عكس كرة الرياضيات الكارثية

عكس الكرة

8 ديسمبر 2004

الصفحة 4

النسخة التي قدمها بيرنارد مورين

لتنزيل النسخة pdf للمقال الذي كتبه ب. مورين وج. بي. بيتي في مجلة "Pour la Science"

عكس الكرة ( 2.8 ميغا بايت )

نبدأ بكرة تظهر وجهها الرمادي من الخارج ووجهها الوردي من الداخل. في ب و ج نضع أقطابها في الاتصال. ثم تتعارض الطبقات وفقًا لـ "كارثة المفصل". تتشكل منحنى مغلق للاختراق الذاتي. في الأسفل واليمين ثلاث نصوص مقطوعة تساعد على فهم التكوين المحقق. في هذه المرحلة، تشبه الكرة نوعًا من "القارب المطاطي" دائريًا، مع "أنبوب" و"أرضية" ذات جدارين.

المرحلة الأولى: "كارثة المفصل". تشكيل منحنى مغلق للاختراق الذاتي

العملية الثانية: كارثة مفصل جديدة، تشكيل منحنى مغلق ثانٍ.

**المرحلة الثانية لتشكيل منحنى مغلق للاختراق الذاتي. **

لذلك، انحنت "القارب المطاطي" بحركة تدويرية، مما سمح بتحريك جزأين من "الأنبوب" المقابلة بشكل متقابل. الصورة التالية هي نتيجة لكارثتين تؤديان إلى تشكيل "شرائح البرتقال".

بعد تشكيل شرائح البرتقال

في اليسار، تم إجراء قطع في النموذج. في المنتصف، الطريقة التي تداخلت بها الأسطوانات، والتي تؤثر بشكل محلي على شكل الحرف اليوناني "gamma"، تداخلت. نتذكر أن كارثة تشكيل "شرائح البرتقال" تتم عن طريق قطع "خشب" بمسطحين يشكلان زاوية ثنائية. كل من الهياكل الأسطوانية التي لها قطع على شكل "gamma" تحتوي على قطع دائري وزاوية ثنائية. انظر بعناية إلى الشكل i. في j، رسمنا المجموعة الكاملة للاختراق الذاتي. الجزء الأكبر من المنحنى المغلق يعود إلى أول "كارثة المفصل" التي حولت الكرة إلى "قارب مطاطي". بعد إنشاء شرائح البرتقال، نحصل على مجموعة أكثر تعقيدًا، حيث j هو جزء من هذه المجموعة. في j"، نرى أن هذه الهيكل يمكن مقارنته بتجميع شرائح برتقالية على حافتين غير متجاورتين لمكعب.

كل هذا سيكون في يوم ما أسهل في الفهم عندما أتمكن من إنتاج رسوم متحركة. لا أرى أي مشكلة تقنية مسبقة. إنها مجرد مسألة وقت. نادراً ما يجد الناس من يستطيعون ليس فقط رؤية الفضاء، أي قراءة هذا التشفير المستخدم بخطوط، نقاط، ألوان، ظلال، وانعكاسات، بل أيضًا تسلسل تحولات في عقولهم عن طريق تخيل الحركة المقترحة. أتمنى أن أجد يومًا الوقت لأقوم بكل هذه الأمور. لاحظ في هذه المرحلة أننا يمكننا استخدام نماذج متعددة الوجوه، كما فعلت لشرح كيف يمكن تحويل "كروس كاب" إلى "سطح بوي". هذا هو المستقبل. لكن هذه النماذج يجب أن تُخترع. ستجد لاحقًا النسخة المتعددة الوجوه المحسنة للنموذج المركزي لهذا التحول الذي ابتكره بيرنارد مورين (نذكر أن هذا شخص أعمى!)، مع الطريقة التي يمكن من خلالها بناؤها بنفسك من قطع.

لماذا لم أستمر في هذه الأمور أكثر؟ سأقول: بسبب نقص "الفرص". لا توجد مجلات رياضيات تقبل نشر مثل هذه الأعمال. لقد تمكنا من القيام بذلك في 1975-78 من خلال بعض الملاحظات في "Comptes Rendus" للأكاديمية الفرنسية للعلوم، والتي من غير المرجح أن تكون قرأها الكثير من الناس. ولكن هذا كان لأن الأكاديمي أندريه ليشنيروفيتش كان مهتمًا شخصيًا بهذه الأعمال. وهو الآن متوفى. وبما أن هذه الأعمال كانت منتهية تمامًا منذ عام 1975، كان من الأفضل إنتاج فيلم متحرك من رسوماتي. وبما أنني عملت في الرسوم المتحركة، كنت قادرًا تمامًا على تنسيق مثل هذه المبادرة. ولكن من المستحيل العثور على تمويل من "Cnrs"، وانتهى الأمر بالرياضياتي الأمريكي نيلسون ماكس الذي استوحى من نماذج بنيت من قبل زميله تشارلز بugh (من نفس نسخة عكس الكرة)، واستخدم حاسوبًا قويًا، ليتمكن من إنتاج الفيلم الأول. ولكن هذا ليس أول مرة ولا آخر مرة يُسبق فيها الفرنسيون من قبل زملائهم الأجانب الأفضل تنظيمًا ودعمًا، لأنهم لا يحصلون على أي رد فعل من جهودهم.

لننتقل إلى المرحلة الثالثة، الأصعب في الفهم.

تحضير كارثتين "من القميص"

في الشكل ك، من الواضح جيدًا جزأي "ساقا القميص"، حيث تظهر التفاصيل في المقدمة ك'. السهم الأبيض يشير إلى المرور "بين الساقين". هذه التحويلة صعبة حقًا في الفهم. أضفت الرسم م لمحاولة توضيح الأمور بشكل أفضل. في ل، رسمت بخطوط متقطعة المنحنى للاختراق الذاتي، والذي يظهر كاملاً في ل'. سيُغلق مرور (الذي اتخذته السهم الأبيض). سيؤدي هذا الحركة إلى ارتفاع جزء من منحنى التقاطع في مكانين. سيصل هذان الجزآن من المنحنى إلى الاتصال، كل منهما، على إحدى الخطوط التي تعود إلى "شرائح البرتقال". عندما يحدث الاتصال، سيتم إجراء الجراحة. والصعوبة تكمن في أنك بعد رؤية أربع كوارث أساسية، في الصفحة السابقة، يجب أن تكون قادرًا على ترجمتها من جميع الزوايا، حتى لو اضطررت لتدوير عنقك. في ن، تم رسم اللحظة الحاسمة حيث تُجرى الجراحة (الحالة المتوسطة للتحويل)، حيث سيتم تغيير طريقة ربط أطراف المنحنى. نحن نعرف أن كارثة "القميص" تغلق ممرًا وتفتح آخر. الممر الأول مُمثل بالسهم الأبيض. ولكن هناك ممر آخر يمكن رؤيته من نفس الزاوية إذا قمنا بتدوير النموذج 180 درجة حول محور عمودي. هذه الأسهم تشكل واحدة. قبل أن تحدث هذه الكوارث، لا يزال من الممكن التنقل في "القارب المطاطي المطوي". بمجرد أن تحدث هذه الكوارث، لن يكون هذا الممر ممكنًا. بدلًا من ذلك، سيتم إنشاء ممرين آخرين. ولكن أين؟ ما أجزاء الفضاء المعنية؟ سيسمح هذه الممرات بتواصل داخل "شرائح البرتقال" مع الخارج. في ل'، يمكنك رؤية هذه الشرائح. لننتقل إلى المرحلة التالية.

إغلاق الممر. نحو حالة حاسمة مزدوجة

في و، تم رسم كارثتين "من القميص" في مراحل مختلفة. أحد الممرات مغلق تمامًا. نحن في حالة حاسمة، قبل أن يغير أقواس المنحنى طريقة ربطها. على اليمين (تفاصيل في الشكل و')، الممر يغلق فقط. وبالتالي، تختلف مظهر المنحنى للاختراق الذاتي و" من اليمين واليسار. على الرسومات ب، ب' و ب"، تصل إلى الحالة الحاسمة (الحالة "المتوسطة" من التحويل) من كلا الجانبين. على اللوحة التالية، أجريت الجراحات. الأنبوب ...