تحويل سطح كروسي كاب إلى سطح بوي

كيفية تحويل سطح كروس كاب إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب الرغبة)، مع المرور عبر سطح ستاينر الروماني.

الإيطالية: أندريا سامبوسيتي، جامعة روما

27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003

الصفحة 2

ها هو "سطح كروس كاب" (كما ستكتشفه في صور الواقع الافتراضي). يحتوي هذا السطح على نقطتين حادة تمثل رؤوس خط تداخل ذاتي. يمكن بناؤه بضغط بالون بملقطات مكواة. ولكن يمكن أيضًا بناء تمثيلات متعددة الأضلاع له. سيكون التمثيل السفلي مثيرًا للاهتمام بشكل خاص.

في الجدول 4، نجد أصعب ما يجب تعلمه. أشعر أنه من المستحيل أن يفهم أحد هذه الأشياء جيدًا فقط من خلال النظر إلى الرسومات. اصنع نماذج مادية. ببساطة، اسحب النقطة الحادة

C2

إلى "الداخل" بالنسبة للسطح (وهو أمر لا معنى له بالفعل، لأنك بالتأكيد لاحظت فورًا أن سطح كروس كاب هو سطح أحادي الوجه: لا يوجد وجه داخلي وآخر خارجي). مع الاستمرار في التمدد، يمر السطح بـ"تداخل ذاتي"، ويُكمل خط التداخل الذاتي، مع تقويس بسيط، بمنحنى على شكل الرقم 8. وبشكل جانبي، تم إنشاء نقطة ثلاثية

T.

يصبح السطح أكثر وضوحًا في صورته متعددة الأضلاع، وفي الأسفل، قمنا بتكبير بعض العناصر لعرض ما يدفعنا إلى تحويل هذا الشكل إلى سطح ستاينر الروماني (انظر المحاكاة الواقعية الافتراضية)، والذي يتخذ أبسط شكل متعدد الأضلاع من خلال تجميع أربع مكعبات (هنا نرى فقط ثلاثة منها).

الجدول 5: النسخة متعددة الأضلاع على اليسار، والنسيج الدائري على اليمين. تمر السهم عبر النقطة التي نريد "إغلاقها". في الأسفل، بدء عملية الإغلاق.

الجدول 6: تم إغلاق السطح، مما أدى إلى إنشاء نقطة مفردة

B. في الواقع، وبما أننا نُغلق من كلا الطرفين (للتوفير في الوقت)، تتشكل نقطتان مفردتان

S1 و

S1، ثم نقطتان حادتان. في هذه المرحلة، بدون ورقة كرتونية، مقص، وشريط لاصق، ستكون في موقف صعب.

الجدول 7: هنا قمنا فقط بنقل النقاط الحادة المختلفة. إذا كانت النقطة

C2 "واضحة"، فمن المرجح أنك ستواجه صعوبة أكبر في تحديد النقطتين

C3 و C4 كنقط حادة. ومع ذلك، فهي موجودة فعلاً، عند طرفي خط تداخل ذاتي. فوق النقطة

C3 يوجد ما أسميته "مخروط موجب"، أي نقطة تتركز فيها انحناء موجب (أطلق على النقطة التي تتركز فيها انحناء سالب "مخروط سالب"). بتعديل طفيف لهذا الشكل، نصل إلى الشكل المتعدد الأضلاع لسطح ستاينر الروماني (الذي اخترعه ستاينر في روما؛ انظر تمثيله الافتراضي).

إذًا، تم التحول. توجد أنواع مختلفة من الأسطح، حسب القواعد التي نفرضها. تُسمى الأسطح التي لا تتداخل ذاتيًا "إدخالات" (لكرة أو حلقة في

R3). أما الأسطح التي تتداخل ذاتيًا ولكن يظل المماس متغيرًا بشكل مستمر دون تدهور، فهي تُسمى "إدخالات مُستمرة". على سبيل المثال: زجاجة كلاين في تمثيلها الكلاسيكي. لا توجد تمثيلات لزجاجة كلاين في

R3 على شكل إدخال (أي لا تتداخل ذاتيًا): فهي بالضرورة تتداخل ذاتيًا. تمتلك الإدخالات المستمرة مجموعات تداخل ذاتي

بدون نقاط حادة

. هذه المجموعات تمثل منحنيات مستمرة، ولكنها قد تتقاطع عند نقاط مزدوجة أو ثلاثية. ملاحظة: يمكن تمثيل الكرة على شكل إدخال (وليس إدخالًا حقيقيًا)، عن طريق جعلها تتداخل ذاتيًا. في الواقع، هذه هي الطريقة التي تُستخدم لعكس الكرة (انظر طريقة أ.فيليبس، 1967، التي تعتمد بشكل أساسي على التغطية الثنائية لسطح بوي؛ انظر أيضًا ب.مورين و ج.بي.بيتي، 1979، حيث تم اختيار النموذج المركزي هو نموذج "أذنين" لمارين، الذي تراه هنا تمثيلًا متعدد الأضلاع اخترعته قبل حوالي عقد من الزمن).

خطة تركيب هذا الشكل باستخدام الورق والمقص

إذا تم توسيع قواعد اللعبة بحيث تُسمح لهذه الأشكال بوجود نقاط حادة، نحصل على ما يُسمى "إدخالات مُرَكَّبة" (كـكروس كاب، وسطح ستاينر الروماني). لا أعرف إن كان "إدخال مركب" هو المصطلح الصحيح، لكن بما أنني لم أجد أي رياضي يمكنه توضيح الفكرة، وجدت من الممتع اختراع مصطلح جديد مؤقتًا، حتى يظهر خبير هندسي. وهكذا، يُعتبر سطح كروس كاب وسطح ستاينر الروماني كلاهما إدخالًا مركبًا للمستوى المشروع.

لأعترف لكم، بعد خمسة وعشرين عامًا من النشاط، وخذلني في مجال المغناطيسية-الهيدروديناميكا، بدأت هذه الأبحاث لأنها بدت لي بعيدة جدًا عن أي تطبيقات عسكرية. لكن صديقي القديم ميهن أشار إليّ أن مصطلح "إدخال مركب" قد يُسبب لبسًا، ويُفهم منه أنني أحاول إخفاء تقدم في مجال الدفع تحت الماء.

قاعدة "الخلق-التفكيك" للزوج من النقاط الحادة تسمح بالانتقال من إدخال مركب لشكل إلى آخر، وهو ما فعلناه للتو، موضحين أن كروس كاب وسطح ستاينر الروماني هما إدخالان مركبان لنفس الشكل، المعروف باسم

المستوى المشروع.

لا تحاول تخيّل "مستوى مشروع". لا يمكن فهم هذا الشكل إلا من خلال تمثيلات مختلفة متعددة. أما مصطلح "مشروع"، فهو مجرد واحد من الآلاف التي اخترعها الرياضيون لصرف من يرغب في دخول دائرتهم المغلقة. لا يفيدك دليل زانيشيلي في الرياضيات.

بقي لنا الآن أن نرى كيف ننتقل إلى سطح بوي، وهو إدخال للمستوى المشروع.

الصفحة السابقة

الصفحة التالية

العودة إلى الفهرس "تحويل كروس كاب إلى بوي"

العودة إلى القسم الجديد

العودة إلى القسم التعليمي

العودة إلى الصفحة الرئيسية

عدد الزيارات منذ 25 أكتوبر 2003:

الصور