مجموعات وعملية التأثير المترافق للزخم في الفيزياء

لن نكتب مكونات زخم مجموعة بارغمان. نكتب بشكل مخطط زخم مجموعة بارغمان كما يلي:

J B = { عدد قياسي m، بالإضافة إلى مكونات أخرى من الزخم }

العمل المشترك

يوضح كيف تتغير مكونات الزخم المختلفة. ولكن هذا العمل المشترك يبدأ بعلاقة بسيطة:

(63)

العمل المشترك لمجموعة بارغمان على زخمها يبدأ بحفظ الكتلة، والتي تظهر بذلك بصفتها وضعًا هندسيًا بحتًا.

بناء عمل الزخم المشترك لمجموعة بوانكاريه على مساحة زخمها Jp.

إذا كنت قد فقدت الاتجاه بالفعل، اترك الأمر. هذا طبيعي، وسوف يصبح أكثر صعوبة مع مرور الصفحات. لا أعرف بالضبط من ينتمي إليه هذا النص في هذه المرحلة. بالتأكيد إلى الفيزيائيين النظريين أو الرياضيين، ولكن على الأرجح ليس إلى صانعي الأنابيب والأسقف. ولكن طالب من كلية كبرى أو من قسم الفيزياء الجامعي، الذي يصر على الاستمرار، يمكنه متابعته. إنها مجرد مصفوفات.

يبدأ كل شيء بمجموعة مصفوفات من الشكل (4،4) التي تشكل مجموعة لورنتز، وعناصرها هي L.

يتم تعريف هذه المصفوفات بشكل أксиومي من خلال مصفوفة G:

(64)

وفقًا لـ:

(65)

t L G L = G

مع مشاركة مصفوفة L المُحوَّلة.

المصفوفات L تشكل مجموعة.

البرهان.

العنصر المحايد هو L = 1:

لنفترض أن L1 و L2 عنصرين من المجموعة. نتحقق من أن المنتج L1 L2 ينتمي إلى المجموعة. إذا كان كذلك:

t (L1 L2) G L1 L2 = G

لكن:

t (AB) = tB tA

إذًا:

t (L1 L2) G L1 L2 = tL2 tL1 G L1 L2 = tL2 (tL1 G L1) L2 = tL2 G L2

ثم نحسب معكوس المصفوفة L. نبدأ من التعريف الأكسيومي لعناصر L:

tL G L = G

نضرب من اليمين بـ L-1:

tL G L L-1 = G L-1 => tL G = G L-1

نضرب من اليسار بـ G:

G tL G = G G L-1 => G tL G = L-1

إذًا معكوس المصفوفة L هو:

L-1 = G tL G

إذًا:

(66)

المتجه الزمكاني. المصفوفة G تأتي من مترية مينكوفسكي، والتي يمكن كتابتها (مع c = 1) كالتالي:

(67)

تمرين: إثبات أن معكوس المصفوفة يخضع لـ:

(68)

ثم نقدم متجهًا انتقاليًا زمكانيًا:

(69)

منه نصنع عنصر gp من مجموعة بوانكاريه:

(70)

تمرين: إثبات أن هذا يشكل مجموعة وحساب معكوس المصفوفة:

(71)

فيما يلي "المتجه المماسي للمجموعة، عنصر من "جبر لاي" الخاص بها:

(72)

منه سنحسب التأثير المعاكس:

(73)

dg p' = g p -1 x dg p x g p

بسبب سهولة الحساب، نلاحظ أن:

(74)

G dL هي مصفوفة متماثلة. نسميه:

(75)

إذًا:

(76)

نضع:

(77)

من هذا المعدات نشكل التأثير المعاكس:

(78)

dg p' = g p -1 x dg p x g p

بعد إجراء جميع الحسابات، نحصل على التطبيق:

(79)

إذا أردت تجاهل هذه الجزء من الحسابات المصفوفية، راجع المعادلة (80)، أسفل الصفحة

(79a)

(79b)

منه نحصل على مكونات التأثير المعاكس:

(79c)

لكن:

(79d)

إذًا:

(79e)

لكن GG = 1

إذًا:

(79f)

منه نستنتج التطبيق:

(79g)

وهذا يشكل التأثير المعاكس المطلوب، التطبيق:

(80)

العودة إلى الفهرس الفرعي "المجموعات والفيزياء"