تحول الكرة وغمر زجاجة كلاين

تحويل الكرة

7 ديسمبر 2004

الصفحة 1

**مقدمة. **

سنعتبر في ما يلي أسطحًا مغلقة، مثل الكرة والطارة وغيرها. هذه أسطح بالمعنى الذي يفهمه الشخص العادي، أي أنها أشياء ذات بُعدين نُمثلها في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد، R3، وهو فضاؤنا الذهني للتمثيل. يمكن لهذه الأسطح أن تُمثل بطرق مختلفة. إذا لم تتقاطع مع نفسها، نقول إنها مغروسة (في R3). وإذا تقطعت، نتحدث عن غمر، وستُظهر هذه التقطيع وجود مجموعة تداخل ذاتي (self-intersection).

في غمرنا، نفترض أن المماس يتغير بشكل مستمر وأن السطح هو مثال على أشكال مميزة مثل قمة مخروط. ستكون أسطحنا منتظمة.

في حالة الغمر، نطلب أن تكون المماسات في خطوط التداخل مميزة.

عالم الهندسة، كما يراه الرياضي، مختلف تمامًا عن العالم الفيزيائي. أن تمر الأسطح بنفسها لا يزعجه على الإطلاق. العالم الفيزيائي لا يسمح بأشياء من هذا النوع. لكن هذا ممكن في العالم الميتافيزيقي. ففي الكتاب المقدس، يُذكر أن عندما يُحيي الأموات، سيكونون على شكل "أجساد مُمجدة". وبالتالي، يمكنهم المرور من خلال أي شيء، وبحسب المبدأ، يمكنهم تمرير أنفسهم. إذن، عندما يأتي وقت يوم القيامة، إذا كنت تمشي في روما على شكل جسم مُمجّد، وفقدت الطريق وتحاول العثور على ساحة نافونا، قد ترغب في طلب الاتجاه من شخص آخر مُحيى يشبهك. افترض أن الشخص الذي تتحدث إليه يتجه في الاتجاه المعاكس من هذه الساحة. في الفضاء الفيزيائي العادي، عليه أن يدور حول نفسه لكي يشير بابتسامته في تلك الاتجاه. لكن إذا كان يسير على شكل جسم مُمجّد، لن يحتاج إلى هذه الدوران. يمكنه أن يشير بابتسامته إلى بطنّه ويتقاطع مع نفسه. عندما تظهر يده من ظهره، لن يبقى له سوى أن يقول لك "هناك". من خلال دفع ذراعه من خلال بطنّه، قد يخلق في جسده مجموعة تداخل ذاتي تتكون من دوائرتين، والتي ستختفي عندما يعود إلى حالته الطبيعية.

إذا أغلق شخص ما فمه، ووضع ملقط على أنفه لسدّه، ونَسِيَ باقي فتحاته الطبيعية، فإن غلافه الجسدي سيتخذ طوبولوجية الكرة S2. تخيل كائنًا مُحيى على شكل جسم مُمجّد، فتحاته الطبيعية مسدودة. نحن نعلم أنه يمكنه تمرير نفسه، أي أن غلافه الجسدي يمكن أن ينتقل من حالة غمر إلى حالة غمر. أحد الأسئلة الميتافيزيقية التي طُرحت كانت هل يمكن لشخص مُحيى على شكل جسم مُمجّد أن يدور في تجعيدات.

ملاحظة سريعة. المُهرّجون يعرفون استخدام "دوائر سحرية" التي يمكن أن تتشابك "بشكل سحري". يمكننا تخيل تمثيل الأسطح باستخدام نوع من "شبكة سحرية" بحيث يمكن للنطاقين، الممثلين هنا بالأسود والوردي، أن يمرّا ببعضهما البعض بسهولة.

الشبكة السحرية

بأي حال، يجب الاعتراف بأن هناك غالبًا قلة فرق بين الرياضيات والسحر. لقد صنعت قبل عشرين عامًا قصة مصورة: "الطوبولوجيكون". وهي الآن منتهية ونادرة، باستثناء كونها أداة جمع. على إحدى الصفحات، يمكن رؤية هذا:

من المؤسف أن ناشر "بيلين" قرر التخلي عن هذه المجموعة. يجب القول إن بسعر تصنيع يزيد بضع سنتات فقط، بيع المجلدات بـ13 يورو (إضافة إلى الشحن)، مباع بالبريد، خارجًا من ضمن أن هذا يترك هامش ربح 12 يورو، أي بربح يتجاوز 92% من سعر البيع، لا يتوافق مع استراتيجية تجارية واضحة، خاصة بالنسبة للرسم الأسود والأبيض.

لنعتبر كرة S2 مغروسة في R3. نفترض أن سطحها الخارجي رمادي، وداخلها لون قديم وردي. يمكننا الضغط على نقطتين متقابلتين، نسميهما بشكل عشوائي "القطب الشمالي" و"القطب الجنوبي"، حتى تلتقين في نقطة واحدة. يمكننا فعل ذلك، على سبيل المثال، مع كعكة. عندما يتعلق الأمر بكعكة رياضية (لا نعرف ما إذا كانت الكعكات تُحيى أو لا على شكل أجساد مُمجدة)، يمكن للمنطقتين القطبيتين، بعد أن التقين في نقطة، أن تمرّا ذاتيًا عبر منحنى تداخل ذاتي يشبه دائرة. نقول بسرعة أن هذه السطح عانى من كارثة من نوع Do.

يمكننا أن نكون مغريين بمحاولة تدوير الكعكة، الكرة، مستمرًا في العملية. لكن سيتشكل عندها كيس، سيتحول إلى طويّة سيئة، أو أكثر دقة، سطح انعكاسي (الشكل d).

في نهاية الخمسينيات، كانت المسألة الجادة حول ما إذا كان من الممكن تدوير كعكات ميتافيزيقية دون تطويات كانت لا تزال غير مُحَلّة. بصدق، كان الجميع يعتقد أن هذا مستحيل تمامًا. لكن في عام 1957، قام رياضي، ستيفن سمايل (الذي حصل على ميدالية فلود لكن لعمل مختلف)، ببرهنة أن مختلف غمرات الكرة S2 في R3 تشكل مجموعة واحدة، وأنه من الممكن دائمًا العثور على سلسلة من التحولات المستمرة للغمر (يُسمى أيضًا التماثل المنتظم) تسمح بالانتقال من حالة إلى أخرى. كان النتيجة أن من الممكن الانتقال من خلال سلسلة مستمرة من الغمر من الغمر القياسي للكرة S2 إلى الغمر المعاكس. بمعنى بسيط: من الممكن تدوير كرة دون تطويات، بشرط السماح لها بالانعكاس الذاتي.

كان مُعلم سمايل يُدعى راول بات. سأل هذا الأخير طالبه كيف يجب أن يفعل ذلك، فأجاب سمايل أنه لا يعلم شيئًا، لكن نظريته كانت غير قابلة للمساس. سمايل لم يكن يرى في الفضاء، لكنه لم يهتم بذلك (كما هو الحال لدى الكثير من الرياضيين). وإذا كنا صادقين، بعد إثباته النظرية، كان يهمس تمامًا بطريقة مُفرطة في الاهتمام بكيفية تنفيذ الشيء، وسارع إلى الاهتمام بموضوع آخر، ترك زملاء الرياضيين في أكبر حيرة. أجد أن هذا غير لطيف على الإطلاق، لأنك تخلق مشكلة كهذه وترك الآخرين يجدون الحل بعد عقد من الزمن.

يجب القول إن من الصعب جدًا تخيل الغمرات في العقل. ومع ذلك، نعرف أسطحًا لا يمكن تمثيلها في R3 إلا بهذه الطريقة. مثل زجاجة كلاين.

زجاجة كلاين

تم تمثيلها هنا مع نظام شبكة-نظام إحداثيات يتكون من مجموعتين من المنحنيات المغلقة، مثل الطارة. يمكننا تشكيل زجاجة كلاين دون إنشاء أي تفرد في الشبكة. ولكن كما يمكن رؤيته، فإن هذه السطح يمر ذاتيًا بالضرورة عبر منحنى مغلق، دائرة. لذلك، لا يمكن غمر...