- المسارات الجيوديسية في تمثيل [r, j].
بإدخال (6) في (14)، مع dr = thr dr، نحصل على: (17)
والتي توفر تمثيلًا [r, j] للمسارات الجيوديسية. عندما يقترب r من الصفر، يقترب dj/dr من قيمة محدودة، وبالتالي فإن الظل لزاوية الميل: (18)
يقترب من الصفر في الأصل. صورة دائرة العنق في ثقب أسود شوارزشيلد، في هذا التمثيل، هي نقطة مخروطية. ** ** **
**
الشكل 4: المسار الجيوديسي الموضح في الشكل 3، في نظام إحداثيات (r, j).
مقطع دائرة العنق يتوافق مع النقطة O
هذا تمثيل متطابق للمسارات الجيوديسية. لاحظ أننا يمكننا أيضًا تمثيل السطح في نظام [z, r, j]، لكنه لم يعد تمثيلًا متطابقًا. نحصل على المحيط المرتبط: (19)
عندما يقترب r من الصفر، فإن z(r) خطي. عندما يقترب من اللانهاية، تميل الدالة إلى قطع مكافئ.
الشكل 5: محيط السطح، في تمثيل [r, j] غير المتطابق للسطح. ****
صورة دائرة العنق في شوارزشيلد، في هذا التمثيل، هي نقطة مخروطية. ** **
- **التوسيع إلى سطح فرعي 3D ذي تناظر كروي. **
يمكن توسيع هذا إلى سطح فرعي 3D، وصفه عنصر الخط: (20)
هذه المترية تشير إلى سطح فرعي 3D، هنا مكتوب في نظام إحداثيات [r, q, j]. المتغير r ليس "مسافة شعاعية"، وهو يتوافق مع "الإحداثيات الكروية". نعيد اكتشاف أمراض مماثلة في هذا العنصر الجديد، والتي يمكن التخلص منها عن طريق إدخال نفس تغيير الإحداثيات (6).
[ r, q, j ] ® [ r, q, j ]
يصبح عنصر الخط ثم: (21)
تتحول إشارته إلى (+, +, +) وDeterminantه: (22)
لا يصبح صفرًا أكثر.
المسارات الجيوديسية لهذا السطح الفرعي تقع في المستويات. q = p/2 هو واحد منها. في تمثيلها [r, j]، تتطابق مع تلك الموجودة في الشكل 2. مجموعة التماثل هي O3 والمسارات المقابلة هي كرات. من بينها، واحدة تمتلك مساحة قصوى (كرة العنق من مثل هذا جسر تورويدي 3D). الدوائر الكبيرة للكرات-المسارات ليست منحنى جيوديسي، باستثناء الحالات الخاصة التي تقع على كرة العنق التي محيطها 2 p Rs. المسارات الجيوديسية لهذه الكرة الخاصة هي الوحيدة المغلقة. يمكننا تسمية هذه هندسة مميزة هندسة مخروطية مزدوجة. هذا السطح 3D ليس متصلًا ببساطة. يمتلك طيّة 3D واحدة، والتي يمكن اعتبارها مجموعة من نصفي طيّة 3D محدودة، ملتصقة على طول حافة كروية (كرة العنق). على بعد كبير من هذا "الجسر المزدوج"، تميل المترية إلى المترية الإقليدية، هنا مكتوبة في إحداثيات كروية: (23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- **هندسة شوارزشيلد. **
بشكل تقليدي، يُعتبر أن مجموعة تماثله هي SO3 × R، حيث يشير R إلى تحولات أحادية البعد. ثم يُقال أن هذه المترية مستقلة عن الزمن وذات تناظر كروي، مع اعتبار أن R يتوافق مع التحولات الزمنية.
مكتوبة في نظام إحداثيات [x°, r, q, j]، حيث x° هو مؤشر الزمن، عنصر الخط هو (24)
بشكل تقليدي، نضع x° = ct، وهو ما يُفترض أن يحدد الزمن الكوني t "لمراقب خارجي". عندما r >> Rs، (21) تميل إلى المترية المينكوفسكي. بشكل تقليدي، يُعتبر r كإحداثي شعاعي. (21) يظهر تفردًا في مصطلح grr وتغييرًا في الإشارة عندما r = Rs.
مرة أخرى، يمكننا تحسين هذه المترية باستخدام تغيير الإحداثيات (6)، والانتقال إلى نظام [t, r, q, j]. يصبح عنصر الخط ثم: (25)
مسارات مجموعة تماثل O3 هي كرات. من بينها، واحدة، كرة العنق (كرة شوارزشيلد)، تمتلك مساحة قصوى. السطح الفرعي ليس متصلًا ببساطة. يشكل طيّة فضاء-زمن واحدة، والتي يمكن اعتبارها مجموعة من نصفي طيّة 4D (طيّتين متطابقتين)، حيث يتوافق الأول مع r > 0 والثاني مع r < 0، وبالتالي فإن كرة العنق تتوافق مع r = 0. يمكننا حساب المسارات الجيوديسية التي تقع في مستوى q = p/2. وفقًا لإحداثيات "كروية":
**
الشكل 6: إحداثيات كروية.
**
العنصر هو dr² = r² ( dq² + sin²q dj² )
الدوائر j = ثابتة هي مسارات جيوديسية للكرة، لكنها بالطبع لا تمثل جميع المسارات الجيوديسية للسطح. فقط تلك التي تمر عبر نقطتين متقابلتين (القطبين).
الدوائر q = ثابتة ليست مسارات جيوديسية، باستثناء تلك التي تتوافق مع q = p/2 (الخط الاستوائي).
في نظام إحداثيات [r ≥ Rs, j]، هذه المسارات الجيوديسية (بطول غير صفري) تتوافق مع: (26)
اختيار مجموعة الثوابت [l, h] يحدد المسار الجيوديسي. من بينها، نجد مسارات جيوديسية من نوع هiperbolية، والتي لا تقطع كرة العنق r = Rs. راجع الشكل 7.
الشكل 7: هندسة شوارزشيلد.
[ r, j ] تمثيل لمسار جيوديسي مسطح من نوع هiperبولي لا يقطع كرة العنق r = Rs
نجد أيضًا مسارات جيوديسية شبه بيضوية. راجع الشكل 8
**الشكل 8: هندسة شوارزشيلد.
**[ r, j ] **تمثيل لمسارات جيوديسية شبه بيضوية. **
الآن دعونا نركز على المسارات الجيوديسية التي تقطع كرة العنق r = Rs. في تمثيل [r, j]، دع a زاوية بين مماس المسار الجيوديسي والمحور الشعاعي. (27)
معادلة لاغرانج الأولى تعطي: (28)
لقيم r ≥ Rs، المعلمة l إيجابية تمامًا. معادلة لاغرانج أخرى هي: (29)
وتعطي تطورًا متزايدًا لزاوية j بالنسبة للزمن الخاص s. في هذا المستوى (q = p/2)، يعتمد الدوران على إشارة h.
وفقًا لهذه التفسير الجديد لهندسة شوارزشيلد (المُعتبرة كسطح فرعي غير متصل ببساطة)، يمكننا تمثيل المسار الجيوديسي في نظام [r, j] كما هو موضح في الشكل 9.
الشكل 9أ: تمثيل [r, j] لمسار جيوديسي يقطع كرة العنق **** (كرة شوارزشيلد) المقابلة لـ h ≥ Rs
تم تمثيل جزء من المسار الجيوديسي بخطوط متقطعة، لأنه يُفترض أن ينتمي إلى نصف الطي 3D الثاني، المرتبط بالآخر على طول كرة العنق، كرة شوارزشيلد. هذا يشير إلى انقطاع. لكن هذا الأخير ناتج عن هذا النظام الخاص من التمثيل [r, j]، وهو أكثر مألوفًا لاستيعابنا الهندسي البشري (المحدود). في مساحة تمثيل 3D، نحصل على الشكل 9ب. تبدو الجسيمات "تتصادم" مع كرة شوارزشيلد.
**
الشكل 9ب: في مساحة إقليدية 3D، تبدو الجسيمات تتصادم مع كرة شوارزشيلد.
**
من هذا المنظور، "لا يوجد شيء داخل كرة شوارزشيلد"، لأننا في هذا "الداخل" نكون ببساطة "خارج السطح الفرعي". تذكّر أن كرة العنق، كرة شوارزشيلد، تتوافق مع القيمة r = 0. يتوافق نصف الطي الأول مع (r > 0) ونصف الطي الثاني مع (r < 0).
في تمثيل [r, j]، يصبح مظهر المسار الجيوديسي مختلفًا بشكل كبير. دعنا نحسب ظل الزاوية b، بين المسار الجيوديسي والمحور الشعاعي (انظر الشكل 6). (30)
عندما يقترب r من ±0، thr ≈ r، وبالتالي: (31)
في تمثيل [r, j]، المسارات الجيوديسية التي تنتقل من نصف طي إلى آخر تكون مماسة للمحور الشعاعي. لم يعد هناك انقطاع زاوي في الأصل، حيث يمثل هذا الأخير دائرة العنق (r = 0). لوصف كامل لهذه المسارات الجيوديسية، يجب أن نعود إلى عنصر الخط، كما هو مكتوب في نظام الإحداثيات [t = x°/c, r, q, j] (24)، باستخدام نظام معادلات لاغرانج، مع: (32)
من بين هذه المعادلات، نجد: (33)
لقيمة معينة من h، يتطور j بشكل متزايد، بالنسبة للزمن الخاص s.
الشكل 10: تمثيل [r, j] لمسار جيوديسي يمر ** من نصف طي (r > 0) إلى الآخر (r < 0). **
كما في السابق، تم تمثيل الجزء من المسار الجيوديسي الذي ينتمي إلى نصف الطي 3D الثاني بخطوط متقطعة.
لا يمكننا تقديم غمر للسطح الفرعي 4D، كما فعلنا في البداية في المقال للسطح 2D. علاوة على ذلك، نتعامل هنا مع مسارات جيوديسية 4D، وليس 3D. مساحات [r, q, j] و [r, q, j] ليست سوى مساحات تمثيلية، والتي من المفترض أن تجعل الأمور أكثر وضوحًا. المسارات الجيوديسية الحقيقية مكتوبة في مساحة 4D. على أي حال، يشير تمثيل [r, q, j] إلى "جسر مزدوج" 3D، بينما يشير تمثيل [r, q, j] إلى "مخروط فائق" 3D. في هذا التمثيل الثاني (3D) لهذا السطح 2D، المسارات الجيوديسية تنتقل من نصف طي إلى آخر، مرورًا بالنقطة (r = 0). هذا يشبه مخروطًا 2D. راجع الشكل 11
**
الشكل 11: مسار جيوديسي لمخروط. اليمين: سطح يمتلك نقطة مخروطية.
**
الصفحة السابقة الصفحة التالية ** **