الكونيات ثقب أسود مثير للجدل.
جان-بيير بييت، مرصد مارسيليا، فرنسا
بيير ميدي، مركز الأبحاث العلمية في أورسا، فرنسا
للمواصلة:
الملخص
نبدأ من النموذج المعروف بالثقب الأسود، المُعتبر تفسيرًا فيزيائيًا للهندسة الشوارزشيلدية، ونعيد النظر في مسألة مصير نجم نيوتروني عندما يتجاوز حد استقراره. نقدم أولًا أداة هندسية جديدة: الهندسة الزائفة الحلقيّة، من خلال أمثلة ثنائية وثلاثية الأبعاد (القسم 2). ونُظهر أن الأمراض المرتبطة بالقياسات، الناتجة عن عناصر الخط المستقيمة المُعبّرة عنها في نظام إحداثيات معين، يمكن تصحيحها من خلال اختيار أكثر ملاءمة صيغةً بدلالة "التركيب المحلي". على سبيل المثال، نُظهر أنه في الأمثلة المقدمة، السطح المستوي ثنائي الأبعاد والسطح الفائق ثلاثي الأبعاد، اللذين يمتلكان مجموعتي تماثل O2 وO3، ليسا متصلين بسيطًا.
نُوسع هذه الطريقة إلى الهندسة الشوارزشيلدية. ونُظهر أن العيوب المميزة يمكن إزالتها تمامًا من خلال اعتبار سطح فائق زماني-زماني غير متصل بسيطًا. ونُعطي للهندسة الشوارزشيلدية معنى فيزيائيًا مختلفًا: جسر يربط بين عالَمين، عالمنا وعالم متماثل.
نُظهر أن "تجمّد الزمن"، الركيزة الأساسية لنموذج الثقب الأسود، هو نتيجة بسيطة لاختيار عشوائي لعلامة زمنية معينة. وباستخدام علامة زمنية أخرى مستوحاة من أعمال إدينجتون (1924)، نُستنتج سيناريوًا مختلفًا تمامًا، يشمل احتجازًا محوريًا (مشابه للاحتضار الزاوي في قياس كير). ونُظهر أن حل شوارزشيلد يمكن تفسيره على أنه "جسر فضائي"، يربط بين عالمين، فضائين زمانيين، يعمل كجسر ذا اتجاه واحد. ونُظهر أن زمن المرور لجسيم اختبار هو منتهٍ وقصير، ما يجعل نموذج الثقب الأسود الكلاسيكي مثيرًا للجدل على الفور.
وبتوسيع مجموعة التماثل للقياس الشوارزشيلدي، نُظهر أن العالَمين متماثلان عكسيًا (متماثلان بالنسبة لـP) ويملكان علامات زمنية معاكسة (t* = - t). وباستخدام أداة من نظرية المجموعات: التأثير المرافق لمجموعة على فضاء الزخم، نُعطي معنى فيزيائيًا لهذا "عكس الزمن"، عبر السطح الحلقي الكروي، كرة شوارزشيلد: عندما يمر جسيم كتلة موجبة عبر الجسر الفضائي، تصبح مساهمته في المجال الجاذبي عكسية: m* = -m (كما أظهر جيه.إم. سوريو عام 1974، فإن عكس علامة الزمن يعادل عكس الكتلة والطاقة).
بما أن مسألة مصير نجم نيوتروني غير مستقر لا تزال مفتوحة، نُقدّم مشروع نموذج بديل: نقل جزء من مادته عبر جسر فضائي إلى عالم متماثل، حيث تتدفق هذه المادة نحو العالم المتماثل بسرعة نسبية.
بينما نذكر بعض العيوب المعروفة جيدًا في نموذج كروسكال، خصوصًا حقيقة أنه ليس لورنتزيًا بشكل تدريجي عند اللانهاية.
نُقترح النظر إلى الهندسة الشوارزشيلدية على أنها سطح فائق مغمور في فضاء من عشرة أبعاد. وبربط هذا العمل بأعمال سابقة قائمة على نظرية المجموعات، نُبنى نموذجًا متماثلًا CPT. تُحافظ التكافؤ بين المادة والمضادة مادة في كلا الطيّتين. عندما تنتقل مادة نحو العالم المتماثل، تتعرض لتماثل CPT، وتُعكس كتلتها (مساهمتها في المجال الجاذبي). ولكنها تبقى مادة. وبالمثل، تظل المادة المضادة التي تتدفق عبر الجسر الفضائي مادة مضادة، بكتلة عكسية، لأن عكس علامة الزمن، كما أظهر سوريو، يُستلزم عكس الكتلة.
- نموذج الثقب الأسود.
لا يمكن لنجم النيوترون أن يتجاوز كتلة حرجة، تقارب 2.5 كتلة شمسية. بالنسبة للكتل الأكبر، لا يمكن لمادته تحمل الضغط الداخلي الهائل الناتج عن القوة الجاذبية. ثم يحدث انفهار جاذبي. طوال فترة طويلة، حاول المُفكرون وصف مصير كائن من هذا النوع. عند النظر إلى قياس شوارزشيلد، المُعبّر عنه هنا بدلالة:
الإحداثيات، حيث Rs هو نصف القطر الشوارزشيلدي المعروف باسم "نصف قطر شوارزشيلد" (1)،
كان يُتخيل أن هذه الحلول للمعادلة أينشتاين:
(2) S = 0
مع حد ثانٍ صفري يمكن أن تحل المشكلة. في الواقع، إذا تم اختيار t كـ"الزمن الكوني لمراقب خارجي"، فإن زمن السقوط الحر لجسيم اختبار يتبع "المسار المستقيم الشعاعي"، من نقطة بعيدة عن الكرة الشوارزشيلدية r = Rs، يُحسب أنه لا نهائي، بينما يبقى هذا الزمن الساقط Ds، المعبّر عنه بـ"الزمن الخاص"، منتهيًا. إذًا تكون "الوصف الفيزيائي" كالتالي:
-
الكائن (نجم نيوتروني تجاوز حد استقراره) يمر بانهيار جاذبي. تتسارع كتلته نحو "المركز الهندسي للنظام"، الموصوف كـ"مُفرد مركزي". هذا الظاهرة تمتد على فترة منتهية Ds، بدلالة الزمن الخاص s.
-
ولكن، بالنسبة لمراقب خارجي، يقع على بعد معين من الكائن، يبدو هذا العملية "متجمدة في الزمن". علاوةً على ذلك، تُعد الكرة الشوارزشيلدية سطحًا للانزياح الأحمر اللانهائي (بسبب صفرية مصطلح gtt في القياس عند r = Rs).
هذا هو نموذج الثقب الأسود المتماثل كرويًا.
يُعرف r بـ"المسافة الشعاعية"، ما يعني أنه يمكن التفكير في "ما يوجد داخل الكرة الشوارزشيلدية". بشكل مبسط، هذا يعني أننا نفترض أن "التركيب المحلي" هو "كروي": داخل الكرة الشوارزشيلدية، نفترض وجود "كرة صغيرة موجودة"، وهكذا دواليك، حتى "المركز الهندسي" للكائن.
لاحقًا، تم توسيع النموذج إلى الهندسة المتماثلة المحورية (قياس كير). لكن هذا التوسّع لا يُحدث أي تغيير مفاهيمي جوهري. ولذلك سنركز في ما يلي على الأنظمة المتماثلة كرويًا (نعتقد أن هذه الدراسة يمكن توسيعها لاحقًا إلى قياس كير).
من الغريب قليلاً أن كائنًا كثيفًا جدًا يمكن وصفه بحل للمعادلات (2)، والتي تشير أصلاً إلى جزء فارغ من الكون حيث لا يوجد مادة-طاقة.
إذا حافظنا على الوصف (اختيار معين للإحداثيات)، فإن العديد من الصعوبات تظهر. على سبيل المثال، عندما يقترب r من Rs، يتجه مصطلح grr نحو اللانهاية.
التوقيع للقياس، المعبّر عنه بهذا الاختيار الخاص من الإحداثيات، هو: ( + - - - ) لـ r > Rs و( - + - - ) لـ r < Rs
عندما يدخل جسيم اختبار داخل الكرة الشوارزشيلدية، تصبح كتلته تخيلية وسرعته أكبر من سرعة الضوء: يصبح جسيمًا فائق السرعة.
مع النظر إلى تغيير التوقيع، قال بعض الناس:
- لا مشكلة: داخل الكرة الشوارزشيلدية، يصبح r ببساطة الزمن، وt المسافة الشعاعية.
عالم كونيات فرنسي، جان هيدمان، عادة ما يقول: "عندما تفكر في الثقوب السوداء، يجب أن تتخلى عن كل عقلانية".
بينما نذكر أن عدد المرشحين للثقوب السوداء قليل جدًا، وهو الأمر الأكثر إرباكًا. فعلاً، تم التنبؤ بالسوبرنوفا، والنجوم البيضاء، ونجوم النيوترون قبل رصدها. على سبيل المثال، قدّم فريتز زويكي نموذج السوبرنوفا في محاضرة مشهورة ألقاها في معهد كالتيك عام 1931، قبل أن يُرصد أي شيء. ولكن بعد سنوات عديدة، تم تأكيد النموذج، ونعرف الآن مئات من هذه الأجسام. نفس الشيء بالنسبة لنجم النيوترون الدوار، المُعرّف بالبُلسر. لماذا عدد قليل جدًا من الثقوب السوداء المرصودة؟
بغض النظر عن ذلك، يعتقد علماء الفلك أن الثقوب السوداء موجودة، حتى لو كانت البيانات الملاحظة عنها قليلة جدًا. إنهم "يستخدمون" نماذج "ثقوب سوداء ضخمة"، مفترضة الوجود في مراكز المجرات أو تجمعات المجرات، لـ"توضيح" بعض خصائصها الديناميكية الغامضة.
في ما يلي، نرغب في اقتراح مصير مختلف لنجم النيوترون الذي تجاوز حد استقراره. لنبدأ بعرض أدوات هندسية جديدة.
- الهندسة الزائفة الحلقيّة.
لننظر إلى القياس ريمانية g، في بعدين، حيث عناصر الخط المستقيم، المكتوبة باستخدام زوج من الإحداثيات [ r , j ] هي:
(3)
حيث:
معرّف على R، مودولو 2.
Rs ثابت.
يصبح هذا القياس تدريجيًا أقليديًا عندما يقترب r من اللانهاية:
(4)
في هذا النظام الخاص من الإحداثيات، يكون التوقيع: ( + , + ) لـ r > Rs و( - , + ) لـ r < Rs
الحد الأقصى:
(5)
يصبح لانهائيًا عند r = Rs. لنُظهر أن ذلك يعود إلى هذا الاختيار الخاص من الإحداثيات. دعونا نُدخل التحويل التالي للإحداثيات:
(6)
يصبح عناصر الخط المستقيم (7)
حيث يكون المحدد المرتبط به:
(8)
لا يختفي لأي قيمة (مما يدل على أن، في القياس، صفرية محدد عنصر الخط المستقيم تعتمد على اختيار نظام الإحداثيات، كما أظهر إدينجتون عام 1924 [المصدر 10] بالنسبة لقياس شوارزشيلد). عندما يقترب من الصفر (ما يعادل
يتجه هذا المحدد نحو:
يتراوح من سالب لا نهائي إلى موجب لا نهائي، ما يعادل r ³ Rs
القياس g، بغض النظر عن نظام الإحداثيات المختار، يصف سطحًا، كائنًا ثنائي الأبعاد. هذا السطح يمتلك نظامه الخاص بالمسارات المستقيمة، الذي يكون أساسيًا غير متغير بالنسبة للإحداثيات. لندرس هذا النظام في نظام إحداثيات باستخدام معادلات لاغرانج. دعونا نُدخل الدالة التالية:
(9)
المعادلات المقابلة لـ لاغرانج هي:
(10)
(11)
المعادلة (11) تعطي:
(12)
حيث h موجب أو سالب أو صفر. علاوةً على ذلك، إذا قسمنا الطرفين في (3) على ، نحصل على ما يلي بشكل تقليدي:
(13)
منه يمكن استنتاج المعادلة التفاضلية التي تصف المسارات المستقيمة المسطحة، في نظام الإحداثيات:
(14)
الشرط |h| £ r، وفقًا لـ (12)، يعني أن القيمة المطلقة للجيب الزاوي بين مماس المسار المستقيم وال벡تور الشعاعي تكون £ 1.
الآن، دعونا نضع السطح في R3، بإضافة إحداثية غمر إضافية z. نختار إحداثيات أسطوانية
السطح متماثل محوريًا بالنسبة للمحور z.
المسارات المستقيمة ( = ثابت) هي الخطوط العرضية لهذا السطح، حيث:
(15)
ما يعطي فورًا معادلة المنحنى العرضي لهذا السطح، المغمور في R3. إنه القطع المكافئ:
(16)
تُظهر الشكل 1 رؤية ثلاثية الأبعاد لهذا السطح، المغمور في R3، مصحوبة بمسار مستقيم ومشروعه على مستوى باستخدام إحداثيات قطبية.
هذا السطح ليس متصلًا بسيطًا. من بين مدارات مجموعة التماثل O2، يوجد دائرة محيطها الأدنى: دائرة العنق (p = 2 Rs).
الشكل 1: السطح، المغمور في R3
وتمثيله في نظام إحداثيات.
في الشكل 2، تُظهر عدة مسارات مستقيمة، في هذا النظام للتمثيل.
الشكل 2: تمثيل بعض المسارات المستقيمة. الشكل 3: مسار مستقيم خاص، يمر عبر دائرة العنق.
لاحظ أن هذا التمثيل للمسارات المستقيمة في مستوى ليس هووموتروبيًا. إذا قسمنا الطول على هذا المستوى، فإنه لا يتطابق مع الطول المقاس على السطح.
إذا فرضنا أن الطول dS يكون حقيقيًا، نرى أنه يحدد ما يمكن تسميته "التركيب المحلي". دعونا نُسمّي مثل هذه البنية الهندسية "جسر حلقي". يمكن أيضًا القول إن هذا السطح يمتلك "تركيبًا محليًا حلقيًا". يمتلك سطحًا واحدًا، يمكن اعتباره اتحادًا لقطعتين محدودتين، تُلصقان على طول حوائطهما الدائرية، على طول دائرة العنق، المحيط 2 Rs. هذه الدوائر ليست خطوطًا مستقيمة (إلا هذا المسار المستقيم الخاص الذي هو دائرة العنق، الوحيد المغلق). على كل نصف سطح، عندما تقترب المسافة من "الجسر الحلقي" نحو اللانهاية، يتجه القياس نحو القياس الأقليدي (2). في الشكل 2، المقابل لتمثيل [ r , ]، تم تمثيل الأجزاء العلوية للمسارات المستقيمة التي تمر عبر دائرة العنق بخطوط مستمرة، بينما تم تمثيل الأجزاء المقابلة للنصف الآخر بخطوط مقطوعة. لاحظ أن نصف السطح يتوافق مع ( )، وبالتالي يتوافق الآخر مع ( ). دائرة العنق تتوافق مع = 0. ملخص الصفحة التالية
المقياس g، بغض النظر عن النظام الإحداثي المختار، يصف سطحًا، كائنًا ثنائي الأبعاد. ويملك هذا الأخير نظامه الخاص بالخطوط الجيوديسية، والذي يكون أساسيًا غير متأثر بالإحداثيات. دعونا ندرس هذا النظام في نظام إحداثي من خلال معادلات لاغرانج. لنُدخل الدالة التالية:
(9)
المعادلات المرتبطة بـ لاغرانج هي:
(10)
(11)
المعادلة (11) تعطي:
(12)
حيث يكون h موجبًا أو سالبًا أو صفرًا. علاوةً على ذلك، إذا قسمنا الطرفين في (3) على ، نحصل، بشكل تقليدي، على:
(13)
منها يمكن استخلاص المعادلة التفاضلية التي تصف الخطوط الجيوديسية المستوية، في نظام الإحداثيات:
(14)
الشرط |h| ≤ r، وفقًا للمعادلة (12)، يعني أن القيمة المطلقة لجيب تمام الزاوية بين الاتجاه المماس للخط الجيوديسي والمحور الشعاعي تكون ≤ 1.
الآن، دعونا نضع السطح في R3، بإضافة إحداثي تثبيت إضافي z. نختار الإحداثيات الأسطوانية
السطح متماثل محوريًا بالنسبة للمحور z.
الخطوط الجيوديسية ( = ثابتة) هي الخطوط المرجانية لهذا السطح، حيث:
(15)
وهو ما يعطي فورًا معادلة المنحنى المرجاني لهذا السطح، المغمور في R3. إنها القطع المكافئ:
(16)
الشكل 1 يُظهر رؤية ثلاثية الأبعاد لهذا السطح، المغمور في R3، مصحوبًا بخط جيوديسي ومشروعه على مستوى باستخدام إحداثيات قطبية.
هذا السطح ليس متصلًا بسيطًا. من بين مدارات مجموعة التماثل O2، نجد دائرة ذات محيط أدنى: الدائرة الضيقة (p = 2 Rs).
الشكل 1: السطح، المغمور في R3
وتمثيله في نظام إحداثي.
في الشكل 2، تُظهر عدة خطوط جيوديسية، في هذا النظام التمثيلي.
الشكل 2: تمثيل بعض الخطوط الجيوديسية. الشكل 3: خط جيوديسي خاص، يمر عبر الدائرة الضيقة.
لاحظ أن هذا التمثيل للخطوط الجيوديسية في مستوى ليس متطابقًا (غير مُحافظ على الطول). إذا قسمنا الطول على هذا المستوى، فإنه لا يتوافق مع الطول المقاس على السطح.
إذا فرضنا أن الطول dS يكون حقيقيًا، نرى أنه يحدد ما يمكن تسميته الهندسة المحلية. دعونا نطلق على هذه البنية الهندسية اسم جسر تورويدي. يمكننا أيضًا القول إن هذا السطح يمتلك هندسة توروية محلية. وهو يملك طيّة واحدة، يمكن اعتبارها مجموعة من نصفين محدودين، يتم لصقهما على طول حدودهما الدائرية على طول الدائرة الضيقة، التي محيطها 2 Rs. هذه الدوائر ليست خطوط جيوديسية (إلا هذا الخط الجيوديسي الخاص الذي هو الدائرة الضيقة، الوحيد المغلق). على كل نصف طيّة، عندما تزداد المسافة بالنسبة إلى "الجسر التورويدي" نحو اللانهاية، يتجه المقياس نحو المقياس الإقليدي (2). في الشكل 2، المقابل لتمثيل [ r , ]، تم تمثيل الأجزاء العلوية للخطوط الجيوديسية التي تمر عبر الدائرة الضيقة بخطوط متصلة، بينما تم تمثيل الأجزاء المقابلة للنصف الآخر بخطوط نقطية. لاحظ أن نصف الطيّة يتوافق مع ( )، وبالتالي فإن الآخر يتوافق مع ( ). تمثل الدائرة الضيقة = 0. ملخص الصفحة التالية
النسخة الأصلية (الإنجليزية)
Cosmology Questionable black hole.
Jean-Pierre Petit Observatoire de Marseille, France Pierre Midy CRI Orsay, France For correspondance :
Abstract
Starting from the so called black hole model, considered as a physical interpretation of Schwarzschild geometry, we reconsider the problem of the fate of a neutron star when it overcomes its limit of stability. We first present a new geometric tool : hypertoric geometry, through 2d and 3d examples (section 2). We show that pathlogies associated to metrics, arising from their line element expressed in a given coordinate system can be cured through a more suitable choice phrased in terms of "local topology". For example we show that in the two given examples, the 2d surface and 3d hypersurface, whose isometry groups are O2 ans O3, are not simply connected.
We extend the method to Schwarzschild geometry. We show that singular features can be fully eliminated, considering not simply connected space time hypersurface. We give the Schwarzschild geometry a different physical significance : a bridge linking two universes, ours and a twin universe.
We show that the "freeze of time", keystone of the black hole model, is a simple consequence of an arbitrary peculiar time marker choice. Using another one, inspired by Eddington's work (1924) we derive a completely different scenario, implying a radial frame dragging (similar to the azimutal frame dragging of the Kerr metric). We show that the Schwarzschild solution can be interpreted as a "space bridge", linking two universes, two space-times, working as a one way bridge. We show that the transit time of a test particle is finite and short, which immediately makes the classical black hole model questionable.
Extending the isometry group of the Schwarzschild metric we show that the two universes are enantiomorphic (P-symmetric) and own opposite time markers (t* = - t). Using a groups' tool : the coadjoint action of a group on its momentum space, we give the physical significance of this "time inversion", through the spherical throat surface, the Schwarzschild sphere : when a positive mass particle passes through the space bridge, its contribution to the gravitational field is inversed : m* = -m (as shown by J.M.Souriau in 1974, the inversion of the time marker is equivalent to mass and energy inversions).
As the question of the fate of a destabilized neutron star becomes a still open problem, we present a project of an alternative model : the hyperspatial transfer of a part of its matter, through a space bridge, this matter flowing towards the twin universe at relativistic velocity.
By the way we recall some well-known defects of the Kruskall model, particularly the fact that it is not symptotically Lorentzian at infinite.
We suggest to consider Schwarzschild geometry as an hypersurface imbeded in a ten dimensional space. Linking the present work to former ones, based on group theory, we build a CPT symmetric model. The matter antimatter duality holds in both folds When matter is transfered towards twin Unverse, it undergoes a CPT-symmetry and its mass (its contribution to the gravitional field) is reversed. But its is still matter. Similarly, antimatter flowing in space bridge remains antimatter, with opposite mass, for the inversion of the time marker, as shown by Souriau, implies the inversion of the mass.
- The black hole model.
Neutron stars cannot exceed a critical mass, close to 2.5 solar masses. For higher masses, their material cannot stand any longer the huge internal pressure due to gravitational force. Then gravitational collapse occurs. For a long time, theoreticians tried to describe the fate of such an object. Looking at the Schwarzschild metric, hereafter expressed in terms of
coordinates, where Rs is the so called Schwarzschild radius (1)
people imagined that this solution of the Einstein's equation :
(2) S = 0
with zero second member could solve the problem. In effect, if t is chosen as " the cosmic time of an "external observer", the free fall time of a test-particle, following a "radial geodesic", from any distant point from the Schwarzschild sphere r = Rs is found to be infinite, while this free fall time Ds, expressed in proper time remains finite. Then the "physical description" is the following :
-
The object (a neutron star which overcomes its limit of stability) undergoes a gravitational collapse. Its mass falls rapidly towards "the geometric center of the system", described as a "central singularity". This phenomenon extends over a finite duration Ds, in terms of proper time s.
-
But, for an "external observer", located at some distance from the object, this process looks to be "frozen in time". Furthermore the Schwarzschild sphere is an infinite redshift surface (due to the nullity of the gtt term of the metric at r = Rs).
This is the model of a spherically symmetric black hole.
r is identified to a "radial distance", which means that one can think about "what's inside the Schwarzschild sphere". Roughly speaking, it means that one assumes that the "local topology" is "spherical" : Inside the Schwarschild sphere, a "smaller sphere is supposed to be located", an so on, up to the "geometrical center" of the object.
Later the model was extended to axially symmetric geometry (Kerr metric). But this extension brings no fundamental conceptual change. That's for we are going to concentrate in the following on spherically symmetric system (we think that this study could be later extended to the Kerr metric).
It is a little bit strange that such very dense object can be decribed through a solution of equations (2), which a priori refers to an empty portion of the Universe where there is no matter-energy.
If one keeps the
description (a peculiar choice of coordinates), many difficulties arise. For example, when r tends to Rs the grr term tends to infinite.
The signature of the metric, expressed with this peculiar choice of coordinates is : ( + - - - ) for r > Rs ( - + - - ) for r < Rs
When a test particle penetrates inside the Schwarzschild's sphere its mass becomes imaginary and the its velocity larger that the light velocity : it becomes a tachyon.
Considering the change of signature, some people said :
- No problem : Inside the Schwarzschild's sphere r just becomes the time an t the radial distance.
A french cosmologist, Jean Heidmann, uses to say : "when we think about black holes, we have to give up any common sense".
By the way, they are very few black hole candidates, which is the most the more puzzling point. In effect, supernovæ, white dwarfs and neutron stars where predicted before they were observed. Ford example, Fritz Zwicky presented the supernova model, in a famous lecture given in Caltech in 1931 before anyone was observed. But years after years the model was confirmed and we now known hundreds of them. Same thing for rotating neutron stars, identified to pulsars. Why so few observed black holes ?
Anyway, astrophysicists believe than black holes do exist, even if ther is so few observational data about them. They "use" models of "giant black goles", supposed to be located at the center of galaxies or clusters of galaxies, to "explain" some of their puzzling dynamicals features.
In the following, we would like to suggest a different fate for neutrons stars which overcome their limit of stability. Let us start to introduce new geometrical tools.
- Hypertoric geometry.
Consider the following riemanian metric g , in two dimensions, whose line element, written with a set of two coordinates [ r , j ] is :
(3)
where :
is defined on R, modulo 2 .
Rs is a constant.
This metric becomes asymptotically euclidean when r tends to infinite :
(4)
In this peculiar
coordinates system the signature is : ( + , + ) for r > Rs ( - , + ) for r < Rs
The determinant :
(5)
becomes infinite for r = Rs . Let us show that this is due to this peculiar choice of coordinates. Introduce the following change of coordinate :
(6)
The line element becomes (7)
whose associated determinant is :
(8)
It no longer vanishes for all values (which by the way shows that, in a metric, the nullity of the line element's determinant depends on the choice of the coordinate system, as evidenced by Eddington in 1924 (ref.[10]) for Schwarzschild's metric). When tends to zero (which corresponds to
this determinant tends to :
varies from - infinite to + infinite which is equivalent to r ³ Rs
The metric g ,whatever the chosen coordinates system is, describes a surface, a two dimensional object. This last owns its geodesic system, basically coordinate-invariant. Let us study this system in a
coordinates system through Lagrange equations system. Introduce the following F function :
(9)
The corresponding Lagrange equations are :
(10)
(11)
The equation (11) gives :
(12)
h being positive, negative or zero. In addition if in (3) we divide the two members by , we get, classically :
(13)
from which we may derive the differential equation which describes the plane geodesics, in the
coordinates system :
(14)
The condition IhI £ r , according to (12), means that the absolute value of the cosine of the angle between the tangent to the geodesic and the radial vector is £ 1.
Now let us imbed the surface in R3, adding an imbedding additional coordinate z. We choose cylindrical coordinates
The surface is axisymmetric with respect to the z-axis.
The ( = constant ) geodesics are the meridian lines of this surface, where :
(15)
which immediatly gives the equation of the meridian curve of this surface, as imbedded in R3. It is the parabola :
(16)
Figure 1 shows a 3d view of this surface, as imbedded in R3, plus one geodesic and its projection on a plane with
polar coordinates.
This surface is not simply connected. Among the orbits of the isometry group O2 we find a minimum perimeter circle: the throat circle (p = 2 Rs).
Fig. 1 : The surface, as imbedded in R3
**and its representation in a **
coordinate system.
On figure 2 several geodesics are shown, in this
representation system.
**Fig. 2 : ** representation of some geodesics. **Fig 3 **: A peculiar geodesic, crossing the throat circle.
Notice that this representation of geodesics in a plane
is not isometric. Is we measure the length on this plane, it does not correspond to the length as measured on the surface.
If we impose the length dS to be real, we see that it determines what we could call the local topology . Let us call such geometric structure a toroidal bridge . We can also say that this surface owns a *local toroidal topology *. It owns a single fold, which can be considered as a set of two bounded half-folds, the two being glued along their circular borders along the throat circle, whose perimeter is 2 Rs . These circles are not geodesic lines (except thhis very peculiar geodesic which is the throat circle, the only closed one). On each half-fold, when the distance with respect to the "toroidal bridge" tends to infinite the metric tends to the euclidean one (2). On the figure 2, corresponding to a [ r , ] representation, the upper portions of the geodesics crossing the throat circle have been figured as a continuous lines, while the portions corresponding to the other half-fold have been figured as dotted lines. Notice that one half-fold corresponds to ( ) , whence the other corresponds to ( ) . The throat circle corresponds to = 0 . Summary Next page