مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

12

جسيمات ذات دوران كتلة غير صفرية.

لم يعد هناك ارتباط مباشر بين الطاقة والزخم، كما هو الحال مع الفوتونات والنيترينو، الجسيمات ذات الكتلة الصفرية.

(131)

حيث m هي الكتلة الساكنة، التي تتطابق مع الكتلة الناتجة عن مجموعة بارغمان، لدينا:

(132a)

(132b)

نقتصر على:

البروتون

الإلكترون

النيوترون

وأضدادها.

تمتلك الجسيمات شحنات مختلفة، وصفات، لا تنشأ أيضًا من مجموعة بوانكاريه:

• الشحنة الكهربائية e = ± 1

• الشحنة الباريونية cB = ± 1

• الشحنة الليبتونية cL = ± 1

• الشحنة الميوونية cm = ± 1

• الشحنة التاوونية ct = ± 1

• معامل الجيروماغناطيسي v

إن عكس جميع هذه الكميات يتوافق مع تناظر C. وبالتالي يمكن جمع كل هذا وفق الجدول التالي:

(133)

ويمكن أن يأخذ اتجاهًا أيًا كان، تمامًا كما يمكن أن يأخذ الدوران اتجاهًا أيًا كان.

يُعادل العزم المغناطيسي معامل الجيروماغناطيسي v مضروبًا في الدوران s.

(134)

في هذه الحالة استخدمنا حرفًا غامقًا s للدوران. وهذا يعني أن اتجاه دوران الجسيمات يمكن أن يكون أيًا كان. أما قيمته المطلقة فهي إحدى خصائصها، وهي ثابتة جوهريًا (كمية هندسية لدوران الجسيمات).

إن تناظر C، أو تبديل الشحنات، الذي يعكس معامل الجيروماغناطيسي v، يعكس أيضًا العزم المغناطيسي. مع بقاء الدوران دون تغيير.

الحديد المغناطيسي الدائم.

إذا وُضع قطعة من الحديد الناعم في مجال مغناطيسي قوي، ثم قلّل هذا المجال، فإن المعدن سيحتفظ بتمغنط دائم. ماذا حدث؟

يُوجه المجال المغناطيسي دوران الإلكترونات، التي تصرف كمغناطيسات صغيرة، أي أقطاب مغناطيسية صغيرة.

لكن لماذا تحافظ الإلكترونات على الاتجاه الذي أُعطي لها؟ بسبب التماثل. يُوجه كل إلكترون نفسه حسب المجال المغناطيسي الناتج عن جيرانه. وبما أن الآخرين يفعلون الشيء نفسه، يحتفظ جميع هذه العزوم بموازاتها. إنها "مغناطيس فضائي". ما لم نسخّن قطعة المعدن، أو نضرب فيها، في تلك الحالة سنُعطل هذا الترتيب الإلكتروني الجميل في النهاية.

العزم المغناطيسي للمادة المضادة.

إن تبديل الشحنة، المرتبط بتحويل المادة إلى مادة مضادة بمعنى ديراك (سنرى لاحقًا ما يعنيه ذلك)، يؤدي إلى عكس العزم المغناطيسي، بسبب عكس معامل الجيروماغناطيسي، مع بقاء الدوران دون تغيير.

وبطبيعة الحال، لا تؤثر هذه التناظرية C على طاقة الجسيم أو زخمه.

المكونات الأربعة لمجموعة لورنتز.

كما رأينا، العنصر L لمجموعة لورنتز L معرف بشكل أксиومي. يجب أن يخضع لـ:

(135)

(136)

أي مصفوفة L تحقق هذا التعريف تنتمي إلى المجموعة L. وهي مصفوفة من الرتبة (4,4)، يمكن أن تؤثر مثلاً على:

(137)

أي على الفضاء-الزمن. وبالتالي يحق لنا أن نتساءل إن كانت هذه المصفوفات قادرة على إجراء تناظرات في هذا الفضاء. هل يمكن مثلاً تبديل x بـ -x؟ هل يمكن تصنيف المصفوفات إلى مجموعات فرعية مختلفة، تلك التي تُجري هذا التحويل، والثانية التي لا تُجريه؟

منذ زمن بعيد (بشكل مجازي: منذ وقت طويل جدًا)، استُكشف كل هذا، وأُثبت أن مجموعة لورنتز تتكون في الواقع من أربعة أنواع من المصفوفات.

Ln — تلك التي لا تُعكس ни الفضاء ولا الزمن.

Ls — تلك التي تُعكس الفضاء.

Lt — تلك التي تُعكس الزمن.

Lst — تلك التي تُعكس كليهما.

نُسمّي هذه المجموعات "مكوّنات" لمجموعة. وبالتالي فإن مجموعة لورنتز هي مجموعة مكوّنة من أربع مكوّنات.

يمكننا فورًا إنتاج أربع مصفوفات، كل منها تنتمي إلى المجموعة الفرعية المذكورة:

(138)

An = 1 (العنصر المحايد)، ينتمي إلى Ln: لا يعكس الفضاء ولا الزمن.

As ينتمي إلى Ls: يعكس الفضاء.

At ينتمي إلى Lt: يعكس الزمن.

Ast ينتمي إلى Lst: يعكس الفضاء والزمن معًا.

لتكوين مجموعة (في هذه الحالة مجموعة فرعية من مجموعة لورنتز)، يجب أن تحتوي مجموعة من المصفوفات على العنصر المحايد 1 في الشكل (n,n) المعتبر، هنا (4,4). فقط مصفوفات المجموعة Ln تحقق هذا الشرط. وتشكل ما يُسمى "مجموعة فرعية لمجموعة لورنتز". وبما أن هذه المجموعة تحتوي على العنصر المحايد للمجموعة، تُسمى أيضًا "المكوّن المحايد للمجموعة". أما المجموعات الأخرى من المصفوفات فلا تشكل مجموعات فرعية (مستحيل: فهي لا تحتوي على العنصر المحايد).

ملاحظة:

(139)

At = -As Ast = -An

يمكننا إذًا اعتبار المجموعة Lo = Ln ∪ Ls، وهي مجموعة فرعية من مجموعة لورنتز، ونُسمّيها "أوتيكرونية" [1]. أما المصفوفات Lac = Lt ∪ Lst فلا تشكل مجموعة، لكنها تمثل المجموعة المرتبطة بعكس الزمن، والتي نُسمّيها "أنتيكرورية" [12]. المجموعة الكاملة لـ لورنتز هي:

(140)

L = Lo ∪ Lac

لكن يمكننا أيضًا ملاحظة أن العنصر:

(141)

mLo، حيث m = ± 1

يغطي المجموعة الكاملة.

العودة إلى الفرع الفرعي "المجموعات والفيزياء"