لقد قمنا بتنظيف الشكل هنا لجعله أكثر وضوحًا قليلًا. موجة

لقد قمنا "بتنظيف" الشكل هنا لجعله أكثر وضوحًا قليلًا. السطح هو جسم ثنائي الأبعاد، هنا "مغمور" في فضاء ثلاثي الأبعاد إقليدي في R3. يمكننا "رؤيته" من الأعلى. ويحدث أن هذا السطح قابل للغمر في الفضاء R3 "بطريقة متساوية القياس". أي أننا إذا لصقنا عليه شريطًا، فسيُسجّل فعليًا على خط جيوديسي يصل بين نقطتين من السطح A وB. والطول المقاس على طول القوس الجيوديسي صحيح أيضًا. إنه متساوي القياس، واشتقاقًا "الطول نفسه". أدناه يوجد تمثيل ثنائي الأبعاد غير متساوي القياس... طول القوس A'B' لا يساوي طول القوس AB. أنشئ الجسم التالي بمساعدة ورقة وقلم رصاص ومقص:

هذا الرسم ليس متساوي القياس. أولًا، المنحنى الموضح ليس خطًا جيوديسيًا للمستوي. ثانيًا، عرض القوس AB ليس "الطول الحقيقي" الذي يمكن قياسه على "السطح الحقيقي"، الذي "ليس به ثقب". ورقة الورق ذات الثقب ليست سوى تمثيل مفيد، لا أكثر. وينطبق الشيء نفسه على تقنية الرسم على أحد وجهي الورقة ثم على الوجه الآخر، إذ لا يظهر المنحنى كله إلا بالشفافية.

في الشكل التالي أظهرنا الخطوط الجيوديسية للسطح، محسوبة بالحاسوب (وهي واردة في المقال).

الخطوط المنقطة للمنحنيات تقابل الفروع على "الوجه الآخر" (كما لو كنا ننظر إلى السطح "من الأعلى").

والآن سؤال: هل يمكننا بناء تمثيل مستوٍ ومتساوي القياس لهذه الخطوط الجيوديسية؟ الجواب نعم. لقد رأينا أنه يمكننا تغيير المتغير r إلى المتغير r. إذن يمكن تمثيل الخطوط الجيوديسية في مستوٍ "بإحداثيات قطبية" (r، j). تبدو الخطوط الجيوديسية (هنا خط جيوديسي غير شعاعي) كما يلي:

هذا تمثيل متساوي القياس. أي ثلاث نقاط A وB وC تنتمي إلى السطح، وتقع على الخط الجيوديسي نفسه. A' وB' وC' نقاط متناظرة في هذا التمثيل [r، j]. النقطتان A وB تقعان على نصف الطبقة نفسه، والقوس الجيوديسي الذي يصل بينهما لا يعبر دائرة المضيق. مقيسًا في هذا المستوي، على طول صورة الخط الجيوديسي (وهي بالطبع ليست خطًا جيوديسيًا لهذا المستوي)، فإن طول القوس A'B' يساوي طول القوس AB، مقيسًا في السطح.

القوس BC يعبر كرة المضيق. الأمر نفسه.

لكن هذا التماثل القياسي لا ينطبق على جميع الخطوط الجيوديسية للسطح. يوجد خط واحد، فريد من نوعه: دائرة المضيق، المختزلة هنا إلى نقطة. إنه السطح الوحيد الذي ينغلق على نفسه.

الخطوط الجيوديسية هي الأشياء الوحيدة التي لدينا لفهم سطح ما، أو، بصورة أعم، فضاء غير مستوٍ وغير إقليدي. إنها علامات مفيدة (حتى لو كانت لدينا رؤية مشوهة في أنظمة تمثيلنا ثنائية وثلاثية الأبعاد (بالمنظور)). نعلم أن هذه الخطوط الجيوديسية موجودة، وأنها جوهرية. أما خطوط الكرة، مثلًا، فهي دوائر كبرى. وفي حالة الزمكان، فإنها مملوءة بعدد لا نهائي من الخطوط الجيوديسية الزمكانية. الخطوط الجيوديسية موجودة جوهريًا، وللفهم (اشتقاقًا: الإمساك، الاحتضان) نحاول "الإحساس" بها كالعميان. غير أن خطوط إحداثيات المكان والزمان ليست لها حقيقة جوهرية، كما أن مجموعتي خط الزوال وخط العرض ليستا جزءًا أصيلًا من كرة. فهما ليسا "مُضمَّنين فيها". هندسة شفارتزشيلد، وهي حل لمعادلة مجال أينشتاين، سطح فائق رباعي الأبعاد. لقد لصق عليها المنظّرون عائلات كاملة من المنحنيات، "t ثابت"، "r ثابت" إلخ.

لا تنسَ أبدًا أن هذه الحركات اعتباطية تمامًا، مع أن حتى المتخصصين في علم الكون النظري كثيرًا ما يغيب عنهم هذا الأمر، ويضطرون من وقت لآخر إلى أن يستدعيهم رياضيو الهندسة إلى النظام. لذلك كان من المشروع تمامًا تغيير إحداثيات الزمكان.

عند هذه النقطة ستقول: إذن ما الذي يخبرنا أن اختيارًا ما للإحداثيات أفضل من آخر؟ ما المعقول وغير المعقول؟ إنها مسألة ذوق. اختيار إحداثيات الزمكان يعني إلباس جسم رياضي رؤية فيزيائية. وفي حالة الأرض، أعطيناها قطبين حين تدور. والقطب الشمالي ليس سوى العمودي على سطح "الأرض" المتجه نحو النجم القطبي، وهو نجم يبقى ثابتًا في السماء.

وفي أمر التماثل القياسي واللاتماثل القياسي، توضح رسم الخرائط الصعوبات في محاولة تمثيل كرة على مستوٍ. إسقاط مركاتور (إسقاط كرة الأرض على أسطوانة مماسة لخط الاستواء) جميل جدًا لمن يعيشون قرب خط الاستواء. غير أن من يعيش عند أحد القطبين ينتظره مفاجأة سيئة: فمجاله النقطي يتحول إلى خط مستقيم...

هناك مئات الطرق لإسقاط كرة على مستوٍ. لنتخيل هذا:

لنتخيل أننا نصنع خرائط من هذا النموذج ونبيعها. نجاح فوري لدى من يعيشون عند القطبين: فالإسقاطات شبه متساوية القياس في هاتين المنطقتين. مفيدة لتكوين فكرة عن المسافات في تلك المناطق. لو كانت الأرض صالحة للسكنى عند القطبين وغير مضيافة نسبيًا في غيرها، لكانت الخرائط قد صُنعت على هذا النحو بلا شك. غير أننا سنرى أن دائرة الحدود للإسقاط على مستوٍ لم تعد تقابل خط الاستواء بل خط عرض (في نصف الكرة الشمالي هنا). وقرب هذه المنطقة ستكون الخريطة بعيدة جدًا عن التماثل القياسي. وإضافة إلى ذلك، على هذه الخريطة الغريبة، ينبغي إظهار جزء من الكتلة الأرضية بخط عادي متصل وجزء بخط مكسور منقط لأنه يقع وراء خط العرض حيث يبدو الجسم، على نحو غريب، وكأنه "ينثني على نفسه". ربما أمكننا تزويد الخرائط على قرص ورقي مع ظهور بقية الكتلة الأرضية على الوجه الآخر من الورقة.

لنحاول "تخيل كل ذلك في ثلاثة أبعاد". لقد أظهرنا لانتورلو يغمر ذراعه اليسرى في كرة المضيق عبر رسمين منفصلين، وهو ما قد يوحي بأن الفضاء الثلاثي الأبعاد الثاني "في مكان آخر". ولكي يكون الأمر صحيحًا ينبغي تركيب الرسمين المنظوريين فوق بعضهما مع تمثيل اليد (اليمنى) البارزة بخط منقط.

حاولت فعل ذلك مع أنه لم يكن سهلًا. كان يمكنني استخدام لونين مختلفين، الأحمر للأجزاء في الجانب الثلاثي الأبعاد الأول من فضائنا الثلاثي الأبعاد غير البسيط الاتصال والأخضر للآخر. عندئذ كان لانتورلو الأحمر سيرى يدًا "يسرى" حمراء غمرها في الكرة تخرج يدًا "يمنى" خضراء.

من الواضح أنه "داخل" كرة المضيق لا يوجد شيء. إن ظهور باطن، ومحتوى حجمي، إنما يعود إلى اختيارنا لفضاء التمثيل الثلاثي الأبعاد هذا. وكما أنه في الثقب المقطوع في ورقة الورق لا يوجد ورق أيضًا. لقد كان ذلك مجرد حادث مرتبط باختيار فضاء التمثيل المستوي هذا. ولو أصرّ أحدهم على استخدام تمثيل مستوٍ دون إزالة القرص المقطوع من الورق وسأل مرارًا "ما الذي في الداخل" لكان خارج "الميدان" تمامًا (أو بالأحرى... داخله). الميدان غير موجود.

لنعد إلى الأبعاد الثلاثة. عندما يغمر لانتورلو ذراعه في كرة المضيق، فإن لهذه أيضًا ليس لها باطن. إن ظهور باطن يعود ببساطة إلى اختيارنا لفضاء التمثيل. كان يمكننا اعتبار أن لانتورلو ويده البارزة قد رُسما على ورقة لها ثلاثة أبعاد أزلنا منها... كرة (المكافئ الثلاثي الأبعاد لقرص ورقة الورق). رياضيًا، القرص "كرة b2" و"حجم الكرة" هو "كرة b3". ونعني بـ"الكرة" خلية قابلة للتقلص (انظر التوبولوجيكون على "CD-Lanturlu")، أي جسم يمكنه التقلص بالنسبة إلى نقطة بالمرور على نفسه. المثالان الثنائي والثلاثي الأبعاد موجودان لتوضيح خطة معركة المقال: كرة شفارتزشيلد ليس لها "باطن" ولا "مركز". وعندما نعبرها (الممر الفائق الثقب) نجد أنفسنا على "الوجه الآخر للزمكان".

ما مبرر هذا التفسير الجديد لـ"هندسة شفارتزشيلد"؟

الجواب: إزالة الشواذ. لقد فعل كروسكال، بـ"تمديده التحليلي"، كل ما في وسعه لاختراق هذه "الكرة الملعونة". ولم ينجح إلا في حشر الشذوذ (وهو دور كان يقوم به في البداية سطح شفارتزشيلد) في نقطة تقع "في مركز هذا الجسم". وقد اكتفى الناس بهذه الحيلة. غير أننا نرى أنه أفضل بدون شذوذ.

الطبيعة تحتج، حين ننظر إليها من الجانب الخطأ، بإفرازها الشواذ. هكذا نرى الأشياء. إنها نظرة مسبقة لما هو "حقيقي". نحن نعتقد أن هذه الشواذ لا وجود لها في الطبيعة. ونعتقد أيضًا أن اللانهاية لا وجود لها. ولكن، كما قال كيبلينغ، تلك قصة أخرى. لقد أجريت نقاشات حامية مع سوريو حول المسألة قبل عام.

• ما الذي يثبت أن اللانهاية موجودة؟...

• لكن، بدون لانهاية لا توجد رياضيات!...

• هل صادفت اللانهاية يومًا؟ رأيتها، أمسكتها بيدك؟

• إنها... وسيلة راحة.

• نحن نولّد أعدادًا كبيرة لا نهائيًا بافتراض أننا نستطيع إضافة 1 إلى عدد إلى ما لا نهاية. نحن نستخدم لانهاية متتالية لتوليد لانهاية عددية. إنها تأكل ذيلها، شيءك هذا.

• حسنًا، لنقل إنها وسيلة راحة. لقد اخترع الإنسان شيئين مهمين خلال تاريخه: اللانهاية والمراحيض...

ولا أعتقد أن اللامتناهي في الصغر موجود، لا فيزيائيًا ولا رياضيًا. لكن ذلك سيكون موضوع أوراق أخرى. لنترك هذه الأسئلة جانبًا في الوقت الحالي. استطراد بسيط.

بالمناسبة، انظر "علم الكون اللامتغير القياس" لـ P. Midy وJ.P. Petit، المجلة الدولية للفيزياء الحديثة D، يونيو 1999، الصفحات 271-280 حيث جعلنا "الشذوذ الأولي للكون" يختفي. إنها إعادة صياغة أكثر بناءً رياضيًا لفكرة نشرتها في 88-89 في Modern Physics Letters A (أوراق على الموقع).

كما قال أرخميدس، أعتقد، عند مدخل محراب للعلم: "لا يدخل هنا من ليس هندسيًا". هذه التنسورات وأمثالها، وهو مجال يحبه ميدي، عسيرة الهضم كالبودينغ الإنجليزي.

نرى إذن، عبر هذا النقاش، أن رؤيتنا الفيزيائية لهذه الظواهر تنبع من الطريقة التي نقرر تمثيلها بها. فبتعديل الإحداثيات المكانية غيّرنا "الطوبولوجيا المحلية"، وهو مصطلح يحتاج إلى توضيح رياضي وفق سوريو. في الواقع العبارة تلطيف لطيف: فقد بدأ ببساطة يهذي حين قلتها، وكان قطه بيوم وأنا في أقصى الصعوبة في تهدئته. سوريو هو البروفيسور تورنسول في الرياضيات. وهو ممارس راغب للسخط الرياضي الرفيع. غير أن هذا السخط لا ينبغي الخلط بينه وبين الغضب بالمعنى المبتذل للكلمة. بل إنني أقوم بدور "السيد جوردان" لموليير في هذا المجال. فالفيزيائيون كثيرًا ما يستخدمون الرياضيات دون أن يعرفوا ذلك (والعكس صحيح في الواقع).

وبقبول استخدام كلمات "غير محددة" مؤقتًا، يحدث كل شيء كما لو كنا اعتبرنا فقط أن "الطوبولوجيا المحلية" لهندسة شفارتزشيلد "فائقة الكروية" (أن كرة شفارتزشيلد "تحتوي" على "كرة B3"). لقد جعلناها "فائقة الثقب". لذلك اقترحت مصطلح "الهندسات فائقة الثقب".

ذكرنا سابقًا انقلاب الفضاء. ويُتفاوض عليه مع الزمر. هل يمكننا فهم ذلك على نحو مختلف؟ رأينا أن لانتورلو غمر يده اليسرى في كرة المضيق ورأى يدًا يمنى تخرج. في الواقع، كل ذرة من يده تبعت خطًا جيوديسيًا "شعاعيًا" عموديًا على السطح.

لا ننسَ أن نذكر بالمناسبة أن نظام التمثيل هذا غير متساوي القياس. كما هو الحال مع الورقة ذات الثقب. فلو قسنا المسافة المقطوعة في نصفي الفضاء بواسطة ذرة اختبار تنتمي إلى يد لانتورلو (أرشيبالد هيغينز في الإصدارات الإنجليزية) لما تطابقت مع المسافة الحقيقية المقيسة بخيط.

لنعد إلى الشكل الموضح سابقًا.

هنا أظهرنا قوسًا جيوديسيًا AB يعبر دائرة المضيق وصورته في فضاء التمثيل المستوي أدناه. ويصبح الطابع غير المتساوي القياس للتمثيل أكثر وضوحًا. فأطوال القوسين AB وA'B' مختلفة جدًا.

من الواضح أنه من الصعب نوعًا ما تخيل أننا نستطيع إدخال خيط في كرة المضيق لممر فائق الثقب. فبشد الخيط كنا سنحصل على خط جيوديسي (خط أقصر مسار). وعلى كل حال، لو قسنا طول الخيط في فضاء التمثيل الثلاثي الأبعاد (لانتورلو يدفع ذراعه) وقررنا قياس طول الخيط في هذا الفضاء، لوجدنا طولًا أقصر A'B'. أما الطول الحقيقي، المقيس في السطح الفائق الثلاثي الأبعاد، فسيكون أطول، كما يظهر في الرسم الثنائي الأبعاد. إذن التمثيل الثلاثي الأبعاد مع لانتورلو غير متساوي القياس، وكذلك التمثيل المستوي أعلاه.

بمساعدة بعض الرسوم تصبح هذه المفاهيم الدقيقة، المستمدة من نظرية الزمر، أقل استغلاقًا بشرط أن "يرى المرء في الفضاء". هذا ما أحاول تعليمكم فعله، أن تروا في فضاء منحنٍ ثلاثي الأبعاد.

لنعد إلى مسألة التماثل المرآوي، انقلاب الأجسام حين تعبر بنية المضيق الثنائية أو الثلاثية الأبعاد. لنتخيل خطوطًا جيوديسية شعاعية في بعدين. لقد صارت الكلمة غير صحيحة لأن نصف القطر في المبدأ خط مستقيم ينطلق من نقطة. في الواقع الأمر يتعلق بخطوط جيوديسية ذات j ثابت. انظر الرسم السابق الذي أظهر هذا الإحداثي السمتـي. غير أننا، لمزيد من الإيجاز، سنواصل استخدام كلمة "شعاعي" بين علامتي تنصيص. لاحظ أن كلمة "شعاعي" هي نفسها نتيجة لاختيار فضاء التمثيل. لنتخيل أن حرف R (وهو غير مطابق لصورته المرآوية، صورته المتماثلة مرآويًا) ينزلق كتحويلة سيئة التثبيت على طول ممرنا الحلقي، وتتحرك كل نقطة من نقاطه وفق خط جيوديسي. سيجد الحرف نفسه "على الوجه الآخر". ومن المثير للاهتمام النظر إلى نتيجة العملية على إسقاط مستوٍ في فضاء التمثيل.

أظهرنا نوعًا من الشريط حافتاه مصنوعتان من خطين جيوديسيين. ماذا نلاحظ؟ في فضاء التمثيل ينقلب الحرف R ليصبح "ia" روسية، أي R معكوسة، متماثلة مرآويًا. بدأنا نفهم لماذا تبدو يد لانتورلو منقلبة حين تبرز في "فضاء التمثيل الثلاثي الأبعاد"، فهي تصبح متماثلة مرآويًا.