a104
| 4 |
|---|
**صورة تعليمية لجسم سماوي **(نجم، كوكب، بيضة كثيفة)
** **نجم مثل الشمس هو تجميع كتلة. حوله: الفراغ، أو جزء من الفضاء الذي هو "شبه فارغ"، لأنه يحتوي على غاز مُخفف جداً وفوتونات. في 2D، الصورة التعليمية المقابلة هي مخروط مُعَوَّج (posi) :
(18)
يمكنك صنعها بمرتين. جزء من كرة وجزء من مخروط (posi)، ملتصقين معًا. جزء الكرة هو سطح ذو انحناء ثابت. جزء المخروط هو سطح مسطح، سطح ذو انحناء محلي صفر. هذا المثال الأخير هو سطح إقليدي. جزء الكرة هو سطح غير إقليدي (سطح ريمان).
هذا هو الصورة التعليمية في 2D لجسم ذو كثافة ثابتة، محيطه فراغ.
كيف تثبت العنصرين معًا لضمان استمرارية المماس؟ سهل. جزء المخروط الخاص بك يأتي من مخروط كان مقطعه يتوافق مع زاوية q. جزء الكرة الخاص بك مفترض أن يتم بناؤه من مكونات مخروطية صغيرة (posi)، بحيث يحتوي على "كمية معينة من الانحناء الزاوي" q. إذا كانت الزوايا متساوية، فإن المماس سيكون مستمرًا.
لكن كيف نقيس كمية الانحناء الموجودة في جزء معين من كرة؟
الانحناء الكلي.
يمكننا بناء سطح عن طريق ربط مكونات (posi) الأساسية. يمكننا تنظيمه للحصول على سطح ذو كثافة انحناء ثابتة. ثم نعرف أن السطح هو جزء من كرة. إذا أضفنا المزيد والمزيد من مكونات (posi) المخروطية، ستصبح الكرة كاملة. تحتوي على كمية معينة من الانحناء الزاوي. تحتوي جميع الكرات على نفس الكمية. انحناء الزاوية الكلي لكرة الريشة وانحناء الزاوية الكلي للأرض متساويان، على الرغم من أن لديهما أوزان مختلفة جداً.
بالمناسبة، انحناء الزاوية الكلي للبيض متساوي، لأن لديهم نفس الطوبولوجيا. في المبدأ، تضع الدجاجات بيضًا بطولوجيا كروية. شخصيًا، لم أرَ قط بيضة بطولوجيا حلزونية. سيتوافق ذلك مع ثعبان غريب بدون رأس أو ذيل، أو شيء من هذا القبيل.
لنعود إلى كرات الريشة، الكرات العادية. إذا كان هذا السطح يحتوي على كثافة زاوية محلية ثابتة، فهذا يعني أن كمية الانحناء الزاوي (مجموع الزوايا الأساسية Dq) ستكون متناسبة مع المساحة. انظر الشكل 19. يمكن أن تكون هذه المساحة محدودة بأي حدود. ولكن يمكننا استخدام خطوط الجيوديسيك للكرة. اسمح لـ S أن يكون مساحة الكرة و s أن يكون المنطقة الرمادية داخل المثلث.
(19)
أعلاه، رأينا أن الانحراف (الموجب) عن المجموع الإقليدي (180 درجة)، لمثلث مرسوم على سطح، يعتمد على عدد قمم المخروط الموجودة داخله. كان المجموع 180 درجة زائد جميع الزوايا المقابلة لتلك القمم المغلقة.
بالمقابل، إذا قمت بقياس الانحراف عن المجموع الإقليدي، يمكنني قياس كمية الانحناء الموجودة داخل المثلث.
خط الجيوديسيك لكرة هو ما يُسمى دائرة كبيرة للكرة. انظر الشكل (20). خطوط الطول، خط الاستواء، هي دوائر كبيرة للكرة.
(20)
يمكننا قطع كرتنا إلى ثمانية أجزاء ذات مساحة متساوية. انظر الشكل (21). نحصل على ثمانية مثلثات جميع زواياها تساوي 90 درجة. إذًا، الانحراف عن المجموع الإقليدي هو 90 درجة. يحتوي كل مثلث من هذه المثلثات على انحناء زاوي يساوي 90 درجة. في الختام، انحناء السطح الكلي، انحناء الزاوية الكلي للكرة هو 8 × 90 درجة = 720 درجة = 4π.
(21)
يحتوي كل مثلث رمادي على π/2.
هل تحب الأسطح المنحنية، هندسة الأسطح الريمانية؟
إذا عدنا إلى مخروطنا المُعَوَّج، نرى أن الانحناء الزاوي مخزن داخل الحافة الدائرية، في المنطقة ذات كثافة الانحناء الثابتة. الجدار الجانبي للمخروط ليس سطحًا محدودًا. يمكنك تمديده إلى لا نهاية إذا أردت. كمية الانحناء الزاوي لا تعتمد على محيط الحافة، ولا على مساحة جزء الكرة. يمكن تقليل هذا الأخير. انظر الشكل (22). حتى لو تم تقليله إلى نقطة واحدة، فإنه سيحتوي على نفس كمية الانحناء الزاوي. لهذا نقول إن نقطة مخروطية هي نقطة انحناء مركزة. بعكس ذلك، يمكننا بناء أسطح ناعمة من مجموعة من النقاط المخروطية.
المواد مكونة من ذرات. يمكن اعتبار الذرات كأجسام نقطة. إنها "نقاط انحناء مركزة" في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الهواء الذي تتنفسه هو وسط ذو كثافة ثابتة. يتكون من جزيئات، ذرات. هو مجموعة من نقاط الانحناء المركزة، مربوطة بقطع إقليدية من الفضاء. تُعتبر ذلك وسطًا ذو انحناء ثابت.
المرة القادمة التي تتنفس فيها، فكر في ذلك.
(22)
النسخة الأصلية (الإنجليزية)
a104
| 4 |
|---|
**صورة تعليمية لجسم سماوي **(نجم، كوكب، بيضة كثيفة)
** **نجم مثل الشمس هو تجميع كتلة. حوله: الفراغ، أو جزء من الفضاء الذي هو "شبه فارغ"، لأنه يحتوي على غاز مُخفف جداً وفوتونات. في 2D، الصورة التعليمية المقابلة هي مخروط مُعَوَّج (posi) :
(18)
يمكنك صنعها بمرتين. جزء من كرة وجزء من مخروط (posi)، ملتصقين معًا. جزء الكرة هو سطح ذو انحناء ثابت. جزء المخروط هو سطح مسطح، سطح ذو انحناء محلي صفر. هذا المثال الأخير هو سطح إقليدي. جزء الكرة هو سطح غير إقليدي (سطح ريمان).
هذا هو الصورة التعليمية في 2D لجسم ذو كثافة ثابتة، محيطه فراغ.
كيف تثبت العنصرين معًا لضمان استمرارية المماس؟ سهل. جزء المخروط الخاص بك يأتي من مخروط كان مقطعه يتوافق مع زاوية q. جزء الكرة الخاص بك مفترض أن يتم بناؤه من مكونات مخروطية صغيرة (posi)، بحيث يحتوي على "كمية معينة من الانحناء الزاوي" q. إذا كانت الزوايا متساوية، فإن المماس سيكون مستمرًا.
لكن كيف نقيس كمية الانحناء الموجودة في جزء معين من كرة؟
الانحناء الكلي.
يمكننا بناء سطح عن طريق ربط مكونات (posi) الأساسية. يمكننا تنظيمه للحصول على سطح ذو كثافة انحناء ثابتة. ثم نعرف أن السطح هو جزء من كرة. إذا أضفنا المزيد والمزيد من مكونات (posi) المخروطية، ستصبح الكرة كاملة. تحتوي على كمية معينة من الانحناء الزاوي. تحتوي جميع الكرات على نفس الكمية. انحناء الزاوية الكلي لكرة الريشة وانحناء الزاوية الكلي للأرض متساويان، على الرغم من أن لديهما أوزان مختلفة جداً.
بالمناسبة، انحناء الزاوية الكلي للبيض متساوي، لأن لديهم نفس الطوبولوجيا. في المبدأ، تضع الدجاجات بيضًا بطولوجيا كروية. شخصيًا، لم أرَ قط بيضة بطولوجيا حلزونية. سيتوافق ذلك مع ثعبان غريب بدون رأس أو ذيل، أو شيء من هذا القبيل.
لنعود إلى كرات الريشة، الكرات العادية. إذا كان هذا السطح يحتوي على كثافة زاوية محلية ثابتة، فهذا يعني أن كمية الانحناء الزاوي (مجموع الزوايا الأساسية Dq) ستكون متناسبة مع المساحة. انظر الشكل 19. يمكن أن تكون هذه المساحة محدودة بأي حدود. ولكن يمكننا استخدام خطوط الجيوديسيك للكرة. اسمح لـ S أن يكون مساحة الكرة و s أن يكون المنطقة الرمادية داخل المثلث.
(19)
أعلاه، رأينا أن الانحراف (الموجب) عن المجموع الإقليدي (180 درجة)، لمثلث مرسوم على سطح، يعتمد على عدد قمم المخروط الموجودة داخله. كان المجموع 180 درجة زائد جميع الزوايا المقابلة لتلك القمم المغلقة.
بالمقابل، إذا قمت بقياس الانحراف عن المجموع الإقليدي، يمكنني قياس كمية الانحناء الموجودة داخل المثلث.
خط الجيوديسيك لكرة هو ما يُسمى دائرة كبيرة للكرة. انظر الشكل (20). خطوط الطول، خط الاستواء، هي دوائر كبيرة للكرة.
(20)
يمكننا قطع كرتنا إلى ثمانية أجزاء ذات مساحة متساوية. انظر الشكل (21). نحصل على ثمانية مثلثات جميع زواياها تساوي 90 درجة. إذًا، الانحراف عن المجموع الإقليدي هو 90 درجة. يحتوي كل مثلث من هذه المثلثات على انحناء زاوي يساوي 90 درجة. في الختام، انحناء السطح الكلي، انحناء الزاوية الكلي للكرة هو 8 × 90 درجة = 720 درجة = 4π.
(21)
يحتوي كل مثلث رمادي على π/2.
هل تحب الأسطح المنحنية، هندسة الأسطح الريمانية؟
إذا عدنا إلى مخروطنا المُعَوَّج، نرى أن الانحناء الزاوي مخزن داخل الحافة الدائرية، في المنطقة ذات كثافة الانحناء الثابتة. الجدار الجانبي للمخروط ليس سطحًا محدودًا. يمكنك تمديده إلى لا نهاية إذا أردت. كمية الانحناء الزاوي لا تعتمد على محيط الحافة، ولا على مساحة جزء الكرة. يمكن تقليل هذا الأخير. انظر الشكل (22). حتى لو تم تقليله إلى نقطة واحدة، فإنه سيحتوي على نفس كمية الانحناء الزاوي. لهذا نقول إن نقطة مخروطية هي نقطة انحناء مركزة. بعكس ذلك، يمكننا بناء أسطح ناعمة من مجموعة من النقاط المخروطية.
المواد مكونة من ذرات. يمكن اعتبار الذرات كأجسام نقطة. إنها "نقاط انحناء مركزة" في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الهواء الذي تتنفسه هو وسط ذو كثافة ثابتة. يتكون من جزيئات، ذرات. هو مجموعة من نقاط الانحناء المركزة، مربوطة بقطع إقليدية من الفضاء. تُعتبر ذلك وسطًا ذو انحناء ثابت.
المرة القادمة التي تتنفس فيها، فكر في ذلك.
(22)