- زمر التماثل القياسي.
لتكن a مصفوفة دوران ثلاثية الأبعاد. نكتب:
(78)
يمكن تمثيل عنصر الزمرة SO3 × R بالمصفوفة:
(79)
وهي حاصل ضرب مصفوفتين. الأولى:
(80)
تنتمي إلى SO3.
والثانية:
(81)
تنتمي إلى زمرة الإزاحة الزمنية R. نُدخل تماثلي P و T. فنحصل على زمرة رباعية المركبات، عنصرها:
(82)
وهو حاصل ضرب مصفوفتين:
(83)
و:
(84)
لنسمِّ هذه الزمرة الجزئية الثانية E1 (زمرة إقليدس أحادية البعد).
في التمثيل [t, r, q, j] تكون زمرة التماثل القياسي O3 × E1.
لنعد إلى تعبير عنصر الخط في نظام الإحداثيات [t, r, q, j]:
(85)
...كلاسيكياً، يُعتبر أن زمرة التماثل القياسي المرتبطة هي SO3 × R، وهي ليست الأكبر. إنها O3 × E1، لأن عنصر الخط أيضاً لا يتغير تحت الانقلابات المكانية والزمنية.
الآن، لنعتبر عنصر الخط معبَّراً عنه بالصيغة "الممتدة لإدينغتون"
(86)
والتي نكتبها:
(87)
بإدخال الإحداثيات المكانية الديكارتية [x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
حينها يمكن التعبير عن عنصر الخط بدلالة الإحداثيات [x, x1, x2, x3].
(91)
الآن نبحث عن زمرة التماثل القياسي للمترية، كما هي معبَّر عنها في نظام الإحداثيات الغريب هذا.
لدينا أولاً تماثل P. عنصر الخط لا يتغير تحت:
(92)
x1 ← - x1
x2 ← - x2
x3 ← - x3
وهو أيضاً لا يتغير عبر التغيير:
(93)
x ← - x
d ← - d
وعبر الإزاحات الزمنية: x = x + e. وهو يوافق الزمرة الرباعية المركبات التالية:
عنصرها حاصل ضرب مصفوفتين. المجموعة الأولى
(94)
توافق O3، والثانية تشكّل زمرة جزئية ثانية عنصرها:
(95)
لنسمِّ هذه الزمرة الجزئية الثانية "TF".
حينها تكون زمرة التماثل القياسي لـ (86):
O3 × TF
لنعتبر الآن مترية شفارتزشيلد معبَّراً عنها في نظام الإحداثيات [t = x/c, r, q, j]. يمكننا جمع التعبيرين (76) و(77) في:
(96)
تذكّر أن d = -1 يتكفّل بنصف الزمكان r > 0، بينما d = +1 يتكفّل بنصف الزمكان الثاني r < 0، إذا اعتبرنا أن "الثقب الأسود" يقع في طيّتنا، و"النافورة البيضاء" في "الطيّة التوأم".
إذا انعكست الحالة، أي إذا وقع "الثقب الأسود" في الطيّة التوأم و"النافورة البيضاء" في طيّتنا، نحصل على:
d = +1 يتكفّل بنصف الزمكان r > 0
d = -1 يتكفّل بنصف الزمكان r < 0
لنعتبر الحالة الأولى ("الثقب الأسود" في كوننا و"النافورة البيضاء" في الطيّة التوأم). هناك تكون المترية:
(97)
بتغيير:
r ← -r
t ← -t
d ← -d
نحصل على المترية الثانية:
(98)
لاحظ أن انعدام المحدد عند r = 0 سيوافق الانقلاب الموضعي للفضاء (التشاكل المرآوي) وللإحداثي الزمني عند النقطة (r = 0). في الواقع نحتاج إلى محدد غير معدوم لتعريف إحداثيات غاوسية. انظر المرجع [1] 2.4
إذا كان المحدد غير معدوم، فإنه يتيح تعريف سلسلة من الأسطح الفائقة (x° أو x، أو t = ثابت) (توافق قيمة ثابتة للعلامة الزمنية المختارة)، عمودية على خطوط الإحداثيات الجيوديزية x° أو x أو t ("خطوط عالم" لـ"نقاط ثابتة").
شكل 15: بعد شكل 2.1 من المرجع [1]
كان يمكننا التعبير عن (97) و(98) بإحداثيات ديكارتية، كما سبق، وإعادة إيجاد (92) و(93). تصبح زمرة التماثل القياسي لـ (96):
(99)
طيّتا نصف الزمكان متماثلتان تحت PT.
تذكّر أن أندريه ساخاروف كان أول من اقترح، في 1967 (المراجع [26] إلى [30])، أن كوناً يمكن أن يتكوّن من كونين توأمين، كوننا وكون توأم، بـ"زمنين متعاكسين". لاحقاً اقترح أن الطيّة التوأم يمكن أن تكون متشاكلة مرآوياً.
- المعنى الفيزيائي لانقلاب الزمن الكوني t.
انقلاب الزمن هذا محيّر. يعني أن العلامة الزمنية t تنقلب عندما يتبع المرء جيوديزياً، من طيّة إلى الطيّة التوأم. هل يعني أن ساعة "مسافر" يعبر هذا الجسر الفائق الثقب ستُعكس؟
قلنا أعلاه إن زوجاً "ثقب أسود - نافورة بيضاء" يمكن أن يوجد، حيث يقع "الثقب الأسود" في الطيّة التوأم و"النافورة البيضاء" في الأخرى. سيعني ذلك أن هذا "المسافر الاختباري" يمكن أن يغوص في الجسر الفائق الثقب الأول ويصعد من الثاني. هل يمكنه العودة إلى نقطة انطلاقه المكانية و"يقتل أباه"؟
شكل 16: رحلة متناقضة (تخطيطية).
الجواب لا، لأن إشارة الزيادة الأولية ds لزمنه السليم لا تتغير، على طول الجيوديزي الذي يتبعه. إذن، ما المعنى الفيزيائي لـ t؟ لا شيء. إنه مجرد إحداثي.
الزمن السليم وحده له معنى فيزيائي.
إذن، ما نتيجة انقلاب هذا الإحداثي الزمني؟
علينا دراسة الفعل المرافق للزمرة على زخم فضاءها (المراجع [11] و[12]). عنصر الزمرة هو
(100)
هذه زمرة ثنائية المركبات (m = ± 1)، بعدها 4.
المصفوفة العكسية هي:
(101)
احسب عنصر جبر لي. اكتب:
(102)
da = w d e = e
لنحسب: dg' = g-1 × dg × g
(103)
(104)
من أجل حساب الفعل المرافق (انظر المرجع [11])، أدخل السلمي:
(105)
الذي يُضمن ثباته إذا:
(106)
أي:
(107)
يوفر التطابق الفعل المرافق للزمرة على زخمها رباعي المركبات:
(108)
( l , m )
تذكّر أن عدد مركبات الزخم يساوي بعد الزمرة.
(109)
(110)
m' = m m
يمكننا مطابقة m مع الكتلة (أو مع الطاقة E = mc2، بلا فرق). تعني (110) أنه عندما يعبر جسيم "الكرة الحلقومية" تُعكس كتلته (m' = -m). هذا ليس مفاجئاً ويعطي المعنى الفيزيائي الحقيقي لهذا "انقلاب الإحداثي الزمني".
...باتباع J.M.Souriau [12] يمكننا تسمية مركبة الزمرة (m = +1) "المتزامنة الزمن"، و(m = -1) "المركبة المضادة للزمن". عناصر المركبة المضادة للزمن تعكس الكتلة. تماثل الزمن مكافئ لتماثل m، كما بيّن J.M.Souriau ([12] ص.197، فصل انقلابات الزمن والفضاء).
- معادلات الحقل المقترنة اللاحقة.
بدأنا من معادلة حقل واحدة ثنائية العضو الصفري:
(111)
S = 0
والتي افتُرض أنها تأتي من معادلة كاملة (أينشتاين):
(112)
S = c T
تنطبق على الفراغ (T=0). يمكننا افتراض أن الهندسة الكاملة يمكن وصفها بمتريتين "مترافقتين" g وg*، يمكننا منهما بناء موترين هندسيين لأينشتاين S وS*. انظر المراجع [13] إلى [15].
إذا كان نصفا الزمكان خاليين، فإن المجموعة (g , g*) حل للنظام:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(حل دقيق ثابت للنظام (113) و(114) معطى في المرجع [16]). الآن يمكننا ملء طيّة الزمكان الأولى بكتلة موجبة (طاقة وضغط موجبين) توافق حقل موتر T والثانية بكتلة سالبة (طاقة سالبة) ونفترض أن الحقل يعتمد على كلا حقلي الموتر، عبر الصيغة التالية:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
وهو يوافق هندستين مترافقتين:
(117)
S* = - S
لاحظ أنه لا يعني إطلاقاً أن g* = - g !
يمكن تمثيل الموترين T وT* بكثافتي كتلة r وr* وضغطين p وp*.
هنا نعتبر أن r وr* وp وp* كلها موجبة، لإظهار أن "هذا هو النوع نفسه من المادة". تشير الإشارة السالبة إلى أن "المادة التوأم" تتصرف كمادة ذات كتلة سالبة (وطاقة وضغط سالبين). قُدّم هذا النظام من معادلات الحقل ودُرس في أوراق سابقة (المراجع [13] إلى [15]).
- مشروع: نموذج النقل الفائق الفضاء.
في الأوراق المرجعية، قُدّمت حلول مقترنة ثابتة [16] وحلول منتظمة غير ثابتة ([14] و[15] و[17]). نعتزم بناء حلول غير ثابتة وغير منتظمة للنظام (115) زائد (116). مثلاً، لنعتبر شروطاً ابتدائية حيث توجد المادة في طيّة زمكاننا F، والثانية F* فارغة. سيكون النظام الموافق:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...قُدّم حل ثابت لنظام كهذا في ورقة سابقة [16]. في مثل هذه الشروط توجد المادة فقط في الطيّة F. قد يصف ذلك الهندستين المترافقتين الموافقتين لوجود نجم نيوتروني في هذه الطيّة، طيّتنا، بينما يكون الجزء المجاور من الثانية (التوأم) F* فارغاً. في البداية، الطيّتان غير متصلتين. الحل، خارج النجم النيوتروني، يطيع:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...ثم تُسكب المادة في النجم النيوتروني، حتى الحراجة. يعرف المتخصصون أن أول أعراض الحراجة هو الارتفاع المفاجئ للضغط حتى اللانهاية عند مركز النجم النيوتروني (المفترض كروي التماثل)، وفق نموذج تولمان-أوبنهايمر-فولكوف (TOV) (المرجع [1]، المعادلة 144.22). نعتقد أن هذا الارتفاع يؤثر على القيم الموضعية لثوابت الفيزياء (سرعة الضوء، ثابت الجذب، الكتلة). قُدّمت نماذج بـ"ثوابت متغيرة" بداية من المؤلفين ([18] و[19] و[20] و[14]). لاحقاً طوّر مؤلفون آخرون هذا المفهوم الجديد، بطريقة مختلفة بعض الشيء [17].
...نعتقد أن هذا سيسبب ولادة جسر فائق حلقي، يربط الطيّتين. حينها ستتدفق المادة (بسرعة، بسرعة نسبية) من الطيّة F إلى الطيّة F*، عبر هذا الممر. كما بُيّن أعلاه، تعكس هذه الظاهرة الكتلة، انظر القسم 14، المعادلة (110)، بحيث يعتمد الحل غير الثابت على النظام:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
عند "منتصف العملية" T = T* . حينها يطيع الحل:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...نعتقد أنه المعنى الحقيقي لهندسة شفارتزشيلد. سيوافق إطاراً ينتمي إلى عملية غير ثابتة.
...هذا الحل غير الثابت مجرد مشروع حل. لم يُبنَ بعد. لا نعرف ما سينتج، وكيف ستبدو العملية الكاملة.