نموذج التدوير المركزي للكуб
31 ديسمبر 2001
لقد شاهدتم جميعًا بشكل لا ينتهي، كائن غريب يدور على الجانب الأيسر من صفحة الموقع الرئيسية. ماذا يقصد؟
في يوم ما، عندما أجد وقتًا، سأقوم بتثبيت وصف لتدوير الكرة، كما قمت بتوضيحه في عدد يناير 1979 من Pour la science، أي منذ ... 22 عامًا. كل هذا سيتطلب بالتأكيد تفاصيل كثيرة وتقديمًا. ما معنى تدوير الكرة؟ لا تعني الكرة الشيء نفسه للشخص العادي والرياضياتي-الهندسي. بالنسبة للشخص العادي، تُعرَّف الكرة بأنها، في فضاء ثلاثي الأبعاد، مجموعة النقاط التي تبعد مسافة R عن نقطة ثابتة O. سيستمر الهندسي في تسمية "كرة" كائنًا يتوافق مع "كرة مُغيَّرة الشكل"، نوع من "بطاطة". لفهم هذه المفاهيم بدقة أكبر، احصل على قرص Lanturlu الذي يحتوي على القصة المصورة "Le Topologicon". لكن الرياضي يذهب أبعد من ذلك. عندما تُعتبر سطحًا "منتظمًا"، يمكننا في كل نقطة منه تحديد مستوى مماس. وهذا يسمح بالفعل بالتفكير في عدد لا نهائي من التغيرات للكرة الأصلية إلى عدد لا نهائي من "البطاطات"، عندما تكون مساحة السطح هذه ممكنة. ومع ذلك، في "عالم فيزيائي" سيواجه الشخص الذي يغير الكرة صعوبة في جعلها تمر عبر نفسها. إذا كان منع المرور أو حتى اللمس، فإننا نتحدث عن
الغمرات للكرة S2
. لكن الرياضي يمنح لنفسه كل الحقوق. الكرة، بالنسبة له، كائن "افتراضي" حيث يصبح من الممكن مرور الطبقات. تظهر الصور التالية كرة قد "تقطعت نفسها". تُسمى هذه التمثيلات للكرة
الانغماس
.
يملك انغماس
مجموعة من التقاطعات الذاتية
أو
التقاطعات الذاتية
(هنا منحنى دائري بسيط). يجب أن يتغير مستوى المماس بشكل مستمر. ومع ذلك، عندما ننظر إلى الصور أعلاه، نرى أن العملية تدور جزءًا (مُعَلَّم باللون الأخضر) من داخل الكرة إلى الخارج. لاستكمال هذا التدوير، يجب إسقاط هذا النوع من "الأنبوب الاستوائي". يبدو هذا الأمر في البداية مثيرًا للجدل. هذا الإسقاط سيُعطل استمرارية مستوى المماس. لذلك، ستكون هناك مرحلة
ليست انغماسًا
.
في يوم ما، قام رياضي أمريكي، ستيفن سمايل، ببرهنة أن "الكرة S2 تملك فئة واحدة من الانغماسات". كان نتائج هذه الجملة الغامضة أننا يجب أن نتمكن من تسلسل سلسلة من الانغماسات للكرة تسمح بالانتقال من "الكرة القياسية" إلى تمثيلها "المقابل"، أي التي تم فيها استبدال كل نقطة بعكسها. بمعنى آخر، كرة مقلوبة. كان راؤول بات مشرف سمايل. على الرغم من أن برهنة سمايل، التي كانت صافية تمامًا، لم تكن لها أي ثغرة، إلا أن أحدًا لم يكن يرى كيف يمكن تنفيذ العملية. كان بات يقول باستمرار لسمايل "أظهر لي كيف تخطط لإجراء ذلك"، ورد سمايل بذكاء، بوجود شعر على لسانه، "لا أعرف أبدًا". حصل سمايل لاحقًا على ميدالية فيلد، وهي ما يعادل جائزة نوبل في الرياضيات. أثناء المرور، قد تسأل لماذا لم يرغب نوبل أبدًا في إنشاء جائزة نوبل للرياضيات. الجواب بسيط: كانت زوجته قد غادرت مع رياضي.
ظل الوضع على حاله لسنوات عديدة حتى قام رياضي أمريكي يُدعى أنطوني فيليبس بنشر نسخة أولية من هذا التدوير في Scientific American في عام 1967، وكانت مثيرة للقلق للغاية. الثانية تم اختراعها في أوائل السبعينيات من قِبل الرياضي الفرنسي (العمي) بيرنارد مورين. كنت أول من رسم هذه السلسلة من التحولات التي ستكون موضوع مقالة قادمة على الموقع، وهي كثيفة إلى حد ما. ومع ذلك، نصل إلى استنتاج فرعي. يمكن للسطوح أن تُمثل بشكل
مكعبات. يمكن اعتبار مكعب أو رباعي الأوجه كتمثيلات مكعبة للكرة، بشرط أن هذه الأشياء تملك نفس
الهندسة التفاضلية
. في هذا الصدد، راجع قصتي المصورة "Le Topologicon". علاوة على ذلك، يُفهم أن إذا كان من الممكن تدوير كرة، فمن الممكن أيضًا تدوير مكعب. التحول الذي اخترعه بيرنارد مورين (الذي قمت بتوضيحه في مقال يناير 1979 من Pour la science) يمر عبر
نموذج مركزي
. هناك تناظر في هذه السلسلة. يُسمى هذا "نموذج مركزي بأربع أذنين". مرة أخرى، أتنبأ. ولكن تمامًا كما يمكن للكرة أن تُمثل بشكل مكعب، فإن نفس الشيء ينطبق على مراحل التحولات التالية. الكائن الذي تراه يدور على صفحتي الرئيسية هو نسخة مكعبة من نموذج التدوير المركزي للكرة، نموذج اخترعته قبل حوالي عشر سنوات. فائدة هذه النماذج المكعبة هي أنها يمكن بناؤها باستخدام أسطح مسطحة. يمكن حتى ترتيبها وفقًا لقطع. نظّر إلى الرسم التالي (أود أن أشكر في هذه اللحظة صديقي كريستوف تاردي، الذي أنتج العناصر المُقاسة بشكل صحيح).
هذا رسم يخرج من طابعة بحجم صغير، غير قابل للاستخدام.
لطباعة هذه الصورة على ورقة A4
يجب أن تقوم بعمل أربع نسخ مطبوعة على ورق A4 سميك، وورقتين من لون واحد، وورقتين من لون آخر
هذا هو قطع يُظهر لك عرضًا عامًا. لكن من الأفضل أن تنتقل إلى الصفحة
قطع
لطباعتها. ثم، باستخدام نسخة مطبوعة على الورق العادي من طابعتك، اذهب إلى مكتب طباعة وقم بعمل أربع نسخ متطابقة من هذا الرسم،
اثنين على ورقتين من الورق الأخضر
واثنين على ورقتين من الورق الأصفر. يمكنك بمساعدة هذا القطع بناء نموذج التدوير المركزي للمكعب.
لديك على هذه العناصر المقطعة أزواج من الحروف: a, b, c, d, e, f، إلخ. ما عليك سوى إجراء طيّات تجعل الحروف نفسها تتطابق، ثم تجميع هذه الوجوه باستخدام شريط لاصق شفاف. توضح الصور التالية الطريقة التي يجب استخدامها لتركيب أحد العناصر الأربعة. إليك أولاً كيف يجب أن تبدأ طي أحد العناصر الأربعة:
هناك عنصرين من هذه الأربعة، يُرى من زوايا مختلفة.
ثم يتم تجميعها لتصبح كائنًا يملك تناظرًا من الدرجة الرابعة أو يتبادل العناصر الخضراء والصفراء. لرؤية هذا في 3D، اذهب وانظر إلى إنجازات السيد تاردي، في "الواقع الافتراضي". يتم أيضًا إنتاج النموذج المركزي الكامل المجمّع بتنسيق "vrml" في هذه القسم. إليك هذا الكائن، يُرى من زوايا مختلفة:
لا يمكن القول إن إحدى الصور تُمثل "القمة" والأخرى "الأسفل"، لأن هذه التسميات ستكون تمامًا عشوائية. في الصورة اليسرى، النقطة "المركزية" تتوافق مع "النقطة المزدوجة" (حيث تتقاطع طبقتان) من نموذج مورين المركزي، بينما النقطة المركزية اليمنى تساوي "النقطة الرباعية" من نفس النموذج (حيث تتقاطع أربع طبقات). لقد وضعت بعناية الكائن، لكي لا تبدو الصورة اليسرى كصليب مزدوج. خلافًا لذلك، من الناحية المعمارية، كانت هذه التمثيلات المكعبة لنموذج مورين المركزي يمكن أن تشكل مشروعًا جيدًا لبيت ثقافة جماعة اجتماعية قومية.
النظرة الأخيرة:
ملاحظة أخيرة: لا توجد تمثيلات مكعبة جيدة لتدوير الكرة (أو تدوير المكعب). بمعنى "جيدة"، نعني سلسلة من النماذج كافية لتكون قابلة للبناء بشكل قطع نسبيًا سهل، مثل النموذج أعلاه. يجب إجراء بحث في هذا الصدد، وهو ضمن نطاق أي شخص، حتى غير الرياضيين، مثل الفنّانين. قبل أكثر من عشرين عامًا، كنت معلمًا في التصوير في مدرسة فنون أكسيس بروفنس، في الوقت الذي كانت فيه لا تزال تُدار من قِبل صديقي الجيد جاك بولير. كان هذا المكان هو المكان الذي وُلد فيه أول تمثيل جنوبية للسطح بوي باستخدام القطع البيضاوية، وهي مفتاح بناء المعادلة الضمنية الأولى بواسطة أبيري. يجب أن أقول إنني كنت دائمًا مذهولًا من القدرة التخيلية الهندسية للطلاب في الفن، والتي تفوق غالبًا تلك... للرياضيين.
عداد مُنشَّأ في 31 ديسمبر 2001. عدد الاتصالات
:
