10
كل ما يمكنني قوله هو:
- أنني ابتعدت عن "الهدف" بمقدار المسافة
c
.
- أنني رصدتُه أثناء تحركي بسرعة
v
.
- أنني كنت، بالنسبة لهذا الهدف، متأخراً بفترة زمنية
D t
بالنسبة لي:
--- لم أُغير كتلة الجسيم m.
--- منحته زخمًا مساويًا لـ m
v
(كمية الحركة).
--- منحته "مرورًا" مساويًا لـ m [
c - v D t ]
--- ودورانًا:
لنوضح هذا الدوران:
(118a)
(118b)
(118c)
أو:
(118d)
يمكن اعتبار المكونات الثلاث المستقلة للمصفوفة الدوارة
l
كأنها مكونات متجه. وعندئذٍ يُكتب هذا المتجه على الشكل:
(119)
رغم أننا لم نُعرّف الضرب الاتجاهي في فَضائنا، أي أننا لم نُعطِه اتجاهًا يمينًا-يسارًا، يمكننا اعتباره كضرب اتجاهي:
(120)
حيث يُرمز بالحرف
v
المقلوب إلى الضرب الاتجاهي. نلاحظ أن آخر سطر من الصيغ التي تعطي التأثير المُتكافئ على الزخم يتوافق مع:
(121)
حيث أن
l
هي مصفوفة وليس متجهًا (لكن في ترميزنا، الحروف الغليظة تُستخدم للدلالة على المتجهات أو المصفوفات بالتساوي، بينما الحروف الرفيعة تُشير إلى القيم القياسية).
هذا المتجه الناتج عن الضرب الاتجاهي يبدأ في التشبه، بالنسبة للفيزيائي، بشيء مألوف: وهو
الزخم الزاوي
.
نأخذ جسيمًا، ونبتعد عنه بمقدار
c
ونرصده أثناء حركتنا بسرعة
v
. كل شيء يبدو وكأن العكس هو الصحيح: أي أن الجسيم بعيد عن مراقب ثابت، وينتقل بسرعة
v
.
(122)
يبقى "المرور"
f
= m [
c - v D t ]
ويمكن إلغاؤه ببساطة من خلال افتراض:
c = v D t
أي ربط السرعة
v
بالانزياح الزماني-المكاني:
(123)
نعود إلى التعبير عن الزخم الناتج عن مجموعة بوانكاريه، مُعبّرًا عنه في نظام إحداثيات حيث يكون "المرور" مساويًا للصفر:
(124)
الجسيم هو اختيار خاص تم إجراؤه على الزخم. ومع ذلك، يمكن من خلال تغيير الإحداثيات التخلص من "المرور"
f
وإعادة ترتيب مكونات الدوران
l
والزخم
P
إلى مكون واحد فقط (الحركة في الاتجاه z):
(125)
إذًا، الكائن الموصوف بواسطة مجموعة بوانكاريه يمتلك، من الناحية الأولية:
-
طاقة E
-
زخم P
-
دوران ذاتي l
الدوران هو كتلة مضروبة في طول، ثم مضروبة في سرعة. وبذلك يكون له البعد M L² T⁻¹، وهو نفس البعد للثابت بلانك h.
تُظهر الطريقة المعروفة بـ "الكمّية الهندسية"، التي طوّرها سورياو (انظر: "هيكل الأنظمة الديناميكية"، دونود 1973)، أن هذا الدوران يجب أن يكون متناسبًا مع:
(125b)
بقيم نصف صحيحة. أي أن يكون إما الوحدة (الفاوتون)، أو 1/2 للجسيمات الأخرى مثل الإلكترون، البروتون، النيوترون، النيوترينو، ومضاداتها.
العودة إلى الفرع الفرعي "المجموعات والفيزياء"