مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

5

مصفوفة مربعة من الرتبة (n,n) تعمل على متجه عمودي (n,0). وقد رأينا أن مجموعة أقليدس ثنائية الأبعاد، التي تشير إلى فضاء (x,y)، لا تُستخدم فيها عمليات على متجهات عمودية:

(51)

بل على متجهات عمودية:

(52)

وهو ما يمثل مثالاً على

عملية

الزمرة على فضاء

X

مع

x X

. . هناك عدد لا نهائي من العمليات الممكنة، حتى لو كانت مجرد

عملية الزمرة على نفسها. تُعرف العمليات من خلال مبادئ (أكسيومات).

(53)

عند النظر إلى المتجه العمودي:

(54)

حيث

x

يمثل مثلاً المتجهات:

(55)

(56)

وهو يحقق مبادئ عملية الزمرة. يمكننا إذن إجراء ضرب من اليسار للمصفوفة المربعة

التي تمثل عنصر الزمرة، مع مصفوفة صف

y

، ونتساءل إن كانت هذه أيضًا عملية.

(57)

A g (y) = y x g

الإجابة هي لا. ليست عملية زمرة: فهي لا تحقق المبادئ المذكورة أعلاه. هذا ما أحب تسميته "عملية عكسية"، تتبع حينها ما يُسمى "القوانين العكسية" التالية:

(58)

سيقول الرياضي إنه ليس هناك حاجة لاستدعاء هذه "العمليات العكسية"، وأن هناك مجموعة واحدة فقط من المبادئ. بالفعل. تمامًا كما أن ما يُعتبر عملية عكسية:

(59)

AAg(m) = g⁻¹ x m x g

حيث m متجه معطى، فإن "العملية العكسية للعنصر

g

من الزمرة G على المصفوفة

m

"،

g⁻¹

تمثّل المصفوفة العكسية، يمكن اعتبارها عملية للعنصر

g⁻¹

. وبالمثل، فإن "العملية العكسية" ليست سوى التماثل (الثنائية) لعملية. أقول إن هذا ظهر لي مفيدًا لغرض تعليمي.

من مجموعة مصفوفات مربعة تعتمد على n معلمات

p i

يمكننا إنشاء مصفوفات من خلال تفاضل جميع هذه المعلمات حسب:

dp

i. المصفوفات الناتجة، المليئة بالعناصر

dp

i، لا تشكل زمرة، بل ما يُعرف بـ"المتجه المماس للزمرة":

d g

(وهو ما يُسمى "جبر لي"، والذي لا يُعد في الواقع جبرًا حقيقيًا، لكن دعنا نمرّ على ذلك).

وبالتالي يمكن للزمرة أن تؤثر على "المتجه المماس"

d g

، بالقرب من العنصر المحايد e للزمرة، من خلال "العملية العكسية":

(60)

AAg(m) = g⁻¹ x d g (g=e) x g

نحصل إذًا على الشكل التالي:

(61)

لكن العملية العكسية هي التماثل (الثنائية) للعملية. وعندما تكون هناك ثنائية، فهناك الحفاظ على الجداء القياسي S.

لذلك سعى سورياو إلى بناء

عملية زمرة ثانية،

وهي عملية الزمرة على فضاء الزخم الخاص بها.

لكن هذه العملية، المعروفة باسم

العملية المرافقة

أو

الأساسية

، لم تُمكن من الظهور مباشرة. كان عليه إذًا المرور عبر هذا الوسيط الذي أسميه "العملية العكسية للزمرة على متجهها المماس".

وبالتالي تظهر العملية المطلوبة كثنائية للعملية العكسية للزمرة على متجهها المماس. وثنائية عملية عكسية هي

عملية، وستُكتب على الشكل:

(62)

A g (J)

حيث

J

سيكون "الزخم": تجمع لقيم تمثل صفات "نقطة مادية"، والعملية المذكورة، المعروفة باسم

العملية المرافقة

، توضح كيف تتغير هذه الصفات أثناء الحركة.

توجد زمرة، سنتناولها لاحقًا، هي امتداد لزمرة غاليلو، والتي سنتناولها أيضًا لاحقًا، وتُسمى زمرة بارغمان (1960). وبتطبيق هذه الطريقة على هذه الزمرة، يمكننا بناء زخمها

J B

وآلية تأثير الزمرة عليه.

يُحب سورياو أن يقول:

"الزخم يتبع الحركة كما تُتبع الظل."

صورة جميلة مستوحاة من كتابه "نحوية الطبيعة". فبالفعل، تتحرك النقطة المادية في الفضاء-الزمن (x,y,z,t). وخلال هذا الحركة تتغير صفاتها، وهو ما يُوصف من خلال هذه العملية المرافقة للزمرة على فضاء زخمها.

العودة إلى الفرع الفرعي "الزمر والفيزياء"