تحويل سطح كروسباب إلى سطح بوي

كيفية تحويل سطح كروس كاب إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب الرغبة)، مع المرور عبر سطح ستاينر الروماني.

الإيطالي: أندريا سامبوسيتي، جامعة روما

27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003

الصفحة 4

نعرض النموذج من منظور آخر:

الجدول 14: نكرر نفس العملية لإنشاء "الأذن الثالثة" للمنحنى المتقاطع. في النموذج المتعدد الأضلاع، يأخذ هذا الأخير شكل ثلاثة مربعات تشترك في رأس واحد: النقطة الثلاثية T.

الجدول 15: بالدوران، ستعودون إلى النسخة المتعددة الأضلاع لسطح بوي الذي عرضته في "توبولوجيكون" (حيث يمكنكم أيضًا العثور على خطة تركيب تسمح ببنائه).

الجدول الأخير: حاولت توضيح سطح ستاينر أثناء تقوسه وتحوله إلى سطح بوي.

نرى أن الرسم المُرسَم بشكل "مدور" يتطلب ممارسة كبيرة لفهمه. يشعر عيننا بالارتباك عندما نحاول فهم كائن يتداخل فيه أكثر من ورقة واحدة على نفس الخط المرئي. ومن هنا يكمن اهتمام النموذج المتعدد الأضلاع، الذي يجعل من الممكن لمن يجرّب بناء النماذج الصغيرة فهم تحولات معقدة في الهندسة. لاحظوا أن اختيار أزواج من النقاط الحادة يُنتج سطح بوي "يميني" أو "يساري" (تعريفات تمامًا عشوائية). يُغمر المستوى المشروع في الفضاء من خلال تمثيلين "مُعاكسين" متماثلين. وبالتالي، نرى أنه يمكن الانتقال من سطح بوي يميني إلى سطح بوي يساري من خلال نموذج "مركزي" هو سطح ستاينر الروماني.

كان من الجميل لو تم نشر هذه الرسوم في مجلات مثل "Pour la Science" أو "La Recherche". لكن منذ عشرين عامًا، تم "منع" نشر مقالاتي في هذه المجلات بسبب "انحراف" في التفسيرات المُحَوَّلة. شكرًا لكم، السادة هيرفيه ثيس وفيليب بولانجر. فقد فقدت عدّ الأوراق التي قدمتها لهذه المجلات وتم رفضها بلطف. نحن نتعوّد في النهاية على وضعنا كمُنفّين.

بشكل سردي، يوجد "جائزة دالامبر" المخصصة لتكريم مؤلفي كتب التوعية الرياضية. سمعت هذه القصة من أحد أعضاء اللجنة المسؤولة عن تحديد من يُمنح الجائزة (هناك بالطبع مسائل مالية وراءها). الحوار:

• في النهاية، لماذا لا نمنح الجائزة لبيت؟ لقد كتب أعمالًا مميزة مثل "جيومنتركون"، و"الثقب الأسود"، و"توبولوجيكون".

• نعم، لكنه لم يفعل ذلك فقط.

• إلى ما تلمّح؟

• لقد كتب أيضًا "جدار الصمت".

• آه، حسنًا، إذًا...

نعم، "جدار الصمت"، المنشور في عام 1983، هو ألبوم مخصص لعلم MHD. وكما يعلم الجميع، يتميز هذا العلم المُ corroسي بقدرته، أو عيبه، على تمكين الأقراص الطائرة من الحركة بسرعة تفوق سرعة الصوت دون إحداث "انفجار".

"اخفِ هذه العلم، فلن أتمكن من رؤيته"

لدي في صنادقي نسخة رائعة من "الانقلاب الكوبي"، وهي ليست النسخة المتعددة الأضلاع للنوع المُعدّل من مورين. كلها من إبداعي. في أحد الأيام...

22 أكتوبر 2003

: لا يُطلب منكم التعبّر كثيرًا عن هذه الصفحات، إن كنت أؤمن بالعداد. يوم الإثنين 13 أكتوبر 2003، قمت بمحاضرة في CMI (مركز الرياضيات والحاسوب في شاتو جومبرت مارسيليا) بدعوة من تروتمان. في تلك المناسبة، تمكنت من إخراج مجموعة من حوالي ثلاثين نموذجًا ورقيًا، يمكنكم تذوق أولى مراحلها يومًا ما، لأنها تم تصويرها بواسطة كريستوف تاردي.

عندما تُقدّم محاضرة، تُخلق جوّ معين. في الصورة أدناه، نرى جغرافيًا يعبّر عن تردّده.

في الخلفية، جزء من النماذج المُعرضة بمساعدة متعاوني الطويل الأمد، بوريس كوليف، عضو في القسم، وهو أيضًا جغرافي. في لحظة ما، طرحت السؤال:

• كم منكم قد رأى سطح ستاينر الروماني من قبل؟ رفعوا أيديكم.

لم يكن أحد قد رآه من قبل. شعرت أنه من المفيد إذًا عرض هذا الكائن باستخدام برنامج واقع افتراضي على حاسوبي المحمول، تم إعداده بمساعدة كريستوف تاردي، المهندس، وفريديريك ديسكام، من معهد لاو لانجفين في غرينوبول (ILL). من الواضح أن هذه العرضة تربك الجمهور، الذي ليس عادةً معتادًا على رؤية الأسطح الرياضية تدور بحرية.

صفيتان ورقيتان، مرئيتان في المقدمة، ساعدتا على عرض سلسلة النماذج بالترتيب المنطقي. النماذج الخضراء والصفراء تُظهر، بشكل متعدد الأضلاع، الأداة الأساسية في تكوين وتفكيك زوج من النقاط الحادة. الكائن الأبيض الأبعد هو نسخة متعددة الأضلاع لسطح كروس كاب، والذي يتحول أولاً إلى نسخة متعددة الأضلاع لسطح ستاينر الروماني، ثم، على بعد متر، حسب الرغبة، إلى سطح بوي "يميني" أو "يساري".

تحليل النماذج يُظهر ملاحظات متعددة في الجمهور. سأل أحد الجغرافيين:

• إذا كان صحيحًا أننا ننتقل من سطح كروس كاب إلى سطح بوي من خلال اتباع النماذج بهذا الترتيب، يبدو أنه من الممكن، بالسير بالاتجاه المعاكس، تحويل سطح بوي إلى سطح كروس كاب.

أجبت بالإيجاب. شجّعه ذلك، فأضاف:

• إذًا، إذا توقفنا عند مرحلة سطح ستاينر الروماني، سيكون من الممكن العودة إلى سطح بوي، لكنه مُنعكس بالنسبة للسطح الأولي.

وأقرّ بذلك مرة أخرى. لكن، للأسف، لا أحد تقدم لتقديم توضيحات حول هذا العالم الغريب الذي يُسمح فيه لامتدادات الأسطح المغلقة بامتلاك نقاط حادة، تُنشأ أو تُحلّل بأزواج، وتشكّل نوعًا من التمديد لعالم الامتدادات. أرى أن مصطلح "سُمْمَرْسِيُون" (summersion) مناسب. إذا كان هناك قارئ قادر على تقديم توضيحات، فهو مرحّب به.

انكماش الانحناء في نقطة حادة.

سنتعامل معه بجمع الزوايا عند الرأس ومقارنة هذه المجموع بالنتيجة التي نحصل عليها في الحالة المستوية الإقليدية: 2π.

في الأعلى اليسار، يمكنكم رؤية أحد التمثيلات المتعددة الأضلاع الممكنة لنقطة حادة. عند "تفكيك" السطح، نصل إلى مجموع زوايا يتجاوز القيمة 2π بمقدار 2α. ومنه نستنتج أن الانحناء الزاوي المركّز حول هذه النقطة C هو -2α. إذا كان الزاوية α تساوي π/2، فإن الانحناء السالب يكون -π (الشكل في الأسفل اليسار). في الواقع، يمكن أن يأخذ انحناء النقطة الحادة قيمًا غير منتهية. في الأسفل اليمين، نُبرز مجموع الزوايا ونُصبح الانحناء السالب أكبر من -π (زاد الانحناء السالب).

بالعمل بالاتجاه العكسي، يمكننا الوصول إلى حالة مذهلة: يمكننا جعل الانحناء (الزماني) المركّز في C ... صفرًا:

نبدأ الآن من تمثيل متعدد الأضلاع لسطح كروس كاب يحتوي على نقطتين حادتين، كل منهما بانحناء يساوي -π:

في هذه الصورة، هناك ثمانية "بوسيكوني" بقيمة +π/2. نضيف أربعة "بوسيكوني" آخرين بانحناء +π/4 وأربعة "نِيغَكوني" بانحناء -π/4.

إضافة إلى النقطتين الحادتين بانحناء -π.

المجموع الكلي: 2π

بقسمة قيمة هذه "الانحناء الكلي" على 2π، نعود إلى قيمة خاصية أويلر-بونكاريه لأي تمثيل للمستوى المشروع (أو لسطح بوي).

خلال المحاضرة، تطرّقت إلى الفن وطريقة تبديل النقطتين الحادتين لسطح كروس كاب باستخدام انقلاب الكرة. لا أتذكر إن كنت قد وضعت هذا الموضوع في مكان ما على موقعي. إنها لغز معقد. سأبحث عنها، وإلا سأضيفها. إنها ممتعة. لكن الحقيقة أن هذه العملية لم تكن محببة لواحد من الحاضرين في المحاضرة:

• لا أرى لماذا يستخدم بيتي هذا التجهيز الكبير لإثبات التماثل الذي يربط بين النقطتين الحادتين لسطح كروس كاب. يمكن فعل ذلك بشكل أبسط بكثير.

ثم رسم على السبورة كرة مسطحة بين مسطرين يلمسان بعضهما، مما يعطي فعلاً مجموعة تقاطع ذات شكل قطعة مستقيمة، تقع عند نهايتها نقطتان حادتان، مثل سطح كروس كاب. لسوء الحظ، ولاحظ ذلك الرجل، هذا ليس سطح كروس كاب.

• ماذا يكون إذًا؟ سأل أحد الحاضرين.

إنه ببساطة امتداد للكرة ب نقطتين حادتين. إذا جمعنا النقطتين إلى نقطة واحدة، نحصل على خط تقاطع يصبح دائرة. ونحصل (في الأسفل اليمين) على امتداد للكرة، نحتاج فقط إلى تحويله إلى التمثيل القياسي. يمكننا أيضًا تقديم تمثيل متعدد الأضلاع لهذا السطح:

إنه سطح ثنائي الوجه، انحناؤه الكلي 2π.

بالتالي، يمكننا الاستمتاع كثيرًا بهذه "الاندماجات". لنأخذ امتدادًا لحلقة (توري) ناتج عن دوران رمز "اللانهاية" حول محور:

تقنية تجميع النقاط الحادة في نقطة واحدة تسمح لنا بالوصول بسرعة إلى التمثيل القياسي للحلقة، كما شُرِح سابقًا في الرسوم التسلسلية.

لكن الأمور لا تكون دائمًا بهذه السهولة والوضوح. خذ مثال كرة مسطحة بين قطعتين مستقيمتين، وهذه المرة أقصر من القطر. نحصل على نقطتين حادتين مرة أخرى.

بما أن هذا السطح يحتوي على شريط موبيوس، فهو أحادي الوجه. وضعنا بجانبه تمثيلًا متعدد الأضلاع يسمح بحساب انحناؤه الكلي. ووجدنا صفرًا. إذا لم أكن مخطئًا، يجب أن يكون هذا السطح زجاجة كلاين. عادةً ما نعرف فقط التمثيل الكلاسيكي لها، حيث يكون خط التقاطع دائرة بسيطة. لكن هناك تمثيلات أخرى، مثل هذا. أقرّ أنني لم أجد بعد الطريقة لتحويله إلى زجاجة كلاين الاعتيادية. من ناحية أخرى، لا أعرف أيضًا إن كانت هذه "الاندماج" و"الاندماج الكلاسيكي" تنتميان إلى نفس فئة الهوموتوبيا (بالنسبة للكرة، مثلاً، هناك واحدة فقط). من الناحية النظرية، ليس من الضروري أن يكونا كذلك: فبالفعل يمكن للحلقة أن تُندمج في الفضاء ثلاثي الأبعاد بأربع طرق مختلفة، لا يمكن تحويل إحداها إلى الأخرى عبر هوموتوبيا منتظمة. في انتظار اكتشاف ما إذا كان ممكنًا أم لا في هذه الحالة، استمتعت بتحويله بإضافة نقطتين حادتين إضافيتين، مما أعطى لنا اثنين من أسطح كروس كاب متصلين بقناة. عند تفكيكها، نجد أن خاصية أويلر-بونكاريه تساوي صفرًا.

يجب أن يتحول هذا السطح الغريب إلى إحدى الـ4 اندماجات الممكنة لزجاجة كلاين، ولكن أي واحدة؟ على أي حال، إليكم واحدة تم الحصول عليها بتدوير الرقم 8 حول محور، بينما يُجري في الوقت نفسه نصف دورة حول نفسه:

الصفحة السابقة

العودة إلى الفهرس "تحويل كروس كاب إلى بوي"

العودة إلى القسم "جديد"

العودة إلى القسم "دليل"

العودة إلى الصفحة الرئيسية

عدد الزيارات منذ 25 نوفمبر 2004:

الصور