كيف تحوّل شكل كروسيس (Cross Cap) إلى سطح بوي (يمين أو يسار، حسب الرغبة)، مرورًا بالسطح الروماني لستاينر.
27 سبتمبر - 25 أكتوبر 2003
الصفحة 2
ها هو شكل كروسيس (كما ستكتشفه في الصور الواقعية الافتراضية). يحتوي على نقطتين حادة تُحيطان بخط تقاطع ذاتي. يمكن تصنيعه بضغط كرة باستخدام مكواة تجعيد الشعر. ولكنك أيضًا تستطيع بناء تمثيلات متعددة الأضلاع له. سيكون التمثيل السفلي هو الذي يهمنا بشكل خاص.
في هذه اللوحة 4، يقع اللحظة الأصعب في الفهم. أرى أنه من المستحيل تقريبًا أن يفهم أي شخص عادي هذه الصور فقط من خلال النظر إلى الرسومات. قم ببناء نماذج مصغرة لهذه الأشكال. ببساطة، نسحب النقطة الحادة
C 2
إلى "الداخل" السطحي (وهو أمر لا معنى له، بالطبع، لأنك لاحظت فورًا أن شكل الكروسيس ثنائي الاتجاه. ومع الاستمرار في الشد، يتقاطع السطح ذاتيًا، ويُكمل مجموع التقاطع الذاتي بشكل دائري بمنحنى على شكل الرقم 8. ويُنشأ أثناء ذلك نقطة ثلاثية
T.
السطح يصبح أكثر وضوحًا في صورته المتعددة الأضلاع، وفي الأسفل، قمنا بتكبير بعض العناصر لبيان ما يدفعنا لتحويل هذا الشكل إلى السطح الروماني لستاينر (انظر الواقع الافتراضي)، الذي تتمثل بسيطته المتعددة الأضلاع في تجميع أربع مكعبات (هنا نرى ثلاثة فقط).
اللوحة 5: التمثيل المتعدد الأضلاع على اليسار، والشكل الدائري على اليمين. تمر الإشارة عبر ممر سيتم "الضغط" عليه. في الأسفل، بداية عملية الضغط.
اللوحة 6: تم تنفيذ الضغط بإنشاء نقطة مفردة
B. في الحقيقة، بما أن الضغط يتم من كلا الجانبين لإنقاص الوقت، تتشكل نقطتان مفردتان
S1 و
S1، ثم زوجان من النقاط الحادة. في هذه المرحلة، بدون ورق كرتون، مقص، وشريط لاصق، ستكون في موقف صعب.
اللوحة 7: تم ببساطة نقل النقاط الحادة المختلفة. إذا كان من الواضح أن النقطة
C2 هي نقطة حادة، فستجد صعوبة أكبر في التعرف على النقطتين
C3 و
C 4 كنقاط حادة. ومع ذلك، فإنها موجودة في نهاية خط تقاطع ذاتي. فوق النقطة
C3 يوجد ببساطة ما أسميته "بوزيكوين"، وهي نقطة تجميع للانحناء الموجب (أما النقطة التي تجمع الانحناء السالب فهي "نِغاكوين"). وبإدخال تغيير بسيط على هذا الشكل، نحصل على شكل متعدد الأضلاع للسطح الروماني لستاينر (السطح من الدرجة الرابعة الذي اخترعه ستاينر في روما).
انظر عرضه في الواقع الافتراضي
).
إذًا، تم الإنجاز. توجد أنواع مختلفة من الأسطح، حسب القواعد التي نفرضها على أنفسنا. تُسمى الأسطح التي لا تتقاطع مع نفسها "غمرات" (من الكرة، أو الحلقة في
R3). عندما تتقاطع مع نفسها ولكن مماسها يتغير بشكل مستمر، تُسمى "إغمارات". مثال: زجاجة كلاين في تمثيلها الكلاسيكي. لا توجد في
R3 تمثيلات للزجاجة كلاين على شكل غمر. فهي بالضرورة تتقاطع مع نفسها. تمتلك الإغمارات مجموعات من التقاطع الذاتي
خالية من النقاط الحادة
. هذه المنحنيات مستمرة ولكنها قد تتقاطع، أو تكون فيها نقاط مزدوجة أو ثلاثية. ملاحظة: يمكن للكرة أن تُعرض على شكل إغمار، فقط بجعلها تتقاطع مع نفسها. وهذا بالضبط الطريقة التي نُعيد بها عكس الكرة (أ.فيليبس، 1967، مع مرحلة مركزية هي التغطية الثنائية لسطح بوي؛ ب.مورين وج.بي.بيتي، 1979، مع النموذج المركزي هو نموذج مورين ذو الأربعة أذنين، والذي أعرضه هنا تمثيلًا متعدد الأضلاع، والذي اخترعته قبل نحو عقد من الزمن.
خطة تصنيع هذا الشكل باستخدام القطع
إذا تم توسيع قاعدة اللعبة بافتراض أن هذه الأشكال تحتوي على نقاط حادة، نحصل على ما يُسمى "انزلاقات" (الكروسيس، السطح الروماني لستاينر). لا أعرف إن كان هذا المصطلح الدقيق، ولكن بما أنني لم أجد أي رياضي يمكنه توضيح الأمر، وجدت الأمر ممتعًا أن أخترعه مؤقتًا، حتى يظهر خبير هندسي. وهكذا، يُعتبر الكروسيس والسطح الروماني لستاينر "انزلاقات" من "المستوى المشروع".
لأوضح لك الأمر، بعد تجاربي الفاشلة في مجال الديناميكا المغناطيسية والهيدروديناميكية على مدى 25 سنة، بدأت هذه الدراسات لأنها بدت لي بعيدة قدر الإمكان عن أي تطبيق عسكري. ولكن كما أشار إليّ صديقي الكبير ميهن، قد يُفهم مصطلح "انزلاق" بشكل خاطئ، ويُفهم منه أنني أحاول إخفاء تقدم في مجال الدفع تحت الماء.
قاعدة "الخلق والإفناء" للزوج من النقاط الحادة تسمح بالانتقال من انزلاق لشكل إلى آخر، وهذا ما فعلناه بالفعل، حيث أظهرنا أن الكروسيس والسطح الروماني لستاينر هما انزلاقان لنفس الشكل المسمى
المستوى المشروع.
لا تحاول أن تتخيل كيف يبدو "المستوى المشروع". لا يمكن فهم هذا الشكل إلا من خلال تمثيلاته المختلفة. أما مصطلح "المستوى المشروع"، فهو مجرد واحد من آلاف المصطلحات التي اخترعها الرياضيون لتشتيت من يرغب في دخول دائرتهم المغلقة. لا يفيدك قاموس لاروس في الرياضيات.
بعد ذلك، ننتقل إلى سطح بوي، وهو إغمار للنقطة المشروع.
الصفحة السابقة
الصفحة التالية
العودة إلى المحتوى " تحويل كروسيس إلى سطح بوي "
الصور
العودة إلى المُبتكرات
العودة إلى الدليل
العودة إلى الصفحة الرئيسية
عدد الزيارات منذ 25 أكتوبر 2003