- المزيد عن التضمين والجيوديسيات.
لا يمكن تضمين جميع الأسطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد R3. على سبيل المثال، لنأخذ في الاعتبار المتري:
(134)
حيث Rs > 0 و r > 0
معرّف على الأعداد الحقيقية R بمقياس 2 
عند التعبير عن ذلك باستخدام الإحداثيات [ r , ] الخاصة هذه، يكون عنصر الطول منتظماً في كل مكان تقريباً (باستثناء النقطة r = 0). وفيما عدا ذلك، لا تنشأ أي مشكلة. زمرته الزمرة المتساوية القياس هي O2. مدارات الزمرة هي دوائر حيث r ثابت. يمكننا أن نتخيل أن هذا السطح يمكن تضمينه في R3، حيث سيظهر بشكل محوري التماثل حول محور z ما.
توجد جيوديسيات ( = ثابت ). يمكننا أن نفكر في أنها "خطوط طول" للسطح وأن معادلة z ( ) لمثل هذا خط الطول يمكن بناؤها كما فعلنا في بداية الورقة. على طول الجيوديسيات ( = ثابت ):
(135)
إذا كان هذا السطح قابلاً للتضمين في R3، فعلى طول تلك الجيوديسيات:
(136)
مما يعطي:
(137)
الاستنتاج: لا يمكن تضمين هذا السطح في R3.
هذا المتري (135) يوحي بوجود فعل تنافري.
لا يمكن تضمين جميع الأسطح، كما هي معرّفة بمتريها. على أي حال، هذه الأسطح "موجودة"، حتى لو لم نستطع الإمساك بها بأيدينا.
لنأخذ في الاعتبار الفائق السطحي ثلاثي الأبعاد التالي، كما هو معرّف بواسطة:
(138)
حيث Rs > 0 و r > 0
معرّف على الأعداد الحقيقية R بمقياس 2
لا يمكننا تضمين مثل هذا الفائق السطحي. لكنه موجود ويمتلك "جيوديسيات مستوية" ( 
= /2).
يمكننا حساب نظام الجيوديسيات لهذه الفوائق السطحية ثنائية وثلاثية الأبعاد. يمكننا تخيلها في مستوى (r,). وهي حقيقية.
(139)
تصميمها مطابق لتلك الخاصة بالسطحين السابقين، كما هو معرّف بعنصر الطول (134). هذان الكائنان الهندسيان متصلان بشكل بسيط.
الشكل 25: الجيوديسيات المقابلة
لعناصر الطول (134) و (138)
(لاحظ أنه يشبه فعل التنافر).
هناك أمر محير. بالنظر إلى عنصر طول، يمكننا حساب نظام الجيوديسيات. على سبيل المثال، تلك الخاصة بالتمثيل الكلاسيكي لهندسة شوارزشيلد تقابل:
(140)
يمكننا حساب المنحنيات r () المقابلة لهذه المعادلة التفاضلية.
وهي حقيقية، بما في ذلك للقيم r < Rs !
الشكل 26: خط جيوديسي كامل، يقابل
عنصر طول شوارزشيلد.
نفهم لماذا كان الفيزيائيون محيرين بعد النظر إلى هذه النتيجة الغريبة. لكن هناك حقيقة رياضية: عنصر الطول قد ينتج نظام جيوديسيات حقيقي، تتوافق بعض أجزائه مع عنصر طول ds تخيلي.
ماذا عن الفيزياء؟ نحدد ds كزيادة في الزمن الخاص. قررنا أعلاه اعتبار أن ds التخيلي لا يقابل مساراً فيزيائياً، مما أجبرنا على إعادة النظر في "الطوبولوجيا المحلية" للفائق السطحي، وتغيير "الطوبولوجيا الكروية المحلية" إلى "طوبولوجيا طورية فائقة محلية".
في الأعمال السابقة، حافظ الناس على فرضية "الطوبولوجيا الكروية المحلية"، مما جعل التفسير الفيزيائي للـ "داخل" من كرة شوارزشيلد إشكالياً. في المرجع [1]، في القسم 6.8 نقرأ:
(داخل كرة شوارزشيلد) سيبدو من الطبيعي إذن إعادة تفسير r كمؤشر زمني و t كمؤشر شعاعي (...)
... مما سيتضمن أن ds2 < 0 على طول هذا الخط العالمي.
- الامتداد التحليلي لكراسكال.
في نظام الإحداثيات الكلاسيكي [x� , r , , ]، تكون السرعة الشعاعية للضوء:
(141)
مما يعني أنها تميل إلى الصفر عندما تميل r إلى Rs. حجة كراسكال هي التالية (المرجع [1]، القسم 6.8).
هذه سمة غير مرغوب فيها في إحداثيات شوارزشيلد يمكننا التخلص منها على النحو التالي؛ نبحث عن تحويل لـ r و t إلى متغيرات جديدة u و v حيث يأخذ عنصر الطول الشكل:
(6.187)
... نصل إلى تحويل مناسب لداخل نصف قطر شوارزشيلد:
(6.204)
بينما، خارج تلك الكرة:
(6.201)
*
*
المتطلب الأساسي هو أن تكون f منتظمة على كرة شوارزشيلد r = Rs. لا يزال من [1]:
وبالتالي تعمل u كمؤشر شعاعي عالمي، وتعمل v كمؤشر زمني عالمي.
بالمناسبة، من (6.187)، تعطي الجيوديسيات الصفرية (ds = 0) "سرعة ضوء ثابتة":
(142)
من (6.201) نرى أنه عندما تميل r إلى اللانهاية، تميل f إلى الصفر، مما يقول أدلر، شيفر و بازين [1]:
إنها لا تقابل، مع ذلك، إحداثيات كروية للفضاء المسطح على مسافة لا نهائية، كما تفعل إحداثيات شوارزشيلد.
متري كراسكال هو أيضاً حل غير شاذ لمعادلة أينشتاين في هذه المناطق وهو مكافئ لحل شوارزشيلد، لكنه لا يحتوي على شذوذ عند الحدود (كرة شوارزشيلد). هذا امتداد تحليلي للمتعدد الشكلي.
يركز كراسكال على المشكلة عند هذه الحدود، التي تصبح غير شاذة، حيث يتركز الشذوذ في "المركز الهندسي" حيث تميل f إلى اللانهاية. لا نزال نستخدم المرجع [1] ونعيد إنتاج المقطع المخصص للمسارات الشعاعية للفوتونات الداخلة:
بدلالة u , v المسار بسيط؛ ولكن بدلالة r و t , نرى أنه يبدأ عند r > Rs محدود و x� محدود، ويسافر إلى الداخل نحو r = Rs بينما تميل x� إلى اللانهاية، ويعبر الخط x� = لا نهائية إلى داخل كرة شوارزشيلد. بعد ذلك تستمر r في الانخفاض على طول المسار، لكن x� ينخفض. ... التناول الحالي يوضح أيضاً أن x� ليس مؤشراً زمنياً معقولاً داخل كرة شوارزشيلد.
نرى أن "لا شيء مثالي". باختياره الخاص للإحداثيات، يدير كراسكال عبور كرة شوارزشيلد، محصوراً السمة الشاذة للحل الهندسي في "شذوذ مركزي". لكن المتري لم يعد لورنتزياً عند اللانهاية.
هذا يوضح كيف يعدل اختيار الإحداثيات تفسير الحل. اختيارنا يقدم تغييراً في "الطوبولوجيا المحلية" (جسر طوري فائق)، لكن يتم القضاء على كل الشذوذ.
- العودة إلى التضمين.
تنص مبرهنة فينر-غراشتاين على أن أي سطح ذي n بُعد، حيث n > 2، يمكن تضمينه في فضاء يكون بعده الأدنى:
(143)
بالنسبة للفوائق السطحية رباعية الأبعاد، يقابل ذلك فضاءً بعشرة أبعاد. نعلم أن جيوديسيات هندسة شوارزشيلد تقع في مستويات. = p/2 يقابل أحدها. إذن يمكننا التركيز على مجموعة جزئية من الجيوديسيات ( = p/2). تعتمد هذه الجيوديسيات على معلمتين l و h. نعلم أن الجيوديسيات (l =1) تقابل جسيمات سرعتها صفر عند اللانهاية. بالإضافة إلى ذلك، اختر المجموعة الجزئية من الجيوديسيات ( = ثابت ). إذن:
(144)
أدخل إحداثياً إضافياً z واكتب:
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
معادلة تفاضلية حلها هو:
(147)
يمكننا تخيل هذه الجيوديسيات في فضاء ثلاثي الأبعاد [ z , r ,]. وهي خطوط طول لسطح محوري التماثل.
الشكل 27: خط طول السطح الذي يتم فيه تضمين متساوي القياس
للجيوديسيات الشوارزشيلدية ( = ثابت).
في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يبدو هذا السطح مثل الشكل 28 (نصف مقطع).
الشكل 28: سطح التضمين.
إذا رسمنا الجيوديسيات "الشعاعية" عليه، نحصل على الشكل 29.
الشكل 29: تمثيل الجيوديسيات "الشعاعية". الأسفل: إسقاطها على
مستوى [ r ,].
إنه تضمين جزئي جداً، لأنه يقتصر على مجموعة الجيوديسيات "الشعاعية". يوحي الشكل 29 بطية ويقترح تشكلاً انعكاسياً (enantiomorphy). في الواقع، لنأخذ في الاعتبار مجموعة من ثلاث نقاط تتبع جيوديسيات شعاعية. نحصل على
الشكل 30-أ: ثلاث نقاط كتلية، تسقط نحو الحلق عبر مسارات "شعاعية".
و:
الشكل 30-ب: نفس الشيء، بعد عبور الحلق.
تم عكس المثلث.
على الإسقاط المستوي [ r ,]، يتم عكس اتجاه المثلث.
تخيل الآن أربع جسيمات اختبار تتبع مسارات شعاعية، تسقط نحو كرة شوارزشيلد، مشكّلة رباعي وجوه. انظر الشكل 31.
الشكل 31: أربع جسيمات تسقط على كرة شوارزشيلد على طول
جيوديسيات "شعاعية" في فضاء تمثيل إقليدي ثلاثي الأبعاد.
الشكل 32: بعد "الارتداد" على كرة شوارزشيلد، تسافر الجسيمات
في الفضاء التوأم. يتم عكس رباعي الوجوه (تشكل انعكاسي)
لنعد إلى التمثيل السابق. يتم عكس المتجه العمودي أيضاً:
الشكل 33: جيوديسية = ثابت خاصة في تمثيلها
ضمن مجموعة الجيوديسيات (l = 1)، في فضاء
( r ,, z ).