- اختيار مؤشر زمني.
في الإحداثيات [t, r, q, j]، والتي تتوافق مع عنصر الخط (25)، فإن محدد التنسور المترية هو: (34)
والذي يصبح صفرًا عندما يصبح r صفرًا. ومع ذلك، في عام 1924، أظهر إدينجتون [10] أن صفرية التنسور المترية تعتمد على الإحداثيات. دعونا أولاً نعود إلى الشكل الأصلي (35)
لدينا أن اختيار نظام الإحداثيات هو اختيار عشوائي تمامًا، لأن التنسور المترية، وهو حل معادلة التنسور (36)
S = 0
مُInvariant أساسيًا تجاه تغيير الإحداثيات. نقرر أن الجسيمات تتحرك على طول الجيوديسيات. الإحداثيات المختارة عشوائيًا تمنح معنى فيزيائي لهذا الحل الهندسي. يمكننا اختيار x° = ct، حيث c هو ثابت. ولكن يمكننا اختيار نظام مرجع آخر. يعتمد الخيار علينا. الشروط الوحيدة، لمؤشر زمني محدد x°، أو t، x، هي أن يكون التنسور المترية تقريبًا إقليديًا: (37)
أو: (38)
كما هو معبّر عنه في نظام إحداثي كارتيزي. تذكّر أن التنسور المترية الريمانية تكون إقليدية إذا كان من الممكن العثور على نظام إحداثي حيث تكون معاملات الشكل التربيعي لعنصر الخط ثابتة. مجموعة العلامات تشكّل التوقيع. إذا كان هذا الأخير ( + - - - )، فإنها تنسور مترية مينكوسكي. (39)
مُعرّفًا كمسافة أساسية، يبدو منطقيًا أن نفرض أن التنسور المترية يكون تقريبًا إقليديًا "بمسافة كبيرة"، بغض النظر عن التعريف المختار لمسافة كهذه (r أو r، كما في الأعلى).
تبقى تعريفات "الزمن الكوني" أو "المؤشر المكاني" خيارًا كاملًا. من ناحية أخرى، لا يمكننا تعديل الزمن الخاص s، أو بشكل أكثر دقة، فاصل الزمن Ds بين نقطتين محددتين من المتعددة، لأنه أساسيًا مستقل عن الإحداثيات. بالإضافة إلى ذلك، يُفترض أن الجسيمات يمكنها السفر في الاتجاهين على طول جيوديسيات معينة.
**
الشكل 12: مسار جسيم على جيوديسيات معينة.
**
مسار الجسيم الاختباري على جيوديسيات معينة هو ظاهرة. جيوديسيات أخرى من المتعددة تُفترض أن تتوافق مع "مُراقب خارجي في حالة سكون". ولكن حالة السكون تعتمد على اختيار الإحداثيات (x°, x1, x2, x3)، والتي هي اختيار عشوائي تمامًا.
يُفترض أن هذا "المُراقب الخارجي" موجود في منطقة من المتعددة حيث يكون التنسور المترية إقليديًا أو تقريبًا إقليديًا، أي من الشكل (37). إذًا، شروط السكون تعني أن (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
للمُراقب في حالة السكون، أي فاصل زمني خاص يتوافق مع فاصل زمني "زمن كوني" مُحدد عشوائيًا: (41)
Ds = Dx°
...اختيار الزمن الكوني خيار عشوائي تمامًا، إذًا تطور الجسيم الاختباري في الزمن يعتمد على هذا الاختيار. نعتبر نقطتين A و B على جيوديسيات معينة، والتي تُفترض أنها تتوافق مع مُراقب خارجي. هذه النقاط هي أحداث فضاء-زمن. في الشكل 13، تُفترض أن الخطوط المُشطّرة تتوافق مع زمن كوني ثابت x°.
**
الشكل 13: "مُراقب خارجي في حالة سكون"، "يُعتبر" تطور جسيم اختباري على جيوديسيات. زمن كوني x°
**
لننظر الآن إلى خيار آخر x للزمن الكوني. انظر الشكل 14.
**
الشكل 14: "مُراقب خارجي في حالة سكون"، "يُعتبر" تطور جسيم اختباري على جيوديسيات. زمن كوني x **
لدينا أن الخطوط المُشطّرة لا تمثل مسارات الفوتونات. تتحرك الفوتونات على جيوديسيات مميزة، جيوديسيات صفرية، والتي تبقى ثابتة تجاه تغيير الإحداثيات.
لدينا Ds(O) = Dx° = Dx، ولكن الفواصل Ds'(TP) و Ds"(TP) يمكن أن تكون مختلفة جدًا، على الرغم من أنها تشير إلى نفس الجيوديسيات، لأن الأزواج (A',B') و (A",B") يمكن أن تختلف. بشكل أساسي، تعتمد على الإحداثية الزمنية المختارة، أو "المؤشر الزمني".
- تغيير إحداثيات زمنية إدينجتون وشكله الموسّع.
التحويل التالي للإحداثيات، الذي قدمه إدينجتون في عام 1924، وهو يوضح هذا النقاط، هو: (42)
يصبح عنصر الخط في هذه الحالة: (43)
بما أن الحد gxx يصبح صفرًا على الكرة r = Rs، فإنها تصبح سطحًا للانزياح الأحمر اللامحدود (كما في عنصر الخط الكلاسيكي لشوارزشيلد). تصبح المصفوفة: (44)
ومن ثم يكون محددتها: (45)
- r 4 sin2 q
وهي لا تصبح صفرًا أبدًا، مهما كانت قيمة r. من أجل الأسباب التي سيتم توضيحها لاحقًا، نمتدّ هذا التحويل إلى: (46)
عندما يُعبّر عن النظام الإحداثي (x, r, q, j)، يصبح عنصر الخط: (47)
ومن ثم يكون محددته له نفس الشكل (44). لاحظ أن تحويل إدينجتون الإحداثي يتوافق مع القيمة d = -1. ندرس الجيوديسيات باستخدام معادلات لاغرانج، المستندة إلى الدالة: (48)
مع:
بالإضافة إلى ذلك، من خلال التعبير عن عنصر الخط، نحصل بشكل كلاسيكي على الجسيمات المادية (ds ≠ 0): (49)
معادلة لاغرانج تقدم: (50)
نعتبر الجيوديسيات المسطّحة q = p/2، مما يعطي: (51)
على طول الجيوديسيات، بالنسبة للزمن الخاص s، تتطور j بشكل متزايد. معادلة لاغرانج أخرى تقدم: (52)
أي: (53)
بجمعها مع (49)، بشكل مفاجئ، يختفي d: (54)
لدينا أن إذا كان dr = 0 (سرعة صفرية) عندما يقترب r من اللانهاية، فإنها تتوافق مع l = 1. عندما يقترب r من اللانهاية، وفقًا لـ (53): (55)
إذا كان l ≥ 1، عندما يقترب r من اللانهاية، نحصل على: (56)
مع
نحصل على (57)
في الإحداثيات [r, j]، نعود إلى التعبير التفاضلي الكلاسيكي للجيوديسيات غير الصفرية (ds ≠ 0): (58)
الذي يوفر أنماط الأشكال 7، 8 و 9. يمكننا الآن تحديد زمن كوني جديد من خلال: (59)
x = ct
...عنصر الخط (43) يبقى تقريبًا إقليديًا. في "مسافة كبيرة"، الزمن الخاص Ds لمُراقب في حالة السكون يتوافق مع فاصل الزمن Dt.
- فاصل الزمن للمسارات الشعاعية.
يمكننا حساب فاصل الزمن Dt = Dx/c لجسيم كتلي غير صفر يتحرك على جيوديسيات، من خلال المعادلة التفاضلية: (60)
لـ "الجيوديسيات الشعاعية" (h = 0): (61)
قريبًا من الكرة شوارزشيلد، نحصل على: (62)
l = 1 يتوافق مع جسيم اختباري يقترب من الصفر في السرعة عند اللانهاية.
نعتبر هذا الحالة الخاصة: (63)
وفقًا لـ (54)
n = -1 يتوافق مع المسارات (dr < 0).
n = +1 يتوافق مع المسارات (dr > 0).
...لدينا أن التحويل الخاص لإدينجتون يتوافق (لـ r ≥ Rs) مع d = +1. عندما نحسب زمن السفر الشعاعي Dt لجسيم اختباري، بالنسبة لهذا الزمن الكوني الجديد، نجد أن هذا الأخير يعتمد على اتجاه الحركة وعلامة d، أي على حاصل الضرب dn. عندما يكون إيجابيًا، فإن زمن السفر لجسيم اختباري على جيوديسيات شعاعية (r ≥ Rs) يكون محدودًا. عندما يكون سالبًا، يصبح زمن السفر لانهائيًا.
...كأول نتيجة، إذا تم تطبيقه على نموذج الثقب الأسود ذو التماثل الكروي، فإن تحويل إدينجتون يعطي زمن سقوط حر محدود Dt. عندما r = Rs، تصبح سرعة الجسيم: (64)
جسيم اختباري، يسقط نحو الكرة شوارزشيلد، يصل إليها بسرعة c.
- سرعة الضوء.
تتحرك الفوتونات على جيوديسيات صفرية، والتي تتوافق مع: (65)
نعتبر السرعة: (66)
وفقًا لـ (65)، نحصل على: (67)
عندما يقترب r من اللانهاية، تقترب vj من ±c.
عندما dr < 0، لدينا n < 1. إذًا، عندما r = Rs للمسارات (dr < 0): (68)
عندما يسقط جسيم اختباري نحو الكرة شوارزشيلد، على طول مسار شعاعي، يصل إليها بسرعة الضوء. باختصار: (69)
(70)
سرعة الضوء تختلف حسب ما إذا كنا نعتبر مسارات (dr > 0) أو (dr < 0).
- تأثير سحب الإطار.
نعتبر التنسور المترية لكيير: (71)
حيث r هي إحداثية مكانيّة مختلفة عن تلك المعرّفة أعلاه. نعيد ببساطة المعادلة 7.110 من المراجع [1]. حساب سرعة الفوتون (ds = 0) لحركات مماسة لدوائر (q = p/2، r = ثابت). نحصل على: (72)
أي قيمتين مختلفتين. هذا يتوافق مع سحب محوري وهو خاصية للتنسور المترية لكيير. وفقًا للمراجع [1]، 7.7، "حل كيير والدوران"، نقرأ:
تأثير فيزيائي مثير للإعجاب ينتج عن طبيعة الدوران لحل كيير؛ جسم يتحرك على جيوديسيات يعاني من قوة متناسبة مع المعلمة a، مماثلة لقوة كوريوليس. بشكل عام، يمكننا التفكير في أن المصدر الدوار "يجر" الفضاء حوله. في معنى مACHI، تواجه المصادر شروط الحدود اللورنتزية في اللانهاية لتحديد إطار مُعطّل محلي.
مُعادَّلًا بالكلمات الإحداثية لـ إدينجتون، فإن الثقب الأسود، المُعتبر كمصدر للحقل، يُحفّز سحبًا محوريًا للإطار.
- الثقب الأسود والبُurge الأبيض.
في القسم 4، قدمنا تفسيرًا جديدًا لجغرافيا شوارزشيلد حيث تؤدي الكرة شوارزشيلد، انظر الشكل 9، إلى أن تكون مثل كرة مُقاطعة تربط بين "طيات نصف فضاء-زمن". يمكننا تخيل هيكل مشابه يدمج هاتين الجغرافيتين لشوارزشيلد التاليتين: (73)
(74)
هذان العنصرين مشتقان من (43)، حيث يتوافق العنصر الأول (73) مع d = -1 والعنصر الثاني (74) مع d = +1. لا توجد مشكلة في الربط، لأن d لا يظهر في حساب تمثيل [r, j] للجيوديسيات. انظر المعادلة (58). نحصل على زوج "ثقب أسود - بُurge أبيض"، بدون "الذروة المركزية". يمكن لل matière الدخول إلى الثقب الأسود، ولكن لا يمكنها الخروج منه. من ناحية أخرى، يمكن للمادة الهروب من البُurge الأبيض، ولكن لا يمكنها الدخول إليه. زمن السفر محدود في اتجاه واحد، وانهائي في الاتجاه الآخر. عند حسابه باستخدام الزمن الكوني الجديد x، يكون زمن السفر المحدود مشابهًا لزمن السفر المحسوب باستخدام الزمن الخاص s. بالنسبة للمسارات الشعاعية: (75)
هذا الزمن قصير جدًا. كما أظهر هذا المقال، يعتمد نموذج الثقب الأسود على اختيار خاص للإحداثيات، وخاصة الزمن الكوني. كما أشار في القسم 6، اختيار المؤشر الزمني هو خيار عشوائي تمامًا. الاختيار الكلاسيكي يؤدي إلى نظام تقريبًا ثابت، حيث تبدو سقوط المادة المُضافة إلى الثقب الأسود "مجمدة في الزمن" من منظور مُراقب خارجي. ومع ذلك، يوضح هذا المقال أن اختيارًا آخر للمؤشر الزمني، المستمد من فكرة إدينجتون، "يُذيب" العملية. من منظور معين، لا يمكن للثقوب السوداء، أو أزواج الثقب الأسود والبُurge الأبيض، أن توجد كأجسام دائمة، لأنها يمكن أن تمتص عشرات الكتل الشمسية في الملي ثانية. وبالتالي، تبقى سؤال مفتوح:
- ماذا يحدث عندما تتجاوز النجمة النيوترونية حد استقرارها؟
- مساحة التمثيل.
قبل محاولة تقديم مشروع نموذج بديل، دعنا نتحدث قليلًا عن ما يمكننا تسميته "مساحات التمثيل". في البداية، درسنا سطحًا ثنائي الأبعاد معرّفًا بعنصر خطه. تبين أنه من الممكن غمر هذا السطح في R3، مما أعطانا تمثيلًا مطابقًا لهذا الكائن الهندسي. أثناء ذلك، ذكرنا تمثيلًا [r, j].
من المستحيل تقديم تمثيل واضح لسطح رباعي الأبعاد، لأننا لا نستطيع رسمه أو عرض صور له. ومع ذلك، يمكن تمثيل السطح في العديد من مساحات التمثيل، والتي تتوافق مع اختيارات مختلفة للإحداثيات، لأن الكائن أساسيًا مستقل عن نظام الإحداثيات المختار. يمكننا، على سبيل المثال، إدخال التحويل (6). يصبح عنصر الخط في هذه الحالة: (76)
لـ r > 0
و: (77)
لـ r < 0.
الجيوديسيات "الشعاعية" (على سبيل المثال q = p/2، dj = 0) تتقارب نحو المركز الهندسي O للنظام (في هذه التمثيل الخاص). هذا النقطة تشبه "نقطة هايبركونيك". التماثل بالنسبة لنقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد هو تماثل P.
في هذا الإحداثيات [t, r, q, j]، عنصر الخط شوارزشيلد هو تماثلي P. كما أنه مستقل عن الزمن (ثابتًا تحت الترجمة الزمنية، أي يتوافق مع حالة ثابتة) وتماثلي زمني (T-symmetrical)، ثابتًا تحت التحويل:
t → -t
إعادة صياغة بالكلمات الإحداثية لـ إدينجتون، الثقب الأسود، المعتبر كمصدر للحقل، يولد انزلاق الإطار الشعاعي.
- الثقب الأسود والFontaine البيضاء.
في القسم 4، قدمنا تفسيرًا جديدًا لهندسة شوارزشيلد حيث تصرفت كرة شوارزشيلد، راجع الشكل 9، ككرة ممر تربط بين اثنتين من "طيات الفضاء-الزمن النصفية". يمكننا تخيل بنية مشابهة تدمج هندستين شوارزشيلديتين التاليتين: (73)
(74)
هذان 둘 مشتقان من (43)، حيث يتوافق التعبير الأول (73) مع d = -1 والثاني (74) مع d = +1. لا توجد مشكلة في الربط، لأن d لا تظهر في حساب تمثيل [r, j] للمسار المستقيم. راجع المعادلة (58). نحصل على زوج "ثقب أسود - Fontaine بيضاء"، دون "ذروة مركزية". يمكن للمادة الدخول إلى الثقب الأسود، لكنها لا يمكن أن تخرج منه. من ناحية أخرى، يمكن للمادة الهروب من Fontaine البيضاء، لكنها لا يمكن أن تدخلها. زمن الانتقال محدود في اتجاه واحد، وليست محدودة في الاتجاه الآخر. تم حساب زمن الانتقال المحدود باستخدام الوقت الكوني الجديد x، وهو مشابه لزمن الانتقال المحسوب باستخدام الوقت الخاص s. بالنسبة للمسارات الشعاعية: (75)
هذا الزمن قصير جدًا. كما أظهر هذا المقال، يعتمد نموذج الثقب الأسود على اختيار خاص للإحداثيات، وخاصة زمن الكون. كما أشار في القسم 6، اختيار مؤشر الزمن عشوائي تمامًا. يعطي الاختيار الكلاسيكي نظامًا شبه مستقر، حيث تُجمد عملية سقوط المادة، التي تُسكب في الثقب الأسود، "في الزمن" بالنسبة لمراقب خارجي. لكن هذا المقال يظهر أن اختيارًا آخر لمؤشر الزمن، المستمد من فكرة إدينجتون، "يُذيب" العملية. من هذا المنظور، لا يمكن للثقوب السوداء، أو أزواج الثقب الأسود - Fontaine البيضاء، أن توجد كأجسام دائمة، لأنها يمكن أن تمتص عشرات الكتل الشمسية كل مللي ثانية. وبالتالي، ما زال هناك سؤال مفتوح:
- ماذا يحدث عندما تتجاوز النجمة النيوترونية حد استقرارها؟
- مساحة التمثيل.
قبل محاولة تقديم مشروع نموذج بديل، بعض الكلمات حول ما يمكننا تسميته "مساحات التمثيل". في بداية المقال، درسنا سطحًا ثنائي الأبعاد معرّفًا بعنصره الخطّي. تبين أنه من الممكن غمر هذا السطح في R3، مما أعطانا تمثيلًا متطابقًا لهذا الكائن الهندسي. من خلال، ذكرنا تمثيلًا [r, j].
لا يمكن إعطاء تمثيل واضح لسطح فائق أربعة الأبعاد، لأننا لا يمكننا رسمه أو عرض الصور. لكن يمكن تمثيل السطح الفائق في العديد من مساحات التمثيل، وفقًا لاختيارات مختلفة للإحداثيات، لأن الكائن مInvariant أساسيًا تجاه تغيير الإحداثيات. على سبيل المثال، يمكننا إدخال التغيير (6). ثم يصبح عنصر الخط: (76)
لـ r > 0
و: (77)
لـ r < 0.
المسارات المستقيمة "الشعاعية" (على سبيل المثال q = p/2، dj = 0) تتجه نحو المركز الهندسي O للنظام (في هذه التمثيل الخاص). هذا النقطة مماثلة لنقطة "هيبركونية". التماثل بالنسبة لنقطة في فضاء 3D هو تماثل P.
في هذا الإطار [t, r, q, j]، عنصر الخط لشوارزشيلد هو P-متماثل. كما أنه مستقل عن الزمن (متماثل عبر الترجمة الزمنية، أي يتوافق مع حالة مستقرة) وT-متماثل، متماثل عبر:
t → -t