عرض مميزية شوارزشيلد

لكن هناك أسطح تكون مفردة بشكل داخلي، وتتميز بفرادات لا تعود إلى اختيار إحداثيات. مثال على ذلك: الفرادة القاعدية.

السطح المطروح، كما وُضِع في عام 1917 من قبل شوارتسشيلد في إحداثيات t، r، q، j (الزمن، المسافة الشعاعية، وزاويتين، تساويان الزاوية المرجعية والزاوية العرضية: إحداثيات "كروية")، يكون هذا السطح مفرداً. لقيمة معينة Rs من "الإحداثية الشعاعية" r (وهي تُقاس من "المركز الهندسي")، تُظهر هذه المترية أسوأ تصرفاتها. على هذه الكرة، أحد الحدود يصبح صفراً. بمعنى آخر، فهي مفردة على هذه الكرة. هل كانت هذه فرادة داخلية أم عبارة عن تأثير ناتج عن اختيار خاطئ للإحداثيات؟ هذه هي السؤال الذي طرحناه.

لقد لاحظنا في هذه المرحلة أن "هندسة شوارتسشيلد" هي سطح مزدوج الأبعاد، مما يجعل الأمور أكثر تعقيدًا.

ركز كروسكال على هذه النقطة. لقد أنشأ تغييرًا في الإحداثيات، من بين أمور أخرى، يوفر قيمة ثابتة لسرعة الضوء على طول مسار شعاعي. بهذه الطريقة، يركز الجانب المفرد "في مركز الجسم"، في "فرادة مركزية". من الناحية النفسية، يشعر المرء أنه يحقق فائدة. تصبح الحلول "منتظمة تقريبًا في كل مكان"، عبارة يستخدمها الرياضيون للإشارة إلى أن الحلول منتظمة، خالية من الأمراض، باستثناء نقطة واحدة فقط.

• أنت لا ترغب في التفاصيل، تبحث عن مشاكل، فقط لأن هناك نقطة واحدة.....

للأسف، هذه الصياغة من كروسكال لديها عيب خطير: فهي لا تعيد إنشاء فضاء النسبية الخاصة في اللانهاية. تقنيًا، فهي ليست لورنتزية في اللانهاية، "لورنتزية بشكل تنازلي".

هذه مسألة أساسية في الفيزياء: هل توجد فرادات؟ هل تقبل الطبيعة الفرادات؟ الجواب يُعبَّر عنه بمعنى الإيمان (كما هو الحال بالنسبة لوجود أو عدم وجود اللانهاية).

لقد حاولنا اكتشاف تفسير جديد لنفس هندسة شوارتسشيلد، محاولين التخلص من أي فرادة، ونجحنا في ذلك. إذًا إجابتنا هي:

• طبيعة الحل المفردة لشوارتسشيلد هي مجرد ناتج عن اختيار خاطئ للإحداثيات.

تقنيًا، كل شيء يعتمد على تغيير المتغير:

r = Rs + Log ch r

وهي تُقرأ "r تساوي Rs زائد اللوغاريتم الزائدي للدالة cosh من المتغير r". بسيطة بالنسبة للعلماء، المتخصصين أو حتى المتفوقين. بالنسبة لمن يتقن التعامل مع هذه الصيغة، لا يمكن للمتغير r أن يصبح أقل من Rs، حتى عندما يأخذ r جميع القيم الممكنة من سالب اللانهاية إلى موجب اللانهاية.

افترض سطحًا يتم الحصول عليه عن طريق دوران قطع مكافئ حول خط مستقيم، كما يلي:

هذه الصورة مستمدة من المقال. السطح لا نهائية، تمامًا كما هو الحال مع القطع المكافئ المُحور حول المحور z. إذا حاولت تمثيله باستخدام إحداثيات (r, z, j)، يمكنك توقع مشاكل عندما تسأل "كيف يبدو هذا السطح عندما يكون r أقل من Rs؟"

ستجد إجابة... خيالية، مع جذور لقيم سالبة. ببساطة لأنك تكون "خارج السطح".

في الرياضيات، يُقال إن هذا السطح "ليس متصلًا ببساطة"، مصطلح غريب يشير فقط إلى الأسطح التي لا يمكن فيها أن يقل محيط أي منحنى مغلق، من خلال تمريره عبر السطح، حتى يصبح صفرًا.

هذا ممكن على كرة، وهي "متصلة ببساطة". لكن على هذا السطح، من الواضح أن أي منحنى مغلق "يمر حول هذا النوع من البئر المركزية" لا يمكن أن يقل محيطه حتى يصبح صفرًا، حيث تكون الحد الأدنى هو محيط "الدائرة الضيقة". الشيء نفسه ينطبق على حلقة، وهي أيضًا "ليست متصلة ببساطة".

لقد حددنا هذا النوع من السطح من خلال مترية، مما يوضح جيدًا الفكرة. مع الحفاظ على الإحداثية r، يبدو السطح مفردة. باستخدام تغيير المتغير المذكور أعلاه، لا يكون مفردة. ماذا تمثل هذه الإحداثية r؟ إنها تتحرك ببساطة على طول القطع المكافئ المُحور كما هو موضح في الشكل، وتصل إلى الصفر على الدائرة الضيقة. نصف السطح يتوافق مع r الموجب، والنصف الآخر مع r السالب. في نظام الإحداثيات للنقاط [r، j]، لم يعد هناك فرادة.

لقد قررنا تسمية هذا النوع من الكائنات "جسر توروس"، بالاقتران مع التوروس.

لكن يمكن إثبات بسهولة، مرة أخرى من خلال المترية، أنه يمكن الانتقال إلى كائن، سطح مزدوج الأبعاد، يحتوي على "جسر توروس هايبرتي". في هذه الحالة، لا يوجد دائرة ضيقة، بل كرة ضيقة. تمامًا كما في السطح أعلاه، حيث كانت الدائرة الضيقة تربط بين نفتين 2D، فإن الكرة الضيقة تربط بين نصفي فضاء 3D. عندما تكون في أحد هذين النصفي الفضاء 3D وتنغمر في الكرة الضيقة، تخرج إلى النصف الآخر من الفضاء.

نعود إلى السطح 2D المذكور أعلاه. الشكل التالي يظهر أن رسم "دوائر تبدو مركزة" يؤدي إلى تقلص محيطها، ثم يزداد مرة أخرى.

في 3D، يجب تخيل كرة تحيط تمامًا بالكرة الضيقة. ثم كرة أخرى داخلها (يجب أن نقول "بeyond" بالاتجاه المحدد، نحو الكرة الضيقة). نتخيل أن مساحة سطح هذه الكرة تكون أصغر. لكن، عندما نصل إلى الكرة الضيقة، تمر المساحة عبر أدنى حد، ثم تبدأ بالزيادة مرة أخرى... إلى اللانهاية، عندما نستمر في هذه العملية.

لقد بنينا "المترية" لهذه الأسطح 2D و3D التي تحتوي على "ممر توروس" و"ممر هايبرتي"، وفي الحالة الثانية، أثرنا بشكل كبير على الشبه مع مترية شوارتسشيلد، حيث قمنا بإجراء هذا التغيير في الإحداثيات، مما كشف عن خاصيتها "ليست متصلة ببساطة"، "الداخل" من الجسم يصبح ببساطة "الجانب الآخر من الكرة الضيقة".

وبهذا، أصبح من الممكن التخلص من كل الفرادات.

في هذه المرحلة، قمنا بتوسيع نموذج الثقب الأسود إلى زوج "ثقب أسود - نجم أبيض". لكن، حتى بالنسبة لهذا "المراقب الخارجي"، كان وقت العبور عبر هذا الجسر الهايبرتي لا يزال لا نهائية. بدا أننا قمنا فقط بتحسين نموذج الثقب الأسود، موضحين ما ينتهي إليه.

قالنا إن اختيار المتغيرات في الحل الهندسي كان كليًا عشوائيًا. لكن ما ينطبق على الفضاء ينطبق أيضًا على الزمن. لذلك، ذهبنا بحثًا عن تغيير في المتغير الزمني ابتكره إدينجتون في عام 1924:

مرة أخرى، نذكره للعلماء أو حتى المتفوقين.

t هو "الزمن الكوني" القديم، "المتغير الزمني" الموجود في الحل الأصلي لشوارتسشيلد في عام 1917.

t' هو "الزمن الجديد لإدينجتون". Rs هو "نصف قطر شوارتسشيلد" (وكان من الأفضل أن نتحدث عن محيط شوارتسشيلد، مقسومًا على 2π).

c هي سرعة الضوء (هنا، ثابتة).

ما قد يبدو غريبًا: ندمج الزمن والمكان، لكن في هذه المسألة، لنا كل الحق. اختيار إحداثية الزمن، أو إحداثية التوقيت (time-marker) هو كليًا عشوائيًا. نطلب فقط:

• أن تكون المترية تناهية لورنتزية، أي أن الفضاء والزمن يصبحان فضاء مينكوفسكي، فضاء النسبية الخاصة، في اللانهاية. في حالتنا، هذا يعمل (وليس لدى كروسكال).

• أن يتطابق هذا الزمن الجديد t'...