- المزيد من المعلومات حول الغمر والخطوط الجيوديسية.
لا يمكن غمر جميع الأسطح في R³. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى المترية (134)
حيث Rs > 0 و r > 0
معرفة على R مودولو 2 
عند التعبير بها باستخدام هذه الإحداثيات الخاصة [ r , ]، فإن هذا عنصر الخط هو منتظم تقريبًا في كل مكان (ما عدا النقطة r = 0). في الأماكن الأخرى، لا توجد مشاكل. مجموعة التماثل الخاصة بها هي O₂. مسارات مجموعة التماثل هي دوائر r = ثابت. يمكننا تخيل أن هذه السطح يمكن غمره في R³، حيث سيظهر محوري التماثل حول محور z.
الخطوط الجيوديسية ( = ثابت) موجودة. يمكننا أن نعتقد أنها "خطوط ميريديانية" للسطح، وأن معادلة z ( ) لخط ميريدياني كهذا يمكن بناؤها كما فعلنا في بداية المقال. على طول الخطوط الجيوديسية ( = ثابت) : (135)
إذا كان يمكن غمر هذه السطح في R³، فعلى طول هذه الخطوط الجيوديسية: (136)
وهو ما يعطي: (137)
الاستنتاج: لا يمكن غمر هذه السطح في R³.
هذه المترية (135) تشير إلى تأثير دفعي.
لا يمكن غمر جميع الأسطح، كما هي معرفة بحسب مترية. على أي حال، هذه الأسطح "توجد"، حتى لو لم نتمكن من لمسها. دعونا نفكر في السطح الفائق ثلاثي الأبعاد التالي، المعرف بـ: (138)
مع Rs > 0 و r > 0
معرفة على R مودولو 2
لا يمكن غمر هذا السطح الفائق. لكنه موجود وله "خطوط جيوديسية مسطحة" ( 
= /2).
يمكننا حساب نظام الخطوط الجيوديسية لهذه الأسطح ذات البعد 2 و 3. يمكننا تمثيلها في مستوى (r,). إنها حقيقية. (139)
تصميمها مماثل لتصميم السطحين السابقين، كما هي معرفة بحسب عنصر الخط (134). هذان الكائنان الهندسيان متصلان ببساطة.
الشكل.25 :** الخطوط الجيوديسية المقابلة لعناصر الخط **(134) و (138)
(لاحظ أن لها شبهًا بتأثير دفعي).
هناك شيء غامض. مع عنصر خط معين، يمكننا حساب نظام الخطوط الجيوديسية. على سبيل المثال، النظام المقابل لتمثيل هندسة شوارزشيلد الكلاسيكية هو: (140)
يمكننا حساب المنحنيات r () المقابلة لهذه المعادلة التفاضلية. إنها حقيقية، حتى بالنسبة لقيم r < Rs!
**
الشكل 26: الخط الجيوديسي الكامل المقابل لعنصر الخط لشوارزشيلد.
**
نفهم لماذا أثارت هذه النتيجة الغريبة فضول الفيزيائيين. لكن هناك حقيقة رياضية: يمكن لعنصر خط إنتاج نظام جيوديسي حقيقي، حيث تتوافق بعض الأجزاء مع عنصر طول تخيلي ds.
ماذا عن الفيزياء؟ نحدد ds كزيادة في الوقت الخاص. أعلاه، قررنا اعتبار أن ds التخيلي لا يتوافق مع مسار فيزيائي، مما أدى إلى مراجعة "الهندسة المحلية" للسطح الفائق، وتغيير "الهندسة الكروية المحلية" إلى "الهندسة التوروسية المحلية".
في أعمال سابقة، حافظت الأشخاص على افتراض "الهندسة الكروية المحلية"، مما جعل تفسير الفيزياء للداخل من الكرة شوارزشيلد مثيرة للجدل. في المراجع [1]، في القسم 6.8، نقرأ:
(داخل الكرة شوارزشيلد) *يبدو منطقيًا إعادة تفسير *r *ك مؤشر زمني و *t ك مؤشر محوري (...) ... *وهو ما يعني أن *ds² < 0 على طول هذه الخطوط الكونية.
- التوسع التحليلي لكرسكال.
في النظام الكلاسيكي للإحداثيات [x° , r , , ]، سرعة الضوء المحورية هي: (141)
بحيث تقترب من الصفر عندما يقترب r من Rs. منطق كركسال هو كما يلي (المراجع [1]، القسم 6.8).
*هذه سمة غير مرغوب فيها في إحداثيات شوارزشيلد التي يمكننا التخلص منها كما يلي؛ نبحث عن تحويل لـ *r و t *إلى متغيرات جديدة *u و v *فيها يأخذ عنصر الخط الشكل: (6.187)
**
...* نصل إلى تحويل مناسب للداخل من نصف قطر شوارزشيلد: * (6.204) *
*
بينما، خارج هذه الكرة: (6.201) *
*
الشرط الأساسي هو أن f يكون منتظمًا على الكرة شوارزشيلد r = Rs. لا يزال من [1]:
*وبالتالي، *u *يستخدم كمؤشر محوري عالمي، و *v يستخدم كمؤشر زمني عالمي.
من ناحية أخرى، من (6.187)، الخطوط الجيوديسية الضوئية (ds = 0) توفر "سرعة الضوء الثابتة": (142)
من (6.201)، نرى أن عندما يقترب r من اللانهاية، تقترب f من الصفر، لذلك يقول أدلر، شيفير، وبازين [1]: *
لكنها لا تتوافق مع إحداثيات كروية لفضاء مسطح على مسافة بعيدة، كما تفعل إحداثيات شوارزشيلد.
-
- المترية كركسال هي أيضًا حل غير مفرد للمعادلات الإينشتاين في هذه المناطق، وهي مكافئة لحل شوارزشيلد، لكنها لا تحتوي على أي تفرد في الحد (الكرة شوارزشيلد). إنها تمدد تحليلي للعلاقة.
يركز كركسال على المشكلة في هذا الحد، الذي يصبح غير مفرد، حيث تتركز الفوضى في "المركز الهندسي" حيث تقترب f من اللانهاية. لا يزال باستخدام المراجع [1]، نعيد إنتاج الفقرة المكرسة للمسارات المحورية للفوتونات:
*باستخدام *u , v *المسار بسيط؛ باستخدام *r و t *، ومع ذلك، نرى أنه يبدأ عند بعض *r > Rs و x° *محدود، وينتقل داخليًا نحو *r = Rs *بينما *x° *يقترب من اللانهاية، ويمر عبر الخط *x° = اللانهاية *إلى داخل الكرة شوارزشيلد. بعد ذلك *r *يستمر في التناقص على طول المسار، ولكن *x° *يقل. ... *يوضح هذا العلاج أيضًا أن *x° ليس مؤشرًا منطقيًا للزمن داخل الكرة شوارزشيلد.
نرى أن "لا شيء مثالي". مع اختياره الخاص للإحداثيات، ينجح كركسال في تجاوز الكرة شوارزشيلد، ويركز السمة المفردة للحل الهندسي في "التفرد المركزي". لكن المترية ليست لاورنتزية في اللانهاية.
هذا يوضح كيف أن اختيار الإحداثيات يغير تفسير الحل. نحن ندخل تغييرًا في "الهندسة المحلية" (جسر توروسي)، لكننا نزيل كل التفرد.
- العودة إلى الغمر.
يقول نظرية وينر-غروستاين أن أي سطح n-بُعد، مع n > 2، يمكن غمره في مساحة يكون الحد الأدنى لبُعدها (143)
للهوامش 4D، هذا يتوافق مع مساحة بعشرة أبعاد. نحن نعرف أن الخطوط الجيوديسية لهندسة شوارزشيلد تقع في مستويات. = p/2 تتوافق مع أحد هذه المستويات. يمكننا إذن التركيز على مجموعة فرعية من الخطوط الجيوديسية ( = p/2). هذه الخطوط الجيوديسية تعتمد على معلمتين l و h. نحن نعرف أن الخطوط الجيوديسية ( l =1 ) تتوافق مع جسيمات سرعتها صفرية في اللانهاية. علاوة على ذلك، اختر مجموعة فرعية من الخطوط الجيوديسية ( = ثابت). إذن: (144)
أدخل إحداثيًا إضافيًا z وارسم: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
معادلة تفاضلية حلها: (147)
يمكننا تمثيل هذه الخطوط الجيوديسية في مساحة ثلاثية الأبعاد [ z , r ,]. إنها خطوط ميريديانية لسطح محوري التماثل.
الشكل 27: الميريديان للسطح الذي يتم فيه الغمر المتطابق للخطوط الجيوديسية شوارزشيلد ( = ثابت).
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يبدو هذا السطح مثل الشكل 28 (قطع نصفي).
**
الشكل 28: السطح المغمر.
**
إذا رسمنا الخطوط الجيوديسية "المحورية" عليه، نحصل على الشكل 29.
**الشكل 29: تمثيل الخطوط الجيوديسية "المحورية". الأسفل: تProjectionها على مستوى [ r ,]. **
إنها غمرة جداً جزئية، لأنها محدودة بجميع الخطوط الجيوديسية "المحورية". الشكل 29 يشير إلى طية ويعطي انطباقًا. في الواقع، اعتبر مجموعة من ثلاث نقاط تتحرك على خطوط جيوديسية محورية. نحصل على
**
الشكل 30-أ: ثلاث نقاط كتلة تهبط نحو الفتحة على طول مسارات "محورية".
**
و:
**
الشكل 30-ب: نفس الشيء، بعد عبور الفتحة.
الสามي تم تدويره.
**
على التمثيل المسطح [ r ,]، تُعكس اتجاه الثلاثي. تخيل الآن أربع جسيمات اختبار تتحرك على مسارات محورية، وتتدفق نحو الكرة شوارزشيلد، مكونة رباعي الوجوه. انظر الشكل 31.
**
الشكل 31: أربع جسيمات تهبط على الكرة شوارزشيلد على طول خطوط جيوديسية "محورية" في مساحة ثلاثية الأبعاد إقليدية.
**
**
الشكل 32: بعد "الارتداد" على الكرة شوارزشيلد، تتحرك الجسيمات في الفضاء المزدوج. الرباعي مقلوب (انطياز).
**
لنعود إلى التمثيل السابق. يتم أيضًا عكس المتجه الطبيعي:
**الشكل 33: خط جيوديسي خاص ** **= ثابت في تمثيله في مجموعة الخطوط الجيوديسية (l = 1)، في مساحة ( r ,, z ). **