٦) اختيار علامة زمنية. في الإحداثيات [ t , r , q , j ]، corr

6. اختيار معلم زمني.

في الإحداثيات [ t , r , q , j ]، المقابلة لعنصر الخط (25)، يكون محدد المترية:
(34)

والذي يتلاشى عندما تصبح r تساوي صفراً. على أي حال، في عام 1924، أظهر إدينغتون [10] أن انعدام المترية يعتمد على الإحداثيات. دعنا أولاً نعود إلى الشكل الأولي
(35)

نؤكد على حقيقة أن اختيار نظام الإحداثيات هو أمر تعسفي بحت، فالمترية، كحل للمعادلة بصيغة موترية
(36)

S
= 0

هي في الأساس ثابتة إحداثياً (لا تتغير بتغير الإحداثيات). نقرر أن الجسيمات تتبع الخطوط الجيوديسية. الإحداثيات المختارة تعسفياً هي التي تمنح هذا الحل الهندسي دلالته الفيزيائية. يمكننا اختيار x⁰ = ct، حيث c ثابت. لكن يمكننا اختيار إطار مرجعي آخر. الأمر متروك لنا. المتطلب الوحيد، لمعلم زمني مختار x⁰، أو t ، x ، هو أن تكون المترية إقليدية تقاربياً (asymptotically euclidean):
(37)

أو:
(38)

كما هو معبر عنه في نظام الإحداثيات الديكارتية. تذكر أن المترية الريمانية تكون إقليدية إذا أمكن إيجاد نظام إحداثيات حيث يكون الشكل التربيعي لعنصر الخط ذا معاملات ثابتة. مجموعة الإشارات تسمى البصمة (signature).
إذا كانت هذه الأخيرة ( + - - - ) فهي مترية مينكوفسكي.
(39)

بما أن ds² يُعرّف كمسافة أولية، يبدو من المعقول فرض أن تكون المترية إقليدية تقاربياً "على مسافات كبيرة"، بغض النظر عن التعريف المختار لهذه المسافة ( r أو r ، كما ورد أعلاه).

يظل تعريف "الزمن الكوني" أو "المعلم المكاني" خياراً حراً تماماً. بالمقابل، لا يمكننا تعديل الزمن الذاتي s، أو، بدقة أكبر، الفترة الزمنية Ds بين نقطتين معطاتين في المتشعب (manifold)، لأنه مستقل إحداثياً في الأساس. بالإضافة إلى ذلك، نفترض أن الجسيمات يمكنها السفر في كلا الاتجاهين على طول خط جيوديسي معين.

الشكل 12: سفر جسيم على خط جيوديسي معين.

سفر جسيم اختباري على طول خط جيوديسي هو ظاهرة. يُفترض أن خط جيوديسي آخر للمتشعب يشير إلى "مراقب خارجي ساكن". لكن حالة السكون تعتمد على اختيار الإحداثيات (x⁰, x1 , x2 , x3) ، وهو اختيار تعسفي تماماً.

يُفترض أن هذا "المراقب الخارجي" يقع في جزء من المتشعب حيث المترية إقليدية، أو شبه إقليدية، أي لها الشكل (37). إذن، شروط السكون تعني أن:
(40)

dx1 = 0

dx2 = 0

dx3 = 0

بالنسبة لمراقب في حالة سكون كهذه، تتطابق أي فترة زمنية ذاتية مع "فترة الزمن الكوني" المقابلة المختارة تعسفياً:
(41)

Ds
= Dx⁰

... بما أن اختيار الزمن الكوني تعسفي بحت، فإن تطور جسيم الاختبار مع الزمن يعتمد على هذا الاختيار. ضع في الاعتبار نقطتين A و B على خط جيوديسي معين، يُفترض أنه يشير إلى مراقب خارجي. هذه النقاط هي أحداث زمكانية. في الشكل 13، الخطوط المتقطعة يفترض أنها تشير إلى زمن كوني ثابت x⁰.

الشكل 13: "مراقب خارجي ساكن" "يراقب" تطور جسيم اختباري على خط جيوديسي. الزمن الكوني x⁰

ضع في الاعتبار الآن اختياراً آخر x للزمن الكوني. انظر الشكل 14.

الشكل 14: "مراقب خارجي ساكن" "يراقب" تطور جسيم اختباري على خط جيوديسي. الزمن الكوني x

لنوضح أن الخطوط المتقطعة ليست مسارات فوتونات. الفوتونات تسافر على خطوط جيوديسية صفرية (null geodesics) خاصة، وهي ثابتة إحداثياً.

لا يزال لدينا Ds(O) = Dx⁰ = Dx ولكن الفترات Ds'(TP) و Ds"(TP) قد تختلف بشكل كبير، على الرغم من أنها تشير إلى نفس الخط الجيوديسي، لأن الزوجين (A',B') و (A",B") قد يختلفان. في الأساس، تعتمد على إحداثية الزمن المختارة، أو "المعلم الزمني".

7. تغيير إحداثية الزمن لإدينغتون وشكله الموسع.

تغيير الإحداثيات التالي، الذي أدخله إدينغتون في عام 1924، وهو توضيح لهذه النقطة، هو:
(42)

ثم يصبح عنصر الخط:
(43)

بما أن الحد gxx يصبح صفراً على الكرة r = Rs ، فإن هذه الأخيرة هي سطح انزياح أحمر لا نهائي (كما في عنصر الخط لمترية شوارزشيلد الكلاسيكية). تصبح المصفوفة:
(44)

التي محددتها:
(45)

• r 4
  sin2 q

ولم تعد تتلاشى، مهما كانت قيمة r. لأسباب سيتم شرحها لاحقاً، دعنا نوسع تغيير الإحداثيات هذا إلى:
(46)

معبراً عنه بنظام الإحداثيات ( x , r , q , j )، يصبح عنصر الخط:
(47)

والذي له محدد بنفس الشكل (44). لاحظ أن تغيير إحداثيات إدينغتون يقابل قيمة d = - 1.
ندرس الخطوط الجيوديسية، باستخدام معادلات لاغرانج، بناءً على الدالة:
(48)

حيث:

بالإضافة إلى ذلك، من تعبير عنصر الخط، لدينا، بشكل كلاسيكي، للجسيمات المادية (ds ≠ 0):
(49)

تعطي معادلة لاغرانج واحدة:
(50)

ضع في الاعتبار الخط الجيوديسي المستوي q = p/2 ، والذي يعطي:
(51)

على طول خط جيوديسي، بالنسبة للزمن الذاتي s، يكون تطور j رتيباً (monotonic). تعطي معادلة لاغرانج أخرى:
(52)

أي:
(53)

بدمجها مع (49)، وبشكل مفاجئ، يختفي d :
(54)

لاحظ أنه إذا كان dr = 0 (سرعة معدومة) عندما تميل r إلى اللانهاية، فهذا يقابل l = 1. عندما تميل r إلى اللانهاية، بعد (53):
(55)

إذا كان l ≠ 1 ، عندما تميل r إلى اللانهاية، نحصل على:
(56)

حيث

نحصل على
(57)

في [ r , j ] نجد، للخطوط الجيوديسية غير الصفرية (ds ≠ 0)، التعبير التفاضلي بالشكل الكلاسيكي:
(58)

والذي يوفر أنماط الأشكال 7، 8 و 9. الآن يمكننا تعريف زمن كوني جديد، من خلال:
(59)

x = ct

... عنصر الخط (43) لا يزال إقليدياً تقاربياً. عند "المسافة الكبيرة"، يتطابق الزمن الذاتي Ds لمراقب ساكن مع الفترة Dt.

8. الفترات الزمنية للمسارات الشعاعية.

يمكننا حساب الفترة الزمنية Dt = Dx/c لجسيم ذي كتلة غير صفرية، يتبع خطاً جيوديسياً، عبر المعادلة التفاضلية:
(60)

للـ "خطوط جيوديسية شعاعية" ( h = 0 ):
(61)

بالقرب من كرة شوارزشيلد، نحصل على:
(62)

l = 1 يقابل جسيم اختباري تميل سرعته إلى الصفر عند اللانهاية.

ضع في الاعتبار هذه الحالة الخاصة:
(63)

من (54)

n = - 1 يقابل المسارات (dr < 0).

n = +1 يقابل المسارات (dr > 0).

... لاحظ أن تغيير إحداثيات إدينغتون الخاص يقابل (لـ r ≥ Rs) قيمة d = + 1. عندما نحسب زمن السفر الشعاعي Dt لجسيم اختباري، بالنسبة لهذا الزمن الكوني الجديد، نجد أن هذا الأخير يعتمد على اتجاه هذه الحركة وعلى إشارة d، أي على الجداء dn. عندما يكون موجباً، يكون زمن سفر جسيم اختباري، على طول خط جيوديسي شعاعي (r ≥ Rs) محدوداً. عندما يكون سالباً، يصبح زمن السفر هذا لا نهائياً.

... كنتيجة أولى، إذا طُبق على نموذج الثقب الأسود المتماثل كروياً، يعطي تغيير إحداثيات إدينغتون زمن سقوط حر Dt محدوداً. عندما r = Rs تصبح سرعة الجسيم:
(64)

جسيم اختباري، يسقط نحو كرة شوارزشيلد، يصلها بسرعة c.

9. سرعة الضوء.

الفوتونات تسافر على خطوط جيوديسية صفرية، تقابل:
(65)

ضع في الاعتبار السرعة:
(66)

من (65) نحصل على:
(67)

عندما تميل r إلى اللانهاية، تميل vj إلى ± c .

عندما dr < 0 يكون n < 1 . إذن، عندما r = Rs للمسارات (d r< 0):
(68)

عندما يسقط جسيم اختباري نحو كرة شوارزشيلد، على طول مسارات شعاعية، يصلها بسرعة الضوء.
لتلخيص:
(69)

(70)

سرعة الضوء مختلفة، بالنظر إلى المسارات (dr > 0) أو (d r< 0).

10. تأثير سحب الإطار المرجعي (Frame-dragging).

ضع في الاعتبار مترية كير:
(71)

حيث r إحداثية مكانية مختلفة عن تلك المعرفة أعلاه. نحن نعيد ببساطة إنتاج المعادلة 7.110 من المرجع [1].
احسب سرعة الفوتون (ds = 0) للحركات المماسية للدوائر (q = p/2, r = ثابت). نجد:
(72)

أي قيمتان متميزتان. هذا يقابل سحباً إطارياً سمتياً (azimutal) وهي خاصية لمترية كير. من المرجع [1]، 7.7، "حل كير والدوران" نقرأ:

ينتج عن الطبيعة الدورانية لحل كير تأثير فيزيائي مثير للاهتمام جداً؛ يخضع جسم في حركة جيوديسية لقوة متناسبة مع المعامل a تذكر بقوة كوريوليس. بشكل فضفاض، يمكننا أن نتخيل المصدر الدوار "يسحب" الفضاء معه. بمعنى ماخي (Machian)، "تنافس" المصادر شروط الحدود اللورنتزية عند اللانهاية في تأسيس إطار قصوري محلي.

معاد صياغتها بدلالة إحداثيات إدينغتون، الثقب الأسود، المُعتبر كمصدر للمجال، يحث على سحب إطار شعاعي.

11. الثقب الأسود والنافورة البيضاء.

في القسم 4، اقترحنا تفسيراً جديداً للهندسة الشوارزشيلدية حيث تتصرف كرة شوارزشيلد، انظر الشكل 9، ككرة حلقية (throat sphere)، تربط بين "طيّين نصفين للزمكان". يمكننا تخيل هيكل مشابه، يجمع بين هندستي شوارزشيلد التاليتين:
(73)

(74)

هذان مشتقان من (43)، عنصر الخط الأول (73) يقابل d = -1 والثاني (74) يقابل d = +1 . لا تنشأ صعوبة في الربط لأن d لا يظهر في حساب التمثيل [ r, j ] للخطوط الجيوديسية. انظر المعادلة (58). نحصل على زوج "ثقب أسود-نافورة بيضاء"، بدون "تفرد مركزي". يمكن للمادة أن تدخل الثقب الأسود، لكن لا تخرج. على الجانب الآخر، يمكن للمادة أن تتدفق خارج النافورة البيضاء، لكن لا تدخل. زمن العبور محدود في اتجاه واحد، ولا نهائي على طول الاتجاه الآخر. محسوباً بالزمن الكوني الجديد x، زمن العبور المحدود مشابه لذلك المحسوب بالزمن الذاتي s. للمسارات الشعاعية:
(75)

هذا الزمن قصير جداً. كما أُظهر في هذه الورقة، نموذج الثقب الأسود مبني على اختيار خاص للإحداثيات، وخاصة للزمن الكوني. كما أُشير في القسم 6، اختيار المعلم الزمني تعسفي بحت. الاختيار الكلاسيكي يعطي نظاماً شبه مستقر (quasi steady-state)، حيث سقوط المادة، المصبوبة في الثقب الأسود، يكون "متجمداً زمنياً"، بالنسبة لمراقب خارجي. لكن هذه الورقة تُظهر أن اختياراً آخر للمعلم الزمني، مشتق من فكرة إدينغتون، "يزيل التجمد" عن العملية. من هذا المنظور، لا يمكن أن توجد الثقوب السوداء، أو أزواج الثقوب السوداء-النوافير البيضاء، كأشياء دائمة، لأنها يمكن أن تبتلع عشرات الكتل الشمسية في جزء من الألف من الثانية. لذا لا يزال هناك سؤال مفتوح:

• ماذا يحدث عندما تتجاوز نجم نيوتروني حد استقراره؟

12. فضاء التمثيل.

قبل محاولة تقديم مشروع نموذج بديل، بضع كلمات عما يمكننا تسميته "فضاءات التمثيل". في بداية الورقة، درسنا سطحاً ثنائي الأبعاد، كما هو معرف بعنصر خطه. ظهر أنه من الممكن تضمين هذا السطح في R3، مما أعطى تمثيلاً متطابقاً (isometric representation) لهذا الكائن الهندسي. بالمناسبة، ذكرنا تمثيلاً [r,j].

ليس من الممكن إعطاء تمثيل بديهي لسطح فائق رباعي الأبعاد لأننا لا نستطيع رسمه وإظهار أشكال. لكن يمكن تصوير السطح الفائق في العديد من فضاءات التمثيل، المقابلة لاختيارات إحداثيات مختلفة، لأن الكائن ثابت إحداثياً في الأساس. يمكننا، على سبيل المثال، إدخال التغيير (6). ثم يصبح عنصر الخط:
(76)

لـ r > 0

و:
(77)

لـ r < 0.

الخطوط الجيوديسية "الشعاعية" (على سبيل المثال q = p/2 , dj = 0 ) تتركز في المركز الهندسي O للنظام (في هذا التمثيل الخاص). هذه النقطة قابلة للمقارنة بـ "نقطة فائقة مخروطية" (hyperconic point).
التماثل بالنسبة لنقطة، في فضاء ثلاثي الأبعاد، هو تماثل P.

في هذه الإحداثيات [ t , r , q , j ]، عنصر الخط الشوارزشيلدي متماثل P. كما أنه مستقل زمنياً (ثابت عبر إزاحة زمنية، أي يقابل حالة مستقرة) ومتماثل T، ثابت عبر:

t ↦

• t

الصفحة السابقة الصفحة التالية