a110
| 10 |
|---|
بالمقابل، توجد تفردات حقيقية داخلية على الأسطح. هذه تفردات هندسية حقيقية:
(55)
(56)
(57)
وهكذا далее...
بالمناسبة، فإن الطية هي منطقة معينة على سطح حيث تتركز الانحناء الخطي. في الشكل (57)، من اليسار، لدينا انحناء خطي سالب؛ ومن اليمين، انحناء خطي موجب.
في كل رسم فرعي، استخدمنا جزأين من الكرة. يمتلك الجسم الكلي نفس التوبولوجيا ككرة، مما يعني أن انحناءه الزاوي الكلي يساوي $4\pi$.
لنفترض أن الجسم من اليسار تم بناؤه من جزأين من الكرة، كل منهما يحتوي على انحناء زاوي قدره $3\pi$:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
هذا أكثر من اللازم. لذلك، يجب أن يعوض الانحناء الخطي (السالب) ذلك للحصول على القيمة المطلوبة النهائية $4\pi$:
بالتالي، تحتوي طية لدينا على انحناء سالب قدره:
$$
-2\pi
$$
هذا الانحناء موزع بالتساوي على طول المنحنى الدائري، على طول الطية.
نعود إلى الأشكال (57). لقد رسمنا مثلثات تم بناؤها من خطوط جيوديسية. ولكن يمكنك عبور الطية بسهولة باستخدام شريط لاصق (ضيق). تعرف كيف تحسب، وتتنبأ بجمع زوايا المثلث. كل ما عليك هو مقارنة مساحة المثلث بمساحة الكرة. يساوي الفائض في الانحناء:
$$
\text{(58)}
$$
لكن يجب أن تأخذ في الاعتبار الانحناء (السالب أو الإيجابي) الموجود في جزء الطية، أي في القوس $mn$. يساوي هذا الانحناء:
$$
\text{(59)}
$$
لنفترض أن نوعًا من العدسة، إلى اليمين من الشكل (57)، تم بناؤها من جزأين من الكرة، كل منهما يحتوي على انحناء زاوي قدره $\pi$. وبالتالي، إذا أهملنا الطية، فإن هذا الزوج من جزأي الكرة يحتوي على انحناء زاوي قدره $2\pi$. ولكن هذه العدسة تمتلك توبولوجيا كروية؛ لذلك يجب أن يكون مساهمة الانحناء الزاوي $2\pi$. وبالتالي:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(الانحناء الكلي للكرة)}
$$
يمكنك أيضًا التنبؤ بجمع زوايا هذا المثلث الغريب، المكون من ثلاث خطوط جيوديسية. يحتوي القوس $mn$ على الانحناء الزاوي الخطي التالي:
$$
\text{(60)}
$$
عند قياس كمية الانحناء الزاوي الموجودة في الطية، داخل المثلث، يمكن تقييم الانحراف عن المجموع الإقليدي، الذي يساوي $\pi$.
هكذا ترى أنك تستطيع التعامل نسبيًا بسهولة مع هذه المشكلات في الانحناء على الأسطح.
يمكن أن تمتلك سطح ما نقاطًا مخروطية أو خطوط طي. هذه تفردات داخلية، وليس هذه التفردات الاصطناعية الناتجة عن اختيار معين للإحداثيات. لاحظ أننا يمكننا تمهيد الطية؛ فنحصل بذلك على شكل يشبه الفول السوداني:
$$
\text{(61)}
$$
هذا يشبه تمهيد القمة النقطية لمخروط (انحناء زاوي مركّز)، مما يحوّل الجسم إلى مخروط مُعوّج (انحناء زاوي موزع على جزء من الكرة).
لنفترض أن الجزأين من الكرة، المُمثّلين في الشكل (61) أعلاه، يمثلان كل منهما $2/3$ من الكرة، أي انحناء قدره:
$$
\text{(62)}
$$
الجزء الرمادي من "الفول السوداني" يحتوي على انحناء سالب، بالضبط:
$$
\text{(63)}
$$