نموذج البلورات المركزي للبيو الإيطالي

الإيطالية
: أندريا سامبوسيتي، جامعة روما

اضغط هنا

لعرض
رسم النموذج بحجم 1:1، يمكن طباعته وقطعه.

باستخدام أربعة نسخ مطابقة على ورقة كرتون ملونة بدرجتين مختلفتين، يمكنك بناء النموذج بنفسك،
باستخدام التعليمات المقدمة لتركيبه

أ
نتما بالتأكيد شاهدت كائن غريب يدور بلا توقف
على الجانب الأيسر من الصفحة الرئيسية لموقعنا. ماذا هو؟

ع
مّا يومًا، عندما أجد الوقت، سأقوم بتركيب
وصف تدوير الكرة على هذا الموقع، كما قدمته في عدد Pour la Science ليناير 1979، أي...
قبل 22 عامًا! سيتطلب كل هذا العديد من التفاصيل والمقدمة. ما المقصود بـ"قلب الكرة"؟ الكرة لا تعني الشيء نفسه
للمواطن العادي وللمهندس الرياضي. بالنسبة للمواطن العادي، هي مجرد مجموعة النقاط في الفضاء التي تبعد مسافة R عن نقطة محددة مسبقًا. سيستمر المهندس في تسمية "كرة"،
حتى إذا كان الشيء يتوافق مع "كرة مُغيّرة الشكل"، مثل بطاطة مثلاً. لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصل على قرص Lanturlu الذي يحتوي على الكوميكس "Topologicon".
لكن الرياضي يذهب أبعد من ذلك. تُعتبر سطحًا "منتظمًا" عندما يمكن تعريف مستوى مماس في كل نقطة منه. هذا يسمح بالتفكير في عدد لا نهائي من التغييرات الممكنة للكرة، في أشكال لا نهائية لبطاطة، مع تغيير مساحة السطح بشكل عشوائي. ومع ذلك، في عالمنا الفيزيائي، شخص يحاول قلب الكرة (إحضار سطحها الداخلي إلى الخارج) سيواجه صعوبة في جعل سطحه يمر عبر نفسه. عندما نفترض هذه الفرضية، أي منع السطح من المرور عبر نفسه أو حتى لمسه، يتحدث الرياضي عن "الإدخال" للكرة S2. لكن الرياضي يسمح لنفسه دائمًا بجميع الأمور. الكرة، بالنسبة له، هي كائن "افتراضي" وليس ماديًا، حيث يُعتبر مرور السطح ممكنًا. سلسلة الرسومات أدناه تظهر كرة تمر عبر نفسها. تمثيل مثل هذا، الذي يسمح بالمرور عبر نفسه، يُسمى "إدخالًا".

ع
مل الإدخال يمتلك مجموعة من التقاطعات الذاتية
(هنا تتعلق بمنحنى دائري بسيط). ومع ذلك، يجب أن يتغير المستوى المماس بشكل مستمر. مع هذا الشرط، عندما تنظر إلى الرسم أعلاه، ترى بوضوح أن العملية تنقل جزءًا من السطح الداخلي (الممثل باللون الأخضر) إلى الخارج. لإكمال تدوير الكرة، يجب أن نضغط هذا النوع من الأمعاء الاستوائية. يبدو هنا مشكلة: هذا الضغط سيُدمر استمرارية المستوى المماس، وبالتالي ستحتوي هذه التحويلة على خطوة لا تُعتبر إدخالًا.

ع
مل يوم، قام رياضي أمريكي، ستيفن سمايل، ببرهنة
أن "الكرة S2 تمتلك فئة واحدة من الإدخالات". هذه الجملة الغامضة كانت لها نتائج أن يكون من الممكن الانتقال، من خلال تحويلة تتضمن فقط إدخالات حقيقية، من الكرة "القياسية" إلى تمثيلها "الضد"، أي حيث يتم تبديل كل نقطة بضدها: بمعنى آخر... كرة مقلوبة. كان راؤول بات مشرف سمايل. سواء كانت البرهنة الرياضية صحيحة أو لا، لم يكن أحد قادرًا على تنفيذ هذه العملية بشكل واقعي. كان بات يسأل باستمرار سمايل "أظهر لي كيف تعتقد أنك ستقوم بذلك"، فكان سمايل، المعروف بوضوحه، يجيب "لا أعرف شيئًا عن ذلك". لاحقًا حصل سمايل على جائزة فيلد، وهي ما يعادل جائزة نوبل في الرياضيات. على سبيل الملاحظة، قد تسأل لماذا لا توجد جائزة نوبل في الرياضيات. الإجابة بسيطة: زوجته هربت مع رياضي.

ل
لأمور تبقى هكذا لسنوات عديدة،
حتى قام رياضي أمريكي يُدعى أنتوني فيليبس بنشر نسخة أولية من هذا التدوير في عام 1967 في Scientific American، وهو أمر معقد للغاية. النسخة الثانية تم اختراعها في أوائل السبعينيات من قبل الرياضي الفرنسي (العمي) بيرنارد مورين. كنت أول من رسم سلسلة التحولات، والتي ستكون موضوع مقال قادم على هذا الموقع، كما أخبرتكم، وهو بالفعل غني جدًا. ومع ذلك، كل هذا يقودنا إلى ملاحظة. يمكن تمثيل الأسطح على شكل متعدد السطوح. يمكن اعتبار المكعب أو الهرم الثلاثي تمثيلات متعددة السطوح للكرة، في المعنى الذي أن هذه الأشياء لها نفس الطوبولوجيا. في هذا الصدد، راجع Topologicon الخاص بي. علاوة على ذلك، من الواضح أن إذا كان من الممكن قلب الكرة، فمن الممكن أيضًا قلب المكعب. التحويلة التي اخترعها بيرنارد مورين (التي قدمتها في مقال يناير 1979 في Pour la Science) تمر عبر نموذج مركزي. هناك تناظر في هذه السلسلة. وهو ما أسميه "نموذج مركزي بـ4 أذنين". أقوم بتسريب بعض الأمور. ومع ذلك، تمامًا كما تسمح الكرة بتمثيلات متعددة السطوح، فإن نفس الشيء ينطبق على الخطوات التالية من هذه التحويلة. ما تراه يدور في صفحتي الرئيسية هو النسخة متعددة السطوح للنموذج المركزي لقلب الكرة، الذي اخترعته منذ حوالي عقد من الزمان. فائدة هذه النماذج متعددة السطوح تكمن في أنها يمكن بناؤها باستخدام أسطح مسطحة. يمكن أيضًا بناؤها باستخدام الورق والمقص. انظر الرسم أدناه (أود أن أشكر بين قوسين صديقي كريستوف تاردي، الذي قام بإنتاج العناصر بحجم مناسب).

كبير

ه
و هو خريطة تجميع تقدم لك نظرة عامة. ولكن لطباعتها، من الأفضل أن تنتقل إلى صفحة قص. اطبعها. ثم، باستخدام هذا النسخة المطبوعة على الورق العادي من طابعتك، اطبع أربع نسخ متطابقة، اثنتين على ورقة كرتون أخضر، واثنتين في اللون الأصفر. ستتمكن من بناء النموذج المركزي لقلب المكعب باستخدام هذه الأوراق المقطعة.

س
يوجد على العناصر المقطعة زوج من الحروف
: أ، ب، ج، د، هـ، ف... من الأسهل فقط طي الورقة بحيث تتطابق الحروف نفسها، ثم تثبيت الوجوه باستخدام شريط لاصق شفاف. الرسومات التالية تظهر كيفية تركيب أحد الأربعة قطع. ها هي الطريقة المطلوبة لبدء طي أحد الأربعة عناصر:

ه
و هما من بين الأربعة عناصر، مرئية من زوايا مختلفة.

س
يتم ترتيبها بحيث تنتج كائنًا
بشكل تناظري من الدرجة الرابعة، حيث تتناوب العناصر الخضراء والصفراء. لرؤيتها في 3D، انظر إنجاز تاردي في القسم "الواقع الافتراضي". النموذج المركزي مركب وتم إنشاؤه أيضًا في "vrml" في هذا القسم. ها هو مُعاد إنتاجه من زوايا مختلفة:

ن
لا يمكن القول أن نقطة رؤية معينة تتوافق
مع "الأعلى" والأخرى مع "الأسفل"، لأن هذه التسميات عشوائية تمامًا. في الصورة اليسرى، النقطة "المركزية" تتوافق مع "النقطة المزدوجة" (حيث تتقاطع وجوهان) من النموذج المركزي لمرّين، بينما النقطة المركزية في الصورة اليمنى تتوافق مع "النقطة الرباعية" من نفس النموذج (حيث تتقاطع أربع وجوه). اضطررت إلى توجيه الكائن بعناية شديدة، حتى لا تثير الصورة اليسرى صورة "الصليب المقلوب". باستثناء ذلك، من الناحية المعمارية، تمثيل هذا النموذج المركزي على شكل متعدد السطوح...