عكس كرة الرياضيات الكارثية

عكس الكرة

8 ديسمبر 2004

الصفحة 4

النسخة التي قدمها بيرنارد مورين

لتنزيل النسخة pdf للمقال الذي كتبه ب. مورين وج. بي. بيت في مجلة "Pour la Science"

عكس الكرة ( 2.8 ميغا بايت )

سنبدأ بكرة تظهر وجهها الرمادي من الخارج ووجهها الوردي من الداخل. في ب و ج نضع أقطابها في الاتصال. ثم تتقاطع الطبقات وفق "كارثة المفصل". توجد إنشاء منحنى مغلق ذاتي التداخل. في الأسفل واليمين ثلاث نصوص تساعد على فهم التكوين المكتسب. في هذه المرحلة، تشبه الكرة نوعًا من "قارب مطاطي" دائري، مع "بُردان" و"أرضية" ذات جدارين.

المرحلة الأولى: "كارثة المفصل". إنشاء منحنى مغلق ذاتي التداخل

العملية الثانية: كارثة مفصل جديدة، إنشاء منحنى مغلق ثاني.

**إنشاء ثاني من منحنى مغلق ذاتي التداخل. **

للوصول إلى ذلك، انحنت "القارب المطاطي" بحركة تدويرية، مما سمح بوضع جزأين من "البُردان" المقابلة بشكل متقابل في الاتصال. الصورة التالية هي نتيجة لكارثتين تؤديان إلى إنشاء "شرائح البرتقال".

بعد إنشاء شرائح برتقال

في اليسار، تم إجراء قطع في النموذج. في المنتصف، الطريقة التي تداخلت بها الأسطوانات، والتي تؤثر قطعها محليًا على شكل الحرف اليوناني "gamma"، تداخلت. نتذكر أن كارثة إنشاء "شرائح البرتقال" كانت تتم عن طريق قطع "خشب" بمستويين يشكلان زاوية متقابلة. كل من الهياكل الأسطوانية التي لها قطع على شكل "gamma" تحتوي على قطع دائرية وزاوية متقابلة. انظر بعناية الشكل i. في j، رسمنا مجموعة التداخل الذاتي. الجزء الأكبر من المنحنى المغلق يأتي من أول "كارثة المفصل" التي حولت الكرة إلى "قارب مطاطي". بعد إنشاء شرائح البرتقال، نحصل على مجموعة أكثر تعقيدًا، وj هو جزء منها. في j" نرى أن هذه الهيكل يمكن مقارنته بتجميع شرائح برتقال على حافتين غير متجاورتين لمكعب.

كل هذا سيكون في يوم ما أسهل في الفهم عندما أتمكن من إنتاج رسوم متحركة. لا أرى أي مشكلة تقنية مسبقة. إنها مجرد مسألة وقت. نادراً ما يقدر الناس ليس فقط رؤية الفضاء، أي قراءة هذا الترميز المستخدم بخطوط، نقاط، ألوان، ظلال، وانعكاسات، بل أيضًا تسلسل تحولات في عقولهم عن طريق تخيل الحركة المقترحة. أتمنى أن أجد يومًا ما الوقت لأقوم بكل هذه الأمور. لاحظ في الممر أننا يمكن استخدام نماذج مكعبية، كما فعلت لشرح كيف يمكن تحويل "كروس كاب" إلى "سطح بوي". هذا هو المستقبل. ولكن هذه النماذج يجب اختراعها. ستجد لاحقًا النسخة المكعبية المحسنة للنموذج المركزي لهذا التحويل الذي تخيله بيرنارد مورين (نذكر أن هذا شخص أعمى!)، مع الطريقة التي يمكن بها بناء النموذج بنفسك من قطع.

لماذا لم أذهب بعيدًا في هذه الأمور؟ سأقول: بسبب نقص "الفرص". لا توجد مجلات رياضيات تقبل نشر مثل هذه الأعمال. لقد كنا قادرين على فعل ذلك في 1975-78 من خلال بعض الملاحظات في "Comptes Rendus" للأكاديمية الفرنسية للعلوم، والتي من غير المرجح أن تكون قرأها الكثير من الناس. ولكن كان ذلك لأن الأكاديمي أندري ليشنيروفيتش كان مهتمًا شخصيًا بهذه الأعمال. وهو الآن ميت. وبما أن هذه الأعمال كانت مكتملة تمامًا منذ عام 1975، كان من الأفضل إنتاج فيلم متحرك من رسوماتي. وبما أنني عملت في الرسوم المتحركة، كنت قادرًا تمامًا على تنسيق مثل هذه المبادرة. ولكن من المستحيل العثور على تمويل من "CNRS" و في النهاية، الرياضياتي الأمريكي نيلسون ماكس، مستوحى من نماذج صُنعت من قبل زميله تشارلز بugh (من نفس نسخة عكس الكرة)، واستخدم حاسوبًا قويًا، تمكن من إنتاج أول فيلم. ولكن هذا ليس أول مرة ولا آخر مرة يُخطف فيها العلماء الفرنسيون من قبل زملائهم الأجانب الذين يكونون أكثر تنظيماً ودعمًا.

لننتقل إلى المرحلة الثالثة، الأصعب في الفهم.

تحضير كارثتين "من السروال"

في الشكل k، من الواضح جيدًا جزأي "ساقا السروال"، والتفاصيل موضحة في المقدمة k'. السهم الأبيض يشير إلى المرور "بين الساقين". هذه التحول صعب حقًا في الفهم. أضفت الرسم m لمحاولة توضيح الأمور بشكل أفضل. في l، رسمت منحنى التداخل الذاتي باستخدام خطوط مائية، وهو موجود بشكل كامل في l'. سيُغلق مرور (الذي اتخذته السهم الأبيض) . هذا الحركة من الإغلاق ستؤدي إلى ارتفاع جزء من منحنى التقاطع في مكانين. سيصل هذان الجزآن من المنحنى معًا، كل منهما على إحدى الخطوط التي تعود إلى "شرائح البرتقال". عندما يحدث الاتصال، سيتم إجراء الجراحة. تكمن الصعوبة في أنك بعد رؤية أربع كارثات أساسية، في الصفحة السابقة، يجب أن تكون قادرًا على ترجمتها من جميع الزوايا، حتى لو اضطررت لتدوير عنقك. في n، تم رسم اللحظة الحاسمة حيث تُجرى الجراحة (الحالة المتوسطة للتحويل)، حيث سيتم تعديل طريقة توصيل أطراف المنحنى. نحن نعرف أن هذه الكارثة "من السروال" تغلق ممرًا وتفتح آخر. الممر الأول مُمثل بالسهم الأبيض. ولكن هناك ممر آخر يمكن رؤيته من نفس الزاوية عن طريق تدوير النموذج 180 درجة حول محور عمودي. هذه الأسهم تشكل واحدة. قبل أن تحدث هذه الكارثات، لا يزال من الممكن التنقل في "القارب المطاطي المطوي". عندما تحدث هذه الكارثات، لن يكون هذا الممر ممكنًا. بدلًا من ذلك، سيتم إنشاء ممرين آخرين. ولكن أين؟ أي أجزاء من الفضاء متأثرة؟ سيقوم هذان الممران بربط الداخل من شرائح البرتقال بالخارج. في l'، يمكنك رؤية شرائح البرتقال. ننتقل إلى المرحلة التالية.

إغلاق الممر. نحو حالة حرجة مزدوجة

في o، تم رسم كارثتين "من السروال" في مراحل مختلفة. أحد الممرات مغلق تمامًا. نحن في حالة حرجة، قبل أن تغير أقواس المنحنى طريقة توصيلها. في اليمين (تفاصيل في الشكل o')، الممر يغلق فقط. لذلك، تختلف مظهر منحنى التداخل الذاتي o" في اليمين واليسار. في الأشكال p, p' و p" تصل الحالة الحرجة (الحالة "المتوسطة" للتحويل) من كلا الجانبين. في اللوحة التالية، أُجريت الجراحات. الأنابيب...