مجموعات وعملية التماثل المترافق للزخم في الفيزياء

19

لتوسيع المشكلة قليلاً، يمكنني اعتبار أن هذه المسارات هي... بأي شكل كان:

(205)

لكل جسيم كتلة ( m )، يتحرك بسرعة مختلفة، نقطة تمثيلية في فضاء الزخم. لكن هذه الجسيمات تشترك في شيء ما. جميعها تمتلك الكتلة نفسها ( m ) (وكذلك نفس الدوران، إلخ...).

إذًا، هناك عملية لعملية المجموعة تسمح بالانتقال من حركة ( M_1 ) إلى حركة ( M_2 ). وهي عملية مزدوجة، "تُوجَّه" بواسطة المجموعة.

(206)

في الشكلين السابقين، أشرت إلى كائن مُصوَّر بكرة أكبر، يتحرك. حجم الكرة يوحي بأننا نتحدث عن حركة جسيم ليس له نفس الكتلة. لكن

إنه أيضًا حركة.

هذا الكائن الرياضي، المسمى "حركة"، ينتمي إلى فضاء الحركات. وبالتالي، له صورة في فضاء الزخم ( J ).

لكن هذا الجسيم كتلة ( m' > m ) ليس من نفس النوع مثل الآخرين. لا توجد عملية لمجموعة تسمح بتوحيد جسيم كتلة ( m ) وجسيم كتلة ( m' ) (نحن هنا في المجموعة الديناميكية لباغمان)، لأن العملية المزدوجة تعطي:

( m' = m )

احتفاظ بالكتلة.

في الفضاء ( (x, y, z, t) )، توجد الجسيمات النقطية في أي مكان في الفضاء-الزمن. في نقطة ( (x, y, z) ) يمكن أن يوجد في الزمن ( t ) أي جسيم، بكتلة أيّة، بشحنة أيّة. لذلك لا يمكن استخدام هذا الفضاء لتصنيف الجسيمات حسب الأنواع، أو لوضعها في "صناديق" مختلفة.

قد يفكر فيزيائي في تصنيف "جسيمات ساكنة"، تتوافق مع طيف طاقة ( E_0, E_1, E_1, ) إلخ...

إذا قمنا بتصنيفها "ديناميكياً"، فلن نصنف الطاقات، بل سنصنف

الحركات.

الكائن الذي نحلله هو مجموعة الحركات لجميع الجسيمات التي تُدار بواسطة المجموعة. نستخدم حينها العملية المزدوجة كأداة تحليل، كمصفاة.

لنغير الرسم:

إذا أعطينا عنصرًا ( g ) من مجموعة ( G )، فإنه سيُولِّد عملية مزدوجة تُحدِّد تغيير الزخم. بشكل توضيحي:

(207)

المجموعة تسمح بتغيير الحركة. ننتقل من نقطة تمثيلية ( J_1 ) إلى نقطة تمثيلية ( J_2 ) في هذا فضاء الحركات. في "الفضاء الفيزيائي" نغير الحركة.

أنت تتغير، وتغير حركتك.

كل الصعوبة اللغوية تأتي من أن الرياضيين والفيزيائيين لا يعرّفون كلمة "حركة" بنفس الطريقة. بالنسبة للفيزيائي، الحركة شيء نراقبه "يتم التمدد" أمام عيوننا. أما بالنسبة للرياضي:

• إما "هو كل شيء مُمَدّد بالفعل"

• أو هو نقطة في فضاء الزخم.

العودة إلى الفرع الفرعي "المجموعات والفيزياء"