تحول الكرة وغمر زجاجة كلاين

تحويل الكرة

7 ديسمبر 2004

الصفحة 1

**مقدمة. **

سنعتبر في ما يلي أسطحًا مغلقة، مثل الكرة والطارة وغيرها. هذه أسطح بالمعنى الذي يفهمه الشخص العادي، أي أنها كائنات ذات بعدين نمثلها في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد، R3، وهو فضاؤنا الذهني للتمثيل. يمكن لهذه الأسطح أن تُمثل بطرق مختلفة. إذا لم تتقاطع مع نفسها، نقول إنها مُغمرة (في R3). وإذا تقطعت، نقول إنها مُغمرة، وستُظهر هذا التداخل بوجود "مجموعة من التقاطع الذاتي" (self-intersection).

في مغامراتنا، نفترض أن المماس يتغير بشكل مستمر وأن السطح لا يحتوي على أشكال من التفرد، مثل قمة مخروط. ستكون أسطحنا "منتظمة".

في حالة الغمر، نطلب أن تكون المماسات على طول خطوط التقاطع الذاتي مختلفة.

عالم الهندسة، كما يراه الرياضي، مختلف تمامًا عن العالم الفيزيائي. أن تكون الأسطح قادرة على التماس مع نفسها لا يزعجه أبدًا. العالم الفيزيائي لا يسمح بأشياء من هذا النوع. ولكن في العالم الميتافيزيقي، يصبح هذا ممكنًا. إذًا، في الكتاب المقدس، يُذكر أن عندما يُحيي الأموات، سيكونون على شكل "أجساد مُمجدة". وبالتالي، يمكنهم المرور من خلال أي شيء، وفي المبدأ، قادرين على التماس مع أنفسهم. إذًا، عندما يأتي وقت يوم القيامة، إذا كنت تمشي في روما على شكل جسم مُمجّد، وفقدت الطريق وتشير إلى ساحة نافونا، قد ترغب في طلب الاتجاه من شخص آخر مُحيى، يشبهك في المظهر. افترض أن الشخص الذي تتحدث إليه يتجه في الاتجاه المعاكس من هذه الساحة. في الفضاء الفيزيائي العادي، يجب أن يدور على نفسه لكي يشير بابتسامته في تلك الاتجاه. ولكن إذا كان يسير على شكل جسم مُمجّد، لن يكون من الضروري أن يدور. يمكنه أن يشير بابتسامته إلى بطنّه ويتقاطع مع نفسه. عندما تظهر يده من ظهره، لن يبقى له سوى أن يقول لك "هناك". من خلال دخول ذراعه في بطنّه، قد يخلق في غطائه الجسدي مجموعة من التقاطع الذاتي تتكون من دوائرتين، والتي ستختفي عندما يعود إلى تكوينه الطبيعي.

إذا أغلق الإنسان فمه، ووضع ملقط على أنفه لسد فتحاته، وتجاهل فتحاته الأخرى، فإن غطاءه الجسدي يأخذ طوبولوجيا الكرة S2. تخيل كائنًا مُحيى على شكل جسم مُمجّد، فتحاته الطبيعية مغلقة. نحن نعرف أنه يمكنه التماس مع نفسه، أي أن غطاءه الجسدي يمكن أن ينتقل من حالة غمر إلى حالة غمر. أحد المشكلات الميتافيزيقية التي طُرحت في هذه الحالة كانت هل يمكن لشخص مُحيى على شكل جسم مُمجّد أن يدور نفسه بعمل طي.

ملاحظة سريعة. المُهرّجون يعرفون كيفية استخدام "دوائر سحرية" التي يمكن أن تتفاعل "بشكل سحري". يمكننا تخيل تمثيل الأسطح باستخدام نوع من "شبكة سحرية" بحيث يمكن للنطاقين، الممثلين هنا بالأبيض والوردي، أن يمرّا عبر بعضهما البعض بسهولة.

الشبكة السحرية

بأي حال، يجب الاعتراف بأن هناك غالبًا قلة فرق بين الرياضيات والسحر. لقد صممت قبل عشرين عامًا قصة مصورة: "الطوبولوجيكون". وهي الآن منتهية ونادرة، باستثناء كونها مُستعارة. على إحدى الصفحات، يمكن رؤية هذا:

من المؤسف أن ناشر "بلين" قرر التخلي عن هذه المجموعة. يجب القول إن مع سعر تصنيع لا يزيد عن يورو واحد، بيع الكتب بـ13 يورو (مع إضافة تكاليف الشحن)، بيعًا عن طريق البريد، خارجًا عن حقيقة أن هذا يترك هامش ربح 12 يورو، أي بربح يتجاوز 92% من سعر البيع، لا يتوافق مع استراتيجية تجارية واضحة، خاصة بالنسبة للرسم الأسود والأبيض.

لنعتبر كرة S2 مُغمرة في R3. نفترض أن سطحها الخارجي رمادي، وداخلها لون وردي قديم. يمكننا الضغط على نقطتين متقابلتين، نسميهما بشكل عشوائي "القطب الشمالي" و"القطب الجنوبي"، حتى تلتقين في نقطة واحدة. يمكننا فعل ذلك مثلاً مع كعكة. عندما يتعلق الأمر بكعكة رياضية (لا نعرف إن كانت الكعكات تُحيى على شكل أجساد مُمجدة أم لا)، يمكن للمنطقتين القطبيتين، بعد أن تلتقين في نقطة، أن تتقاطع عبر منحنى من التقاطع الذاتي الذي يشبه دائرة. نقول بمرور الوقت أن هذه السطح مرّ بكارثة من نوع Do.

يمكننا أن نكون مُغريين بمحاولة تدوير الكعكة، الكرة، مستمرًا في العملية. ولكن سيتشكل عندها كيس، سيتحول إلى طي سيء، أو بشكل أكثر دقة، سطح انعكاسي (الشكل d).

في نهاية الخمسينيات، كانت المسألة الجادة حول ما إذا كان من الممكن تدوير كعكات ميتافيزيقية دون تشكيل طي لم تُحل بعد. بصدق، كان الجميع يعتقد أن هذا مستحيل تمامًا. ولكن في عام 1957، قام رياضي، ستيفن سمايل (الذي حصل على ميدالية فيلد ولكن لعمل مختلف تمامًا) ببرهنة أن مختلف غمرات الكرة S2 في R3 تشكل مجموعة واحدة، وأنه من الممكن دائمًا العثور على سلسلة من التحولات المستمرة للغمر (يُسمى أيضًا التماثل المنظم) تسمح بالانتقال من حالة إلى أخرى. كان النتيجة أننا يجب أن نتمكن من الانتقال من خلال سلسلة مستمرة من الغمر من الغمر القياسي للكرة S2 إلى الغمر المعاكس. بعبارة أخرى: يجب أن نتمكن من تدوير كرة بدون طي، شرط السماح لها بالانعكاس الذاتي.

كان مُعلم سمايل يُدعى راول بات. سأل هذا الطالب كيف يجب أن يفعل ذلك، فأجاب سمايل أنه لا يملك أي فكرة، ولكن أن نظريته كانت غير قابلة للمساس. لم يكن سمايل يرى في الفضاء، لكنه لم يهتم (كما هو الحال لدى العديد من الرياضيين). وإذا كنا صادقين تمامًا، بعد إثباته لنظرية، كان يضحك بسخرية من الطريقة التي يمكن من خلالها تحقيق هذا الأمر، وبدأ في الاهتمام بموضوع آخر، مُتركًا زملاءه الرياضيين في أزمة كبيرة. أجد أن هذا ليس لطيفًا على الإطلاق، لإنشاء مشكلة كهذه وترك الآخرين يجدون الحل بعد عقد من الزمن.

يجب أن نقول إن من الصعب جدًا تخيل الغمرات في العقل. ومع ذلك، نحن نعرف أسطحًا لا يمكن تمثيلها في R3 إلا بهذه الطريقة. مثل زجاجة كلاين.

زجاجة كلاين

لقد رُسّمت هنا باستخدام نظام شبكة-نظام إحداثيات يتكون من مجموعتين من المنحنيات المغلقة، مثل الطارة. يمكننا إذن ترسيم زجاجة كلاين دون إحداث أي تفرد في الشبكة. ولكن كما يمكن رؤيته، فإن هذه السطح يتقاطع مع نفسه بالضرورة عبر منحنى مغلق، وهو دائرة. لذلك، لا يمكن غمر...