الورق، لا يوجد أيضًا ورق. كان ذلك مجرد حادث مرتبط باختيار هذا الفضاء للتمثيل المسطح. إذا استمر شخص في استخدام تمثيل مسطح دون إزالة القرص المحفور من الورق، وطرح باستمرار السؤال "ما الذي يوجد داخله؟"، فإنه سيكون تمامًا "خارج المجال" (أو بدلًا من ذلك... داخله). المجال لا يوجد.

عودة إلى 3D. عندما يغمس لانتورلو ذراعه في كرة الغرة، فإنها لا تحتوي أيضًا على داخل. مظهر الداخل هو فقط بسبب اختيارنا للفضاء للتمثيل. يمكننا اعتبار أن لانتورلو ويدته التي تخرج قد رُسمت على ورقة ثلاثية الأبعاد، من которой أزلنا... كرة (الشكل الثلاثي الأبعاد للقرص من ورقة الورق). رياضيًا، القرص هو "كرة b²" و"حجم الكرة" هو "كرة b³". بـ"كرة"، نعني خلية قابلة للانكماش (انظر "التوبيولوجيكون" على "السي دي لانتورلو")، أي كائن يمكن أن ينكمش بالنسبة لنقطة من خلال نفسه. الأمثلة ثنائية وثلاثية الأبعاد تهدف إلى توضيح خطة المعركة في المقال: كرة شوارتسشيلد لا تحتوي على "داخل" أو "مركز". عندما نمر بها (المسار الفائق)، نجد أنفسنا "من الجانب الآخر من الفضاء-الزمن".

ما هو التبرير لهذا التفسير الجديد لـ"هندسة شوارتسشيلد"؟

الإجابة: إزالة الفوضى. كركسال، مع "التوسع التحليلي"، بذل كل ما في وسعه للدخول إلى هذه "الكرة الملعونة". نجح فقط في إغلاق الفوضى (الدور الذي كان يلعبه في البداية الكرة شوارتسشيلد) في نقطة تقع "في مركز هذا الكائن". اكتفى الناس بهذا الاحتيال. ومع ذلك، نعتقد أن من الأفضل أن لا تكون هناك فوضى.

تُظهر الطبيعة احتجاجًا، عندما ننظر إليها من الجانب الخاطئ، من خلال إنتاج الفوضى. هكذا نرى الأمور. إنها رؤية مسبقة لما هو "واقعي". نعتقد أن هذه الفوضى لا توجد في الطبيعة. نعتقد أيضًا أن اللانهاية لا توجد أيضًا. ولكن، كما قال كيبلينغ، هذه قصة أخرى. كان لدي مناقشات حارة مع سوريو على هذا السؤال العام الماضي.

• ما الذي يثبت أن اللانهاية موجودة؟ ...

• ولكن دون اللانهاية، لا توجد رياضيات!

• هل قابلت اللانهاية من قبل؟ هل رأيتها، هل حملتها في يدك؟

• إنها... ملاءمة.

• نحن نولد أعدادًا لا نهائية من خلال افتراض أننا يمكننا إضافة 1 إلى عدد بلا حدود. نستخدم لانهاية تسلسلية لتكوين لانهاية رقمية. إنها تأكل ذيلها، هذا الشيء.

• حسنًا، دعنا نقول إنها ملاءمة. اخترع الإنسان شيئين مهمين خلال تاريخه: اللانهاية والحمامات...

لا أؤمن أيضًا بأن الصغير اللانهائي موجود، سواء من الناحية الفيزيائية أو الرياضية. لكن هذا سيكون موضوع مقالات أخرى. دعنا نترك هذه الأسئلة جانبًا لفترة. ملاحظة بسيطة.

على الموقع](/fr/article/f300-f301html)).

كما قال أرخميدس، أعتقد، عند دخوله إلى معبد للعلم، "لا يدخل أحد هنا من لا يملك معرفة هندسية". هذه التانسورات وغيرها من الأشياء، مجال يحبه ميدي، هي أيضًا كريهة مثل الحلويات الإنجليزية.

إذن، من خلال هذه المحادثة، نرى أن رؤيتنا الفيزيائية لهذه الظواهر تأتي من الطريقة التي نقرر بها تمثيلها. من خلال تغيير الإحداثيات الفضائية، غيرنا "الهندسة المحلية"، مصطلح يتطلب توضيحًا رياضيًا وفقًا لسوريو. في الواقع، العبارة هي مجاز لطيف: بدأ فقط بالصراخ عندما قلت ذلك، وعانينا أنا وقطتي بيوم من أكبر صعوبة في إسكاته. سوريو هو بروفسور تورنيسول في الرياضيات. هو ممارسة طوعية للانفعال الرياضي العالي. ومع ذلك، لا ينبغي أن يُخلط هذا الانفعال مع الغضب في المعنى البسيط للكلمة. بدلًا من ذلك، ألعب هنا دور موليير في "السيد جوردون". غالبًا ما يستخدم الفيزيائيون الرياضيات دون أن يعلموا ذلك (وبالمثل، في الواقع).

باعتباره مؤقتًا استخدام مصطلحات "غير محددة"، يبدو أننا قد اعتبرنا فقط "الهندسة المحلية" لهندسة شوارتسشيلد كـ"كروية" (أن الكرة شوارتسشيلد "تحتوي" على "كرة b³"). لقد جعلناها "فائقًا". لذلك اقترحت مصطلح "هندسات فائقة".

ذكرنا سابقًا انعكاس الفضاء. يتم التفاوض عليه مع المجموعات. هل يمكن فهمه بطريقة أخرى؟ رأينا أن لانتورلو غمس يده اليسرى في الكرة ذات الغرة ورأى يدًا يمينية تخرج. في الواقع، كل ذرة من يده اتبعت مسارًا مستقيمًا "محوريًا"، عموديًا على السطح.

لا ننسَ أن نظام التمثيل هذا ليس متطابقًا. تمامًا كما في الورقة ذات الثقب. إذا قسنا المسافة المقطوعة في نصفي الفضاء بواسطة ذرة اختبار تابعة ليد لانتورلو (أرتشيبالد هيجين في الإصدارات الإنجليزية)، فإنها لن تتطابق مع المسافة الحقيقية المقاسة باستخدام قطعة من الخيط.

عودة إلى الشكل المُقدم سابقًا.

هنا، قدمنا قوسًا مستقيمًا AB يمر عبر دائرة الغرة وصورته في الفضاء المُمثل المسطح أسفله. يصبح خاصية التماثل غير المتطابق أكثر وضوحًا. طول القوسين AB و A'B' مختلفان للغاية.

بالطبع، من الصعب جدًا تخيل أنك يمكن أن تمرر خيطًا من خلال الكرة ذات الغرة في المسار الفائق. عند شد الخيط، ستحصل على مسار مستقيم (أقصر مسار). بعد كل شيء، إذا قسنا طول الخيط في الفضاء الممثل الثلاثي الأبعاد (لانتورلو يدفع ذراعه) وقررنا قياس طول الخيط في هذا الفضاء، فسنجده أقصر A'B'. الطول الحقيقي، المقاس في الفضاء الثلاثي الأبعاد، سيكون أطول، كما يظهر في الرسم ثنائي الأبعاد. إذًا، التمثيل الثلاثي الأبعاد مع لانتورلو غير متطابق، تمامًا كما هو الحال مع التمثيل المسطح أعلاه.

مع مساعدة بعض الرسومات، تصبح هذه المفاهيم الدقيقة، المستمدة من نظرية المجموعات، أقل صعوبة، شرط "الرؤية في الفضاء". هذا ما أحاول تعليمك إياه، رؤية الفضاء الثلاثي الأبعاد المنحني.

عودة إلى سؤال التماثل العكسي، انعكاس الأشياء عندما تمر عبر الهيكل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد للغرة. تخيل مسارات مستقيمة محورية في 2D. أصبح المفهوم غير دقيق، لأن في المبدأ، نصف القطر هو خط مستقيم يبدأ من نقطة. في الواقع، يتعلق الأمر بمسارات مستقيمة ثابتة j. انظر الرسم السابق الذي أظهر هذه الإحداثية الزاوية. ومع ذلك، لتسهيل الأمور، سنستمر في استخدام كلمة "محوري" بين علامات الاقتباس. لاحظ أن كلمة "محوري" هي بالفعل نتيجة لاختيار مساحة التمثيل. تخيل أن حرف R (الذي لا يشبه صورته المقلوبة، صورته المتماثلة) ينزلق كنقل خاطئ على طول مسارنا الفائق، كل نقطة تتحرك وفقًا لمسار مستقيم. سيجد الحرف نفسه "من الجانب الآخر". من المثير للاهتمام ملاحظة نتيجة العملية على خريطة مسطحة في مساحة التمثيل.

قدمنا نوعًا من الشريط الذي تشكل أطرافه من مسارين مستقيمين. ما الذي نلاحظه؟ في مساحة التمثيل، الحرف R مقلوب ليصبح "يا" روسية، R مقلوب، متماثل. نبدأ في فهم سبب ظهور يد لانتورلو مقلوبة عندما تخرج في مساحة التمثيل الثلاثي الأبعاد، حيث تصبح متماثلة.