- الخطوط الجيوديسية في تمثيل [r,j].
بإدخال (6) في (14)، مع dr = thr dr نحصل على:
(17)
مما يعطي تمثيل [r, j] للخطوط الجيوديسية. عندما تتجه r إلى الصفر فإن dj/dr تتجه إلى قيمة منتهية، بحيث أن ظل زاوية الميل:
(18)
يتجه إلى الصفر عند المبدأ. صورة دائرة عنق شفارتزشيلد، في مثل هذا التمثيل، هي نقطة مخروطية.
شكل 4: الخط الجيوديسي الموضح في الشكل 3، في نظام إحداثيات (r, j).
عبور دائرة العنق يقابل النقطة O
هذا تمثيل متساوي القياس للخطوط الجيوديسية.
لاحظ أنه يمكننا أيضاً تمثيل السطح في تمثيل [z, r, j]، لكن هذا لم يعد متساوي القياس. نحصل على خط الزوال المرتبط:
(19)
عندما تتجه r إلى الصفر فإن z(r) تكون خطية. وعندما تتجه إلى اللانهاية، تتجه الدالة إلى قطع مكافئ.
شكل 5: خط زوال السطح، في تمثيل [r, j] غير متساوي القياس للسطح.
صورة دائرة عنق شفارتزشيلد، في مثل هذا التمثيل، هي نقطة مخروطية.
- امتداد إلى سطح فائق ثلاثي الأبعاد متماثل كروياً.
يمكن امتداد هذا إلى سطح فائق ثلاثي الأبعاد، كما يوصف بعنصر الخط:
(20)
تشير هذه المترية إلى سطح فائق ثلاثي الأبعاد، معبر عنه هنا في نظام إحداثيات [r, q, j]. المتغير r ليس "مسافة شعاعية"، تقابل "إحداثيات كروية". نجد من جديد حالات شاذة مماثلة في عنصر الخط الجديد هذا، والتي يمكن إزالتها بإدخال نفس تغيير الإحداثيات (6).
[r, q, j] � [r, q, j]
ثم يصبح عنصر الخط هذا:
(21)
تصبح بصمته (+, +, +) ومحدده:
(22)
لم يعد يتلاشى.
تقع الخطوط الجيوديسية لهذا السطح الفائق في مستويات. q = p/2 هو أحدها. في تمثيلها [r, j] تتطابق مع تلك الموجودة في الشكل 2. زمرة التماثل هي O3 والمدارات المقابلة هي كرات. من بين تلك، تمتلك إحداها مساحة دنيا (كرة العنق لهذا الجسر الحلقي ثلاثي الأبعاد). الدوائر الكبرى للكرات-المدارات ليست منحنيات جيوديسية، باستثناء تلك الخاصة الواقعة على كرة العنق التي محيطها 2 p Rs. الخطوط الجيوديسية لهذه الكرة الخاصة هي الوحيدة المغلقة. يمكننا تسمية هذه الهندسة الخاصة هندسة فوق حلقية. هذا السطح ثلاثي الأبعاد ليس بسيط الاتصال. يمتلك طية واحدة ثلاثية الأبعاد، يمكن اعتبارها مجموعة من طيتين نصفيتين ثلاثيتي الأبعاد محدودتين، ملتصقتين معاً على طول حدودهما الكروية (كرة العنق). على مسافة كبيرة من هذا "الجسر فوق الحلقي" تتجه المترية إلى المترية الإقليدية، المكتوبة فيما يلي في إحداثيات كروية:
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- هندسة شفارتزشيلد.
تقليدياً يعتبر المرء أن زمرة التماثل الخاصة بها هي SO3 X R حيث تشير R إلى إزاحات أحادية البعد. ثم يقال عادةً إن هذه المترية مستقلة عن الزمن ومتماثلة كروياً، باعتبار أن R تقابل إزاحات زمنية.
معبراً عنها في نظام إحداثيات [x�, r, q, j]، حيث x� هو علامة الزمن، فإن عنصر الخط هو
(24)
تقليدياً، يكتب المرء x� = ct، والذي يُفترض أنه يعرّف الزمن الكوني t لـ "مراقب خارجي". عندما r >> Rs تتجه (21) إلى مترية مينكوفسكي. تقليدياً تُجانس r مع إحداثي شعاعي. تُظهر (21) شذوذاً في الحد grr وتغيراً في البصمة عندما r = Rs.
مرة أخرى يمكننا تنظيم هذه المترية، باستخدام تغيير الإحداثيات (6)، بالانتقال إلى نظام [t, r, q, j]. ثم يصبح عنصر الخط:
(25)
مدارات زمرة التماثل O3 هي كرات. من بين هذه المجموعة، تمتلك إحداها، كرة العنق (كرة شفارتزشيلد)، مساحة دنيا. السطح الفائق ليس بسيط الاتصال. يشكل طية واحدة للزمكان، يمكن اعتبارها مجموعة من طيتين نصفيتين رباعيتي الأبعاد للزمكان (طيتان توأمان)، الأولى تقابل r > 0 والثانية تقابل r < 0، ومن ثم تقابل كرة العنق r = 0. يمكننا حساب الخطوط الجيوديسية، الواقعة في المستوى q = p/2. وفقاً لـ: "الإحداثيات الكروية":
شكل 6: إحداثيات كروية.
العنصر هو dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
الدوائر j = ثابت هي خطوط جيوديسية للكرة لكن، بوضوح، لا تمثل كل الخطوط الجيوديسية للسطح. فقط تلك التي تمر بنقطتين متقابلتين (قطبين).
الدوائر q = ثابت ليست خطوطاً جيوديسية، باستثناء تلك التي تقابل q = p/2 (خط الاستواء).
في نظام إحداثيات [r � Rs, j] تقابل هذه الخطوط الجيوديسية (غير الصفرية الطول):
(26)
اختيار مجموعة الثوابت [l, h] يحدد الخط الجيوديسي. من بينها نجد خطوطاً جيوديسية شبيهة بالقطع الزائد، والتي لا تتقاطع مع كرة العنق r = Rs. انظر الشكل 7.
شكل 7: هندسة شفارتزشيلد. تمثيل [r, j] لخط جيوديسي مستوٍ شبيه بالقطع الزائد لا يقطع كرة العنق r = Rs**
نجد أيضاً خطوطاً جيوديسية شبه إهليلجية. انظر الشكل 8
شكل 8: هندسة شفارتزشيلد. تمثيل [r, j] لخطوط جيوديسية شبه إهليلجية.**
الآن لنركز على الخطوط الجيوديسية التي تتقاطع مع كرة العنق r = Rs. في تمثيل [r, j]، لنسمِّ a الزاوية بين المماس للخط الجيوديسي والمتجه الشعاعي.
(27)
تعطي معادلة لاغرانج الأولى:
(28)
لقيم r � Rs تكون المعلمة l موجبة تماماً. معادلة لاغرانج الأخرى هي:
(29)
وتعطي تطوراً رتيباً للزاوية j بالنسبة للزمن الخاص s. في هذا المستوى (q = p/2) يعتمد الدوران على إشارة h.
وفقاً لهذا التفسير الجديد لهندسة شفارتزشيلد (باعتبارها سطحاً فائقاً غير بسيط الاتصال) يمكننا تمثيل الخط الجيوديسي في تمثيل [r, j] كما هو موضح في الشكل 9.
شكل 9أ: تمثيل [r, j] لخط جيوديسي يتقاطع مع كرة العنق (كرة شفارتزشيلد) المقابلة لـ h � Rs**
تم تمثيل جزء من الخط الجيوديسي كخط منقط، لأنه يُفترض أنه ينتمي إلى الطية النصفية الثانية ثلاثية الأبعاد، المرتبطة بالأولى على طول كرة العنق، كرة شفارتزشيلد. يوحي هذا بفاصل. لكن هذا الأخير يعود إلى نظام التمثيل [r, j] الخاص هذا، الأكثر ألفة لحدسنا الهندسي البشري (الضعيف). في فضاء تمثيل ثلاثي الأبعاد نحصل على الشكل 9ب. الجسيمات مثل "ترتد" على كرة شفارتزشيلد.
شكل 9ب: في فضاء التمثيل الإقليدي ثلاثي الأبعاد الجسيمات مثل ترتد على كرة شفارتزشيلد.
من هذه النقطة، "لا يوجد شيء داخل كرة شفارتزشيلد"، لأنه، في هذا "الداخل" نحن ببساطة "خارج السطح الفائق". تذكر أن كرة العنق، كرة شفارتزشيلد تقابل القيمة r = 0. الطية النصفية الأولى تقابل (r > 0) والثانية تقابل (r < 0).
في تمثيل [r, j]، يصبح مظهر الخط الجيوديسي مختلفاً تماماً. لنحسب ظل الزاوية b، بين الخط الجيوديسي والمتجه الشعاعي (انظر الشكل 6).
(30)
عندما تتجه r إلى � 0 فإن thr � r، ومن ثم:
(31)
في تمثيل [r, j] تكون الخطوط الجيوديسية التي تنتقل من طية نصفية إلى الأخرى مماسة للمتجه الشعاعي. لم يعد هناك انقطاع زاوي عند المبدأ، هذا الأخير كونه صورة دائرة العنق (r = 0). للحصول على وصف كامل لهذه الخطوط الجيوديسية يجب أن نعود إلى عنصر الخط، كما هو معبر عنه في نظام الإحداثيات [t = x�/c, r, q, j] (24)، باستخدام نظام معادلات لاغرانج، مع:
(32)
من بين هذه المعادلات، نجد:
(33)
لقيمة معطاة لـ h يكون تطور j رتيباً، بالنسبة للزمن الخاص s.
شكل 10: تمثيل [r, j] لخط جيوديسي ينتقل من طية نصفية (r > 0) إلى الأخرى (r < 0).
كما في السابق، تم تمثيل جزء الخط الجيوديسي الذي ينتمي إلى الطية النصفية الثانية ثلاثية الأبعاد كخط منقط.
لا يمكننا إعطاء تضمين للسطح الفائق رباعي الأبعاد، كما فعلنا في بداية الورقة لسطح ثنائي الأبعاد. بالمناسبة، نتعامل مع خطوط جيوديسية رباعية الأبعاد، وليس ثلاثية الأبعاد. فضاءات [r, q, j] و [r, q, j] ليست سوى فضاءات تمثيل، يُفترض أن تجعل الأمور أوضح قليلاً. الخطوط الجيوديسية الحقيقية منقوشة في فضاء رباعي الأبعاد. على أي حال، يوحي تمثيل [r, q, j] ببعض "الجسر فوق الحلقي" ثلاثي الأبعاد، ومن ثم يوحي تمثيل [r, q, j] ببعض "المخروط الفائق" ثلاثي الأبعاد. في هذا التمثيل الثاني (ثلاثي الأبعاد) لمثل هذا السطح ثنائي الأبعاد توجد خطوط جيوديسية تنتقل من طية نصفية إلى الأخرى، ماراً عبر النقطة (r = 0). هذا مشابه لمخروط ثنائي الأبعاد. انظر الشكل 11
شكل 11: خط جيوديسي لمخروط. يميناً: سطح يمتلك نقطة مخروطية.