هنا، تم تقليل الشكل قليلاً لجعله أكثر وضوحًا. سطح هو كائن ثنائي الأبعاد، هنا "غمر" في مساحة ثلاثية الأبعاد إقليدية، أي في R3. من الأعلى، يمكننا "رؤيتها". والحقيقة أن هذا السطح قابل للغمر في هذه المساحة R3 "بشكل متطابق". أي أن إذا قمنا بوضع شريط لاصق عليه، فإن هذا الشريط يندرج فعليًا على خط مستقيم يربط بين نقطتين A و B على السطح. بالإضافة إلى ذلك، فإن الطول المقاس على طول هذا الخط المستقيم هو أيضًا صحيح. إنه متطابق، أصلاً "نفس الطول". في الأسفل يوجد مساحة تمثيلية ثنائية الأبعاد، والتي توفر تمثيلًا لا يكون متطابقًا. طول القوس A'B' لا يساوي طول القوس AB. اصنع الكائن التالي باستخدام ورقة وقلم ومقص:
هذا الرسم ليس متطابقًا. أولاً، المنحنى المذكور لا يُعد بالتأكيد خطًا مستقيمًا في المستوى. ثانيًا، طول القوس AB لا يُعتبر "الطول الحقيقي"، الذي نقيسه على "السطح الحقيقي"، الذي "ليس مثقبًا". هذه الورقة المثقبة هي فقط تمثيل مريح، ولا أكثر. تمامًا كما أن هذه التقنية التي تتمثل في رسم منحنى على الوجه الأم لورقة والآخر على الوجه الخلفي، بحيث يظهر المنحنى كاملاً فقط كشفّة.
في الرسم التالي، تم رسم الخطوط المستقيمة لهذا السطح، حسابها بواسطة الحاسوب (وهو موجود في المقال).
الجوانب المُظللة من المنحنيات تتوافق مع الفروع التي تقع "من الجانب الآخر" (كأننا ننظر إلى السطح "من الأعلى").
الآن، سؤال: هل يمكنني بناء تمثيل مسطح ومتطابق لهذه الخطوط المستقيمة؟ الجواب هو نعم. لقد رأينا أننا يمكننا تغيير المتغير r إلى المتغير r. إذن يمكن للخطوط المستقيمة أن تُرسم تمامًا في مستوى "الإحداثيات القطبية" (r، j). الخطوط المستقيمة (هنا خط مستقيم غير شعاعي) تبدو كالتالي:
هذا التمثيل متطابق. افترض أن هناك ثلاث نقاط A، B، C تقع على السطح، وتقع على نفس الخط المستقيم. A'، B' و C' هي النقاط المقابلة في هذا التمثيل [r، j]. النقاط A و B تقعان على نفس نصف القطر، والقوس المستقيم الذي يربط بينهما لا يمر عبر دائرة الحلق. قياسًا في هذا المستوى، على طول صورة هذا الخط المستقيم (الذي لا شك أنه ليس خطًا مستقيمًا في هذا المستوى)، فإن طول القوس A'B' يساوي طول القوس AB، المقاس على السطح.
القوس BC يمر عبر دائرة الحلق. الشيء نفسه ينطبق.
ولكن هذه المطابقة لا تنطبق على جميع الخطوط المستقيمة على السطح. هناك واحدة، وحيدة في نوعها: دائرة الحلق، والتي تم تقليلها إلى نقطة هنا. هذه هي الخط المستقيم الوحيد على هذا السطح الذي يعود على نفسه.
الخطوط المستقيمة هي طريقة واحدة فقط لفهم سطح أو مساحة غير مسطحة، غير إقليدية. إنها معايير موثوقة (حتى لو كان لدينا رؤية مشوهة من خلال أنظمة تمثيل ثنائية أو ثلاثية الأبعاد (بمنظور). نحن نعلم أن هذه الخطوط المستقيمة "توجد"، وأنها متجذرة في الطبيعة. على سبيل المثال، خطوط المستقيمة على كرة الأرض هي دوائر كبيرة. أما بالنسبة للفضاء-الزمن، فإنها مملوءة بخطوط مستقيمة زمنية-مكانية لا حدود لها. هذه الخطوط المستقيمة موجودة بشكل داخلي، ونحاول فهمها (أي "إحاطتها"، "الإمساك بها") كعميان، عن طريق "لمس" هذه الخطوط المستقيمة. ولكن خطوط الإحداثيات الزمنية والمكانية لا تملك أي واقع داخلي، تمامًا كما لا تشكل مجموعتا المحيطات والدوائر العرض جزءًا من الكرة الأرضية. إنها لا تُقدَّم معًا. هندسة شوارزشيلد، وهي حل لمعادلة المجال الإينشتاين، هي سطح أبعاده أربعة. على هذا السطح، وضعت النظريون عائلات من المنحنيات "بثابت t"، "بثابت r"، وغيرها.
احفظ في ذهنك أن هذه الإجراءات تبقى تمامًا عشوائية. لكن حتى الخبراء في علم الكونيات النظرية يفقدون أحيانًا الوعي بهذا الجانب، والذي يُذكّر به أحيانًا علماء الرياضيات-الهندسة. لذلك، كان من المناسب تمامًا تغيير إحداثيات الفضاء والزمن.
في هذه المرحلة، قد تقول لي: لكن ما الذي يسمح لنا بالقول إن خيار إحداثيات معين أفضل من آخر؟ أين تكمن المعقولية واللامعقولية؟ هذه مسألة ذوق. اختيار إحداثيات الفضاء والزمن هو مجرد إضافة رؤية فيزيائية لجسم رياضي. في حالة الأرض، منحناها قطبين لأنها تدور. القطب الشمالي هو ببساطة النقطة على سطح "الأرض" التي تشير فيها الم:normal إلى النجمة القطبية، النجمة التي تبقى ثابتة في السماوات.
بالنسبة إلى المطابقة والعدم المطابقة، تُظهر الخرائط المشاكل الناتجة عن محاولة تمثيل كرة على مستوى. تُعتبر خريطة ميركاتور (تمثيل الكرة الأرضية على أسطوانة مماسة على خط الاستواء) مريحة للغاية للأشخاص الذين يعيشون بالقرب من خط الاستواء. ولكن السكان في أحد القطبين يواجهون مفاجأة سيئة: منطقتهم، التي هي نقطة، تتحول إلى خط مستقيم...
هناك 36000 طريقة لرسم كرة على مستوى. تخيل هذه الطريقة:
تخيل أننا نصنع خرائط جغرافية على هذا النمط ونبيعها. نجاح فوري بين سكان القطبين: لأن هذه التمثيلات تكون في هذه المناطق تقريبًا متطابقة. مفيدة جدًا لفهم المسافات في هذه المناطق. إذا كانت الأرض قابلة للسكن في القطبين وقاسية نسبيًا في أماكن أخرى، لكان من المحتمل أن تُصنع الخرائط بهذه الطريقة. لاحظ أن في هذه الحالة، الدائرة الحدودية لتمثيل المستوى لا تتوافق مع خط الاستواء، بل مع دائرة عرض (هنا تقع في نصف الكرة الشمالي). في محيط هذه المنطقة، ستكون الخريطة بعيدة تمامًا عن المطابقة. علاوة على ذلك، على هذه الخريطة الغريبة، سيُرسم جزء من الأراضي بخطوط متقطعة، والآخر بخطوط مستمرة، لأنها تقع خارج هذه الدائرة العرضية حيث يبدو الجسم "يتمطط" بشكل غريب. ما لم نقدم خرائط على شكل دوائر، حيث يظهر الجزء التالي من الأرض على الوجه الآخر من الورقة.
حاول أن "فكر في كل هذا في 3D". لقد رسمنا لانتورلو وهو يغمر ذراعه اليسرى في دائرة الحلق، وفصلنا بين الرسمين، مما يبدو أنه يشير إلى أن هذا الفضاء 3D الثاني يمكن أن يكون "في مكان آخر". لكي يكون أكثر دقة، كان من الأفضل أن نضع الرسمين معًا في منظور، ونمثل اليد (اليمين) التي تخرج "بشكل متقطع".
حاولت أن أفعل ذلك، حتى لو لم يكن ذلك سهلاً للغاية. يمكننا أيضًا استخدام لونين مختلفين، على سبيل المثال الأحمر لشيء سيكون في الجانب الأول 3D من مساحتنا 3D غير المتصلة ببساطة، والأزرق لشيء سيكون في الجانب الآخر. سيُرى لانتورلو الأحمر على سبيل المثال اليد الأحمر اليسرى التي غمرها في دائرة الحلق على شكل يد زرقاء "يمينية".
من المؤسف أن رايموند ديفوس لا يهتم بالرياضيات. على الرغم من...
بالطبع "داخل" دائرة الحلق، لا يوجد شيء. هذه الظاهرة من الداخل، من المحتوى الحجمي، تأتي فقط من اختيار هذا المساحة الثلاثية الأبعاد. تمامًا كما أنه لا يوجد ورق داخل الثقب المحفور في الورقة. كان ذلك مجرد حادثة مرتبطة باختيار هذا المساحة المسطحة. شخص يصر على استخدام هذه التمثيل المسطح دون إزالة القرص المقطوع من الورقة، ويستمر في...