هنا، قمنا بـ"تنحيف" الشكل قليلاً لجعله أكثر قابلية للقراءة. السطح هو كائن ثنائي الأبعاد، مغمور هنا في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد، أي في R3. يمكننا "رؤيته" من الأعلى. اتفق أن هذا السطح قابل للغمر في هذا الفضاء R3 "بطريقة متساوية القياس" (isométrique). وهذا يعني أنه إذا ألصقنا عليه شريطاً لاصقاً، فإن هذا الشريط يمتد فعلياً على طول خط جيوديسي يربط بين نقطتين A و B على السطح. علاوة على ذلك، الطول المقاس على طول هذا القوس الجيوديسي يكون صحيحاً أيضاً. إنها حالة "متساوية القياس"، وكلمة isométrique تعني لغوياً "نفس الطول". في الأسفل يوجد فضاء تمثيل ثنائي الأبعاد، يعطي تمثيلاً غير متساوي القياس. طول القوس A'B' لا يساوي طول القوس AB. اصنع الكائن التالي باستخدام ورقة وقلم ومقص:
هذا الرسم ليس متساوي القياس. أولاً، المنحنى المحدد ليس بالتأكيد خطاً جيوديسياً في المستوى. ثانياً، طول القوس AB ليس "الطول الحقيقي"، أي الطول الذي كان ليُقاس على "السطح الحقيقي" الذي "لا يحتوي على ثقوب". هذه الورقة المثقوبة ليست سوى تمثيل مريح، لا أكثر. وكذلك هذه التقنية التي تتلخص في رسم جزء من المنحنى على الوجه الأمامي للورقة والجزء الآخر على الوجه الخلفي، بحيث يظهر المنحنى بأكمله فقط من خلال الشفافية.
في الرسم التالي، تم تمثيل الخطوط الجيوديسية لهذا السطح، المحسوبة بواسطة الحاسوب (الوارد ذكره في المقال).
الأجزاء المتقطعة من المنحنيات تقابل الفروع التي توجد "في الجهة الأخرى" (كما لو كنا ننظر إلى السطح "من الأعلى").
والآن، سؤال: هل يمكنني بناء تمثيل مستوٍ ومتساوي القياس لهذه الخطوط الجيوديسية؟ الإجابة هي نعم. لقد رأينا أنه يمكننا تغيير المتغير r إلى المتغير r. إذن يمكن تمثيل الخطوط الجيوديسية بشكل مثالي في مستوى "الإحداثيات القطبية" (r, j). تأخذ الخطوط الجيوديسية (هنا خط جيوديسي غير شعاعي) الشكل التالي:
هذا التمثيل متساوي القياس. لنفترض وجود ثلاث نقاط A و B و C تنتمي إلى السطح، وتقع على نفس الخط الجيوديسي. A' و B' و C' هي النقاط المقابلة في هذا التمثيل [r, j]. تقع النقطتان A و B على نفس نصف السطح، والقوس الجيوديسي الذي يربطهما لا يعبر دائرة العنق. عند القياس في هذا المستوى، على طول صورة هذا الخط الجيوديسي (التي ليست بالتأكيد خطاً جيوديسياً في هذا المستوى)، يكون طول القوس A'B' مساوياً لطول القوس AB المقاس على السطح.
القوس BC يعبر كرة العنق. نفس الشيء ينطبق هنا.
لكن هذا التساوي في القياس لا ينطبق على جميع الخطوط الجيوديسية للسطح. هناك خط واحد فريد من نوعه: دائرة العنق، المختزلة هنا إلى نقطة. إنه الخط الجيوديسي الوحيد على هذا السطح الذي ينغلق على نفسه.
الخطوط الجيوديسية هي وسيلتنا الوحيدة لفهم سطح ما، أو بشكل أعم، فضاء غير مستوٍ وغير إقليدي. إنها مراجع موثوقة (حتى لو كانت لدينا عنها رؤى مشوهة عبر أنظمة التمثيل ثنائية أو ثلاثية الأبعاد (بالمنظور). نعلم أن هذه الخطوط الجيوديسية "موجودة"، وأنها جوهرية. فعلى سبيل المثال، الخطوط الجيوديسية على الكرة هي دوائر عظمى. وفيما يتعلق بالزمكان، فهو مليء بعدد لا نهائي من الخطوط الجيوديسية الزمكانية. هذه الخطوط موجودة بشكل جوهري، وللفهم (والفهم لغوياً يعني: احتضان، أو أخذ في العناق)، نحاول، مثل العميان، "تحسس" هذه الخطوط الجيوديسية. لكن خطوط إحداثيات الزمن والمكان لا تملك أي واقع جوهري، تماماً كما أن مجموعتي خطوط الطول ودوائر العرض ليستا جزءاً لا يتجزأ من الكرة. فهي ليست "مرفقة بها". هندسة شفارتزشيلد، وهي حل لمعادلة المجال لأينشتاين، هي سطح فائق رباعي الأبعاد. وقد فرض المنظرون عليها عائلات من المنحنيات "ثابتة t"، "ثابتة r"، إلخ.
احفر في ذهنك أن هذه الخيارات تبقى تعسفية تماماً. لكن حتى المتخصصين في علم الكونيات النظري غالباً ما يفقدون الوعي بهذه النقطة، التي يجب على الرياضيين-الهندسيين تذكيرهم بها من حين لآخر. لذا كان من المشروع تماماً تغيير إحداثيات المكان والزمان.
في هذه المرحلة، قد تقولون لي: إذن، ما الذي يسمح بالقول إن اختياراً معيناً للإحداثيات أفضل من آخر؟ أين يكمن المعقول واللامعقول؟ إنها مسألة ذوق. اختيار إحداثيات المكان والزمان يعني فرض رؤية فيزيائية على كائن رياضي. في حالة الأرض، منحناها أقطاباً لأنها تدور. القطب الشمالي هو ببساطة النقطة على سطح "الأرض" التي يشير متجهها العمودي إلى النجم القطبي، الجرم الذي يبقى ثابتاً في القبة السماوية.
بخصوص التساوي في القياس وعدمه، يوضح علم الخرائط المشكلات الناتجة عن محاولات تمثيل كرة على مستوى. إسقاط مركاتور (إسقاط الكرة الأرضية على أسطوانة مماسة على طول خط الاستواء) مريح جداً للسكان القريبين من خط الاستواء. أما ساكن أحد القطبين فيتفاجأ بشكل سيء: نطاقه، الذي هو نقطة، يتحول إلى خط مستقيم...
هناك ستة وثلاثون ألف طريقة لإسقاط كرة على مستوى. تخيلوا هذه الطريقة:
تخيلوا أننا صنعنا خرائط جغرافية وفقاً لهذا النموذج وبِعناها. سيكون هناك نجاح فوري لدى سكان القطبين: هذه الإسقاطات تكون، في تلك المناطق، شبه متساوية القياس. وهذا مريح جداً لتكوين فكرة عن المسافات في تلك الأرجاء. لو كانت الأرض صالحة للسكن عند قطبيها وغير مضيافة نسبياً في أماكن أخرى، لكانت الخرائط قد أُنشئت على الأرجح بهذه الطريقة. لاحظوا أنه في هذه الحالة، لا تقابل دائرة حدود الإسقاط المستوي خط الاستواء، بل دائرة عرض (هنا تنتمي إلى نصف الكرة الشمالي). وفي جوار هذه المنطقة، ستكون الخريطة بعيدة جداً عن التساوي في القياس. علاوة على ذلك، في هذه الخريطة الغريبة، يجب تمثيل جزء من الإقليم بخط متصل والجزء الآخر بخط منقط، لأنه يقع خلف دائرة العرض هذه حيث يبدو الكائن، بشكل غريب، وكأنه "يطوي نفسه". إلا إذا قدمنا خرائط تكون على شكل أقراص ويظهر استمرار التضاريس على الوجه الآخر، أي على ظهر الورقة.
لنحاول "التفكير في كل هذا بشكل ثلاثي الأبعاد". لقد مثلنا "لانتورلو" وهو يغمر ذراعه اليسرى في كرة العنق، وفصلنا الرسمين، مما يوحي بأن هذا الفضاء ثلاثي الأبعاد الثاني قد يكون "في مكان آخر". ليكون الأمر أكثر دقة، كان ينبغي وضع الرسمين فوق بعضهما بالمنظور، مع تمثيل اليد (اليمنى) التي تبرز "بالخط المنقط".
حاولت فعل ذلك، رغم أنه لم يكن سهلاً للغاية. كان يمكن أيضاً استخدام لونين مختلفين، مثلاً الأحمر لما يكون في المنحدر ثلاثي الأبعاد الأول من فضاءنا ثلاثي الأبعاد غير المتصل ببساطة، والأخضر لما يكون في المنحدر الآخر. كان "لانتورلو" الأحمر سيرى، على سبيل المثال، يده اليسرى الحمراء التي غمرها في كرة العنق تبرز على شكل يد خضراء "يمنى".
يؤسفني أن ريمون ديفوس لم يكن مهتماً بالرياضيات. رغم ذلك...
من الواضح أنه "داخل" كرة العنق لا يوجد شيء. هذا المظهر الداخلي، أو المحتوى الحجمي، ناتج فقط عن اختيار فضاء التمثيل ثلاثي الأبعاد هذا. تماماً كما أنه داخل الثقب المحفور في ورقة الورق لم يكن هناك ورق أيضاً. كان ذلك مجرد حادث مرتبط باختيار فضاء التمثيل المستوي هذا. شخص يصر على استخدام هذا التمثيل المستوي دون إزالة القرص المقصوص من الورقة، ويستمر في السؤال "ماذا يوجد بداخله؟"، سيكون "خارج الموضوع" (أو بالأحرى... داخله). هذه "اللوحة" غير موجودة.
لنعد إلى ثلاثية الأبعاد. عندما يغمر لانتورلو ذراعه في كرة العنق، لا تحتوي هذه الكرة أيضاً على داخل. هذا المظهر الداخلي ناتج فقط عن هذا الاختيار لفضاء التمثيل. يمكن اعتبار أن لانتورلو ويده البارزة قد رُسمت على ورقة ورق ذات ثلاثة أبعاد، أزيل منها... كرة (المقابل ثلاثي الأبعاد لقرص ورقة الورق). رياضياً، القرص هو "كرة b2" و"كرة الحجم" هي "كرة b3". نسمي "كرة" خلية قابلة للانكماش (انظر "التوبولوجيكون" في "قرص لانتورلو")، أي كائن يمكن انكماشه نحو نقطة أثناء انطبائه على نفسه. هذه الأمثلة ثنائية وثلاثية الأبعاد موجودة لتوضيح خطة الهجوم المتبعة في المقال: كرة شفارتزشيلد لا تحتوي على "داخل"، ولا على "مركز". عند عبورها (عبور مفرط التوري) نجد أنفسنا في "منحدر آخر للزمكان".
ما هو المبرر لهذا التفسير الجديد لـ"هندسة شفارتزشيلد"؟
الإجابة: إزالة التفردات. بذل كروسكال، بـ"استمراره التحليلي"، جهوداً مضنية لاختراق هذه الكرة الملعونة بأي ثمن. لم ينجح إلا في ضغط التفرد (الدور الذي كانت تلعبه كرة شفارتزشيلد في البداية) في نقطة تقع "في مركز هذا الكائن". اكتفينا بهذه الحيلة. لكننا نعتقد أنه بدون تفردات، يكون الوضع أفضل على أي حال.
تحتج الطبيعة، عندما ننظر إليها من الزاوية الخاطئة، بإفراز تفردات. هكذا نرى الأشياء. إنها وجهة نظر قبلية حول "الواقع". نعتقد أن التفردات لا توجد في الطبيعة. ونعتقد أيضاً أن اللانهاية لا توجد أيضاً. لكن، كما يقول كيبلينغ، هذه قصة أخرى. كان لدي نقاشات حادة مع سوريو حول هذه المسألة قبل عام.
-
ما الذي يثبت لي أن اللانهاية موجودة؟ ....
-
لكن، بدون لانهاية، لا تعود هناك رياضيات! ....
-
هل واجهت اللانهاية من قبل؟ هل رأيتها، هل أمسكتها بيدك؟
-
إنها .... ملاءمة.
-
نولّد أعداداً لا نهائية في الكبر بافتراض أنه يمكننا إضافة 1 إلى عدد، دون تحديد. إذن نستخدم لانهاية متسلسلة لتوليد لانهاية عددية. هذا الأمر يعض ذيله، يا صديقي.
-
حسناً، لنقل إنها ملاءمة. اخترع الإنسان شيئين مهمين خلال تاريخه: اللانهاية والمراحيض....
لا أعتقد أيضاً أن اللانهاية في الصغر موجودة، لا فيزيائياً ولا رياضياً. لكن هذا سيكون موضوع مقالات أخرى. دعونا جانباً هذه الأسئلة حالياً. مجرد استطراد.
بالمناسبة، انظروا إلى "علم الكونيات غير المتغير بالمقياس" (Scale Invariant Cosmology) لـ P.Midy و J.P.Petit، المجلة الدولية للفيزياء الحديثة D، يونيو 1999، الصفحات 271-280، حيث أزلنا "التفرد الأولي للكون". إنها إعادة صياغة أكثر بناءً رياضياً للفكرة التي نشرتها في 88-89 في رسائل الفيزياء الحديثة A (المقالات موجودة على الموقع).
آمل أنه عندما تقرأون هذه السطور، نكون قد وجدنا الوقت، بمساعدة السيدان ليكوت وبولاند، لإدراج هذا المقال الجديد في الموقع. لكن على أي حال، حتى لو كان هذا العمل معاداً نشره هناك، لا تغامروا بدخوله. كما كتب أركيميدس، أعتقد، عند مدخل معبد-علم "لا يدخل هنا من ليس بهندسياً". إنها موترات وما شابه، مجال يستمتع فيه ميدي، لكنه أيضاً عسير الهضم مثل البودينغ الإنجليزي.
نرى إذن، من خلال هذا الخطاب، أن الرؤية الفيزيائية التي لدينا للظواهر ناتجة عن الطريقة التي قررنا تمثيلها بها. لقد قمنا، بتعديل الإحداثيات المكانية، بتغيير "الطوبولوجيا المحلية"، كلمة تستحق أن تُحدد رياضياً، كما يقول سوريو. في الواقع، هذه الجملة هي مجرد تعبير لطيف: لقد صرخ فقط عندما نطقت هذه الكلمة. أنا وقطه بيوم وجدنا صعوبة بالغة في تهدئته. سوريو هو "تورنيسول" الرياضيات. يميل إلى ممارسة الاستنكار الرياضي إلى أقصى حد. لكن هذه النوبات من الاستنكار لا يجب الخلط بينها وبين الغضب بالمعنى التافه للكلمة. أنا أكثر تشبهاً بـ"السيد جوردين" في هذا المجال. غالباً ما يمارس الفيزيائيون الرياضيات دون أن يدروا (والعكس صحيح أيضاً).
بافتراض، مؤقتاً، استخدام كلمات "غير محددة"، يبدو الأمر كما لو أننا افترضنا حتى الآن أن "الطوبولوجيا المحلية" لهندسة شفارتزشيلد كانت "كروية فائقة" (أي أن كرة شفارتزشيلد "تحتوي" على "كرة b3"). لقد جعلناها "مفرطة التوري". هذا هو السبب في اقتراحي تسمية (غير خاضعة للرقابة) "الهندسات المفرطة التوري".
تم التطرق أعلاه إلى انعكاس الفضاء. هذا الأمر يُتفاوض عليه مع الزمر. هل يمكن فهم ذلك بطريقة أخرى؟ رأينا أن لانتورلو، وهو يغمر ذراعه اليسرى في كرة العنق، يرى تبرز ... يد يمنى. في الواقع، كل ذرة في يده اتبعت خطاً جيوديسياً "شعاعياً"، موجهاً بشكل عمودي على السطح.
نلاحظ عرضاً، وقد نسينا ذكر ذلك، أن طريقة التمثيل هذه ليست متساوية القياس. كما في حيلة الورقة المثقوبة، قبل قليل. لو قسنا الطول الذي قطعته ذرة نموذجية تنتمي إلى يد لانتورلو في نصفَي الفضاء، لما تطابق ذلك مع الطول الحقيقي الذي يمكن حسابه بخيط.
لنعد إلى رسم أعطى أعلاه.
هنا، مثلنا قوساً جيوديسياً AB يعبر دائرة العنق، وصورته في فضاء التمثيل المستوي، في الأسفل. يظهر طابع التمثيل غير المتساوي القياس بشكل أوضح هنا. أطوال الأقواس AB و A'B' مختلفة جداً.
من الواضح أنه من الصعب تخيل إمكانية إدخال خيط في كرة عنق ممر مفرط التوري. بشد الخيط، سنحصل على خط جيوديسي (خط أقصر مسار). ومع ذلك، إذا قسنا طول هذا الخيط في فضاء التمثيل ثلاثي الأبعاد (لانتورلو الذي يدخل ذراعه) وجازفنا بقياس طول الخيط المذكور في هذا الفضاء، لوجدنا طولاً A'B' أقصر. الطول الحقيقي، المقاس في السطح الفائق ثلاثي الأبعاد، سيكون أطول، كما هو موضح أعلاه في ثنائي الأبعاد. إذن التمثيل ثلاثي الأبعاد الذي يظهر فيه لانتورلو غير متساوي القياس، مثل التمثيل المستوي في الشكل أعلاه.
في الجوهر، هذه المفاهيم الدقيقة جداً، الناتجة عن نظرية الزمر، تصبح أقل غموضاً بفضل بعض الرسوم، بشرط "الرؤية في الفضاء". ما أحاول تعليمكم إياه هو الرؤية في فضاء ثلاثي الأبعاد منحني.
لنعد إلى مسألة التناظر المعاكس (enantiomorphie)، وانعكاس الكائنات عند عبورها بنية العنق، في ثنائي أو ثلاثي الأبعاد. لننظر، في ثنائي الأبعاد، إلى خطوط جيوديسية "شعاعية". أصبحت الكلمة غير دقيقة لأن الشعاع هو من حيث المبدأ خط مستقيم ينطلق من نقطة. في الواقع، إنها خطوط جيوديسية ذات j ثابت. انظروا إلى شكل، أعلاه، حيث تم تحديد هذا الإحداثي السمتي. لكن، من أجل الاختصار، سنستمر في استخدام كلمة "شعاعي" بين علامتي تنصيص. لاحظوا أن كلمة "شعاعي" هذه هي أيضاً نتيجة لاختيار فضاء تمثيل معين. تخيلوا أن حرف R (الذي ليس مطابقاً لصورته في المرآة، أي صورته المعاكسة تناظرياً) ينزلق، مثل ملصق نقل غير مثبت جيداً، على طول ممرنا المفرط التوري، حيث يسير كل نقطة منه على طول خط جيوديسي. سيوجد هذا الحرف "في الجهة الأخرى". ما هو مثير للاهتمام هو مراقبة نتيجة العملية في الإسقاط المستوي، في فضاء التمثيل.
تم تمثيل نوع من الشريط، تتكون حوافه من خطين جيوديسيين. ماذا نلاحظ؟ في فضاء التمثيل، انعكس حرف R، وأصبح "ia" روسياً، أو R مقلوباً، معاكساً تناظرياً. نبدأ الآن في فهم لماذا تبدو يد لانتورلو، عند خروجها في "فضاء تمثيل ثلاثي الأبعاد"، وكأنها قد انعكست، وأصبحت معاكسة تناظرياً.