a111
| 11 |
|---|
المكان التمثيلي.
لقد رأينا في قسم سابق أن أسطوانة يمكن أن تُسطّح. الآن خذ ورقة، ورقة مسطحة. إنها سطح إقليدي. يمكنك رسم خطوط جيوديسية عليها. الآن اطويها. (64)
إذا كنت تستطيع جعل هذا السطح المطوي صلبًا ورسم خطوط جيوديسية عليه باستخدام شريط لاصق، فسوف تجد نفس النظام مرة أخرى! السطح لم يتغير حقًا. إذا كان هناك ساكن يعيش في مثل هذا "العالم المسطح"، فقد لا يستطيع إدراك عملية الطي. سيظل كل شيء طبيعيًا بالنسبة له، كما هو الحال اليوم: اتباع خطوط الجيوديسية لسطحه الزمكاني ثنائي الأبعاد، على سبيل المثال.
الطى في الورقة، لقد غيرت فقط النظام التمثيلي، أي الطريقة التي يتم بها غمر السطح ثنائي الأبعاد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.
تعديل أبسط هو تحويل ورقة معدنية مسطحة إلى سطح مموج. راجع الشكل (65) (65)
منذ سنوات عديدة كنت في سوق كبير في أديس أبابا، إثيوبيا. هناك، المعدن نادر. تجد مصانع حيث الشباب يحولون الألواح المموجة إلى لوحات مسطحة، باستخدام مطرقة بسيطة. إذا قام أحدهم برسم خط جيوديسي قبل الإجراء، لاحظنا أن نظام الخطوط الجيوديسية لم يتغير.
لكن، للإجابة الصادقة، لا أعتقد حقًا أن هذا النوع من الناس يعرف ما هي خطوط الجيوديسية، من منظور رياضي بالطبع. أي شخص يصنع سلال يستخدم خطوط الجيوديسية بشكل طبيعي.
أتذكر أنني كنت مدرسًا في صناعة السلال، في مخيم إجازات بالقرب من بيرنفيل وبحيرة شامبلين، في فيرمونت... منذ سنوات عديدة.
احتفظ بذهنك أن الأشياء الهندسية لها وجودها وخصائصها الخاصة، مستقلة عن الطريقة التي تمثلها في فضاء ذي عدد أكبر من الأبعاد. مطوية أو لا، الورقة تظل ورقة، أي سطح إقليدي.
نحن مفترض أننا نعيش في فائقة سطح بُعدية 4. نحن جميعًا نعيش بنفس الطريقة، من حيث المبدأ. لكن زوجتي كلير، وهي شخصية ودودة للغاية، مقتنعة بأنني أعيش في فضاء بُعدية أعلى (خمسة، وفقًا لها). هذا يؤدي أحيانًا إلى صعوبات في الاتصال عندما أكون في بُعد خامس شخصي.
لكن هل تعيش النساء حقًا في فائقة سطح بُعدية 4؟ أحيانًا أشك في ذلك، لكن هذا سؤال آخر.
اقبل أنك تعيش في فائقة سطح بُعدية 4 وتعقب خطوط الجيوديسية لهذا الزمكاني، تمامًا كما يفعل البقرة في سيلها.
الآن افترض أنك إله. أنت تريد تمثيلًا كاملًا لهذه الفائقة سطح بُعدية 4. إذًا، تحتاج إلى بعد إضافي على الأقل. شخصيًا، أعتقد أن، إذا كان الإله موجودًا، فإنه يعيش في عالم فائق بُعدية 10. سيتم تطوير الحجج التالية في الفيزياء الجغرافية B، وتأتي من نظرية المجموعات.
هل يمتلك الإله بنية مجموعة؟
بشكل عملي، يحسب خبير النسبية العامة حلًا لمعادلة مجال (حل إينشتاين). ثم يفحص نظام خطوط الجيوديسية. إنها "خطوط مستقيمة بُعدية 4". في الزمكاني، عند اتباع خطوط الجيوديسية، يكون النظام العام:
- اذهب مستقيمًا! لا تدور يمينًا أو يسارًا.
تتبع الأمر فقط لأنك لا تستطيع فعل شيء آخر. التدوير هو عبث في الزمكاني. كل شيء، كل شخص "يذهب مستقيمًا".
لكن الأشياء، المسارات، المسارات، تبدو منحنية من منظور عيننا ثلاثية الأبعاد. نقرأها في تمثيلنا الذهني للفضاء. نواجه جدار كهف بلوتون، ننظر إلى ظلال ثلاثية الأبعاد ترقص.
لنرجع إلى صورتنا التعليمية ثنائية الأبعاد، إلى المخروط المطوي. من المفترض أن يمثل الفضاء بالقرب من تركيز الكتلة (المنطقة الرمادية). نفترض أن هذا يتوافق مع الحالة الثابتة.
يمكننا استخدام الإحداثيات الكروية (r، q، j) كعلامات مساحية (في 3D). في 2D لدينا اثنين فقط: (r، q).
ثم يمكننا رسم الشكل على مستوى ونستخدم نفس مجموعة الإحداثيات القطبية. انظر الشكل التالي.
(66)
كما ذكر أعلاه، سطح المخروط المطوي هو نموذج تعليمي خشن، يشير إلى حل خاص لمعادلة المجال الإينشتينية
(67) S = c T
تم بناؤه في عام 1917 بواسطة شوارتسشيلد. إنها عمل متميز وذكي. فقط للقول أن، في ذلك الوقت، لم يكن ألبيرت عبقريًا وحيدًا، مفقودًا على جزيرة مهجورة. يعتقد الكثير من الناس أن الرياضي الألماني العظيم هيلبرت اخترع "معادلة إينشتاين". واقتراح آخرون أن السيدة إينشتاين قد ساهمت بشكل فعال في بناء النسبية الخاصة، والتي تأتي بشكل طبيعي من أعمال بوانكاريه ولورنتز (إذا نظرت إلى أعمال إينشتاين، سترى أنهم نادراً ما يذكرون الآخرين).
حل شوارتسشيلد هو حجر أساس في النسبية العامة. يستخدم لحساب مسارات الكواكب حول الشمس نسبيًا، مما يبرز ارتداد حافة مدار عطارد.
سيقول الجميع فورًا:
- لماذا لم يحسب شوارتسشيلد ذلك بنفسه؟
كان هناك سبب جيد جدًا لذلك: كان ميتًا.
كان شوارتسشيلد وطنية، و insist على الذهاب إلى الجبهة في عام 1917. هناك، تم غموضه وموته لاحقًا. واصل إينشتاين العمل، الذي أصبح "نظرية إينشتاين".
كان حلًا في الحالة الثابتة. لاحقًا حاول إينشتاين بناء نموذج للكون، حيث يمكن تحديد الانحناء إلى محتوى الطاقة-الكتلة. لكن، في ذلك الوقت، لم يكن أحد يعلم أن الكون غير ثابت. حاول ألبيرت بناء نموذج ثابت، لكن الأمور لم تسير بشكل جيد. ثم زار إيليه كارتن، الرياضي الفرنسي العظيم، الذي نصحه بإضافة ثابت في معادلة المجال، وهو ما فعله إينشتاين.
ثم قام طيار مظلي روسي يُدعى فريدمان باختراع حل غير ثابت. في نفس الفترة، اكتشف إدвин هابل الانزياح الأحمر وخصائص الكون غير الثابت. كان إينشتاين مخيبًا للآمال وقال:
- لو علمت أن الكون غير ثابت، لوجدت الحل قبل فريدمان!
كما كان يقول اللاسيديمونيون.
لكن هذه القصة لم تنتهِ هناك. في البداية، قام فريدمان ببناء الحل الدوري، أحد الثلاثة الذين يشكلون "نموذج فريدمان".
ظل إينشتاين صامتًا لسنوات. ثم، بعد وفاة فريدمان، نشر "نموذج إينشتاين-دي سيتير"، "الحل القطعي لفريدمان".
لاحقًا، باحث بولندي شاب يُدعى كالوза قدم مقالة إلى "الأستاذ إينشتاين"، تم رفضها للنشر لأكثر من عام. احتج كالوزا على إينشتاين، الذي أجاب:
- يجب أن تنظر أكثر إلى هذه النظرية. أنا متشكك...
بعد سنوات عديدة، فكرة كالوزا (إضافة بعد خامس إلى الزمكاني) أصبحت نقطة البداية للكتب المتقدمة (بما في ذلك منهجية الأوتار الفائقة). انظر الفيزياء الجغرافية B.
حسنًا، لم يكن ألبيرت رياضيًا كثيرًا...
لنرجع إلى النموذج الثابت الثلاثي الأبعاد المقابل لهندسة الزمكاني حول الشمس. تُعطي الحسابات خطوط جيوديسية تقع في مسافات. إذا كان تأثير الانحناء معتدلًا والسرعة منخفضة مقارنة بسرعة الضوء c، فإن مشروعها، في الزمكاني الإقليدي التمثيلي، يتوافق مع مسارات كبلرية تقريبًا وقوانين كبلر. يمكننا تجاهل الوقت وتمثيل هذه الخطوط الجيوديسية في مسافات، باستخدام إحداثيات قطبية.
r = f (q).
في حل شوارتسشيلد، هناك في الواقع حلان "مترية" مرتبطان، كما أشير في الشكل (68). داخل "الجسم الكتلي"، تُفترض كثافة الكتلة r ثابتة. هناك، توتر الطاقة-الكتلة T غير صفري. ولكن خارج، r و T صفريان.
(68)
إنها هندسة مركبة. في 3D، تظهر كثافة الكتلة انقطاعًا حادًا في السطح (المفترض أن يكون كرويًا) لـ "تركيز الكتلة". هذا يشبه انقطاع كثافة الانحناء الزاوي على السطح (غير صفري في المنطقة الرمادية، صفري خارجها). تصبح الحدود كرة S1، أي... دائرة.
في 4D، يمكن إنشاء الارتباط الرياضي لضمان استمرارية خطوط الجيوديسية. يشبه جزء الارتباط لجزء من كرة أو مخروط مقلوب.
عندما تصبح الكتلة كبيرة (وهو ما لا يمكن وصفه بنموذجنا التعليمي الخشن ثنائي الأبعاد)، لا تكون المسارات المغلقة بيضاوية.
انظر الشكل (69). هذا الرسم يمثل مسار مركبة فضائية حول نجم نيوترون.
مسار عطارد حول الشمس مشابه، ولكن ارتداد حافة مدار المسارات البيضاوية هو 0.15 درجة لكل قرن.
(69)
في يوم من الأيام، سنقوم بإدراج الصيغ والبرنامج الذي يسمح باللعب مع هذه المشكلة. إنها ليست صعبة للغاية.
معلومات رياضية إضافية في نهاية هذه الصفحة والصفحة التالية، إذا أردت، يمكنك الانتقال مباشرة إلى الصفحة 13 هنا
النسخة الأصلية (الإنجليزية)
a111
| 11 |
|---|
المكان التمثيلي.
لقد رأينا، في قسم سابق، أن الأسطوانة يمكن أن تُسطّح. الآن خذ ورقة، ورقة مسطحة. إنها سطح إقليدي. يمكنك رسم خطوط جيوديسية عليها. الآن اطويها. (64)
إذا كنت تستطيع جعل هذا السطح المطوي صلبًا ورسم خطوط جيوديسية عليه باستخدام شريط لاصق، فسوف تجد نفس النظام مرة أخرى! السطح لم يتغير حقًا. إذا كان هناك ساكن يعيش في مثل هذا "العالم المسطح"، فقد لا يستطيع إدراك عملية الطي. سيظل كل شيء طبيعيًا بالنسبة له، كما هو الحال اليوم: اتباع خطوط الجيوديسية لسطحه الزمكاني ثنائي الأبعاد، على سبيل المثال.
الطى في الورقة، لقد غيرت فقط النظام التمثيلي، أي الطريقة التي يتم بها غمر السطح ثنائي الأبعاد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.
تعديل أبسط هو تحويل ورقة معدنية مسطحة إلى سطح مموج. راجع الشكل (65) (65)
منذ سنوات عديدة كنت في سوق كبير في أديس أبابا، إثيوبيا. هناك، المعدن نادر. تجد مصانع حيث الشباب يحولون الألواح المموجة إلى لوحات مسطحة، باستخدام مطرقة بسيطة. إذا قام أحدهم برسم خط جيوديسي قبل الإجراء، لاحظنا أن نظام الخطوط الجيوديسية لم يتغير.
لكن، للإجابة الصادقة، لا أعتقد حقًا أن هذا النوع من الناس يعرف ما هي خطوط الجيوديسية، من منظور رياضي بالطبع. أي شخص يصنع سلال يستخدم خطوط الجيوديسية بشكل طبيعي.
أتذكر أنني كنت مدرسًا في صناعة السلال، في مخيم إجازات بالقرب من بيرنفيل وبحيرة شامبلين، في فيرمونت... منذ سنوات عديدة.
احتفظ بذهنك أن الأشياء الهندسية لها وجودها وخصائصها الخاصة، مستقلة عن الطريقة التي تمثلها في فضاء ذي عدد أكبر من الأبعاد. مطوية أو لا، الورقة تظل ورقة، أي سطح إقليدي.
نحن مفترض أننا نعيش في فائقة سطح بُعدية 4. نحن جميعًا نعيش بنفس الطريقة، من حيث المبدأ. لكن زوجتي كلير، وهي شخصية ودودة للغاية، مقتنعة بأنني أعيش في فضاء بُعدية أعلى (خمسة، وفقًا لها). هذا يؤدي أحيانًا إلى صعوبات في الاتصال عندما أكون في بُعد خامس شخصي.
لكن هل تعيش النساء حقًا في فائقة سطح بُعدية 4؟ أحيانًا أشك في ذلك، لكن هذا سؤال آخر.
اقبل أنك تعيش في فائقة سطح بُعدية 4 وتعقب خطوط الجيوديسية لهذا الزمكاني، تمامًا كما يفعل البقرة في سيلها.
الآن افترض أنك إله. أنت تريد تمثيلًا كاملًا لهذه الفائقة سطح بُعدية 4. إذًا، تحتاج إلى بعد إضافي على الأقل. شخصيًا، أعتقد أن، إذا كان الإله موجودًا، فإنه يعيش في عالم فائق بُعدية 10. سيتم تطوير الحجج التالية في الفيزياء الجغرافية B، وتأتي من نظرية المجموعات.
هل يمتلك الإله بنية مجموعة؟
بشكل عملي، يحسب خبير النسبية العامة حلًا لمعادلة مجال (حل إينشتاين). ثم يفحص نظام خطوط الجيوديسية. إنها "خطوط مستقيمة بُعدية 4". في الزمكاني، عند اتباع خطوط الجيوديسية، يكون النظام العام:
- اذهب مستقيمًا! لا تدور يمينًا أو يسارًا.
تتبع الأمر فقط لأنك لا تستطيع فعل شيء آخر. التدوير هو عبث في الزمكاني. كل شيء، كل شخص "يذهب مستقيمًا".
لكن الأشياء، المسارات، المسارات، تبدو منحنية من منظور عيننا ثلاثية الأبعاد. نقرأها في تمثيلنا الذهني للفضاء. نواجه جدار كهف بلوتون، ننظر إلى ظلال ثلاثية الأبعاد ترقص.
لنرجع إلى صورتنا التعليمية ثنائية الأبعاد، إلى المخروط المطوي. من المفترض أن يمثل الفضاء بالقرب من تركيز الكتلة (المنطقة الرمادية). نفترض أن هذا يتوافق مع الحالة الثابتة.
يمكننا استخدام الإحداثيات الكروية (r، q، j) كعلامات مساحية (في 3D). في 2D لدينا اثنين فقط: (r، q).
ثم يمكننا رسم الشكل على مستوى ونستخدم نفس مجموعة الإحداثيات القطبية. انظر الشكل التالي.
(66)
كما ذكر أعلاه، سطح المخروط المطوي هو نموذج تعليمي خشن، يشير إلى حل خاص لمعادلة المجال الإينشتينية
(67) S = c T
تم بناؤه في عام 1917 بواسطة شوارتسشيلد. إنها عمل متميز وذكي. فقط للقول أن، في ذلك الوقت، لم يكن ألبيرت عبقريًا وحيدًا، مفقودًا على جزيرة مهجورة. يعتقد الكثير من الناس أن الرياضي الألماني العظيم هيلبرت اخترع "معادلة إينشتاين". واقتراح آخرون أن السيدة إينشتاين قد ساهمت بشكل فعال في بناء النسبية الخاصة، والتي تأتي بشكل طبيعي من أعمال بوانكاريه ولورنتز (إذا نظرت إلى أعمال إينشتاين، سترى أنهم نادراً ما يذكرون الآخرين).
حل شوارتسشيلد هو حجر أساس في النسبية العامة. يستخدم لحساب مسارات الكواكب حول الشمس نسبيًا، مما يبرز ارتداد حافة مدار عطارد.
سيقول الجميع فورًا:
- لماذا لم يحسب شوارتسشيلد ذلك بنفسه؟
كان هناك سبب جيد جدًا لذلك: كان ميتًا.
كان شوارتسشيلد وطنية، و insist على الذهاب إلى الجبهة في عام 1917. هناك، تم غموضه وموته لاحقًا. واصل إينشتاين العمل، الذي أصبح "نظرية إينشتاين".
كان حلًا في الحالة الثابتة. لاحقًا حاول إينشتاين بناء نموذج للكون، حيث يمكن تحديد الانحناء إلى محتوى الطاقة-الكتلة. لكن، في ذلك الوقت، لم يكن أحد يعلم أن الكون غير ثابت. حاول ألبيرت بناء نموذج ثابت، لكن الأمور لم تسير بشكل جيد. ثم زار إيليه كارتن، الرياضي الفرنسي العظيم، الذي نصحه بإضافة ثابت في معادلة المجال، وهو ما فعله إينشتاين.
ثم قام طيار مظلي روسي يُدعى فريدمان باختراع حل غير ثابت. في نفس الفترة، اكتشف إدвин هابل الانزياح الأحمر وخصائص الكون غير الثابت. كان إينشتاين مخيبًا للآمال وقال:
- لو علمت أن الكون غير ثابت، لوجدت الحل قبل فريدمان!
كما كان يقول اللاسيديمونيون.
لكن هذه القصة لم تنتهِ هناك. في البداية، قام فريدمان ببناء الحل الدوري، أحد الثلاثة الذين يشكلون "نموذج فريدمان".
ظل إينشتاين صامتًا لسنوات. ثم، بعد وفاة فريدمان، نشر "نموذج إينشتاين-دي سيتير"، "الحل القطعي لفريدمان".
لاحقًا، باحث بولندي شاب يُدعى كالوزا قدم مقالة إلى "الأستاذ إينشتاين"، تم رفضها للنشر لأكثر من عام. احتج كالوزا على إينشتاين، الذي أجاب:
- يجب أن تنظر أكثر إلى هذه النظرية. أنا متشكك...
بعد سنوات عديدة، فكرة كالوزا (إضافة بعد خامس إلى الزمكاني) أصبحت نقطة البداية للكتب المتقدمة (بما في ذلك منهجية الأوتار الفائقة). انظر الفيزياء الجغرافية B.
حسنًا، لم يكن ألبيرت رياضيًا كثيرًا...
لنرجع إلى النموذج الثابت الثلاثي الأبعاد المقابل لهندسة الزمكاني حول الشمس. تُعطي الحسابات خطوط جيوديسية تقع في مسافات. إذا كان تأثير الانحناء معتدلًا والسرعة منخفضة مقارنة بسرعة الضوء c، فإن مشروعها، في الزمكاني الإقليدي التمثيلي، يتوافق مع مسارات كبلرية تقريبًا وقوانين كبلر. يمكننا تجاهل الوقت وتمثيل هذه الخطوط الجيوديسية في مسافات، باستخدام إحداثيات قطبية.
r = f (q).
في حل شوارتسشيلد، هناك في الواقع حلان "مترية" مرتبطان، كما أشير في الشكل (68). داخل "الجسم الكتلي"، تُفترض كثافة الكتلة r ثابتة. هناك، توتر الطاقة-الكتلة T غير صفري. ولكن خارج، r و T صفريان.
(68)
إنها هندسة مركبة. في 3D، تظهر كثافة الكتلة انقطاعًا حادًا في السطح (المفترض أن يكون كرويًا) لـ "تركيز الكتلة". هذا يشبه انقطاع كثافة الانحناء الزاوي على السطح (غير صفري في المنطقة الرمادية، صفري خارجها). تصبح الحدود كرة S1، أي... دائرة.
في 4D، يمكن إنشاء الارتباط الرياضي لضمان استمرارية خطوط الجيوديسية. يشبه جزء الارتباط لجزء من كرة أو مخروط مقلوب.
عندما تصبح الكتلة كبيرة (وهو ما لا يمكن وصفه بنموذجنا التعليمي الخشن ثنائي الأبعاد)، لا تكون المسارات المغلقة بيضاوية.
انظر الشكل (69). هذا الرسم يمثل مسار مركبة فضائية حول نجم نيوترون.
مسار عطارد حول الشمس مشابه، ولكن ارتداد حافة مدار المسارات البيضاوية هو 0.15 درجة لكل قرن.
(69)
في يوم من الأيام، سنقوم بإدراج الصيغ والبرنامج الذي يسمح باللعب مع هذه المشكلة. إنها ليست صعبة للغاية.
معلومات رياضية إضافية في نهاية هذه الصفحة والصفحة التالية، إذا أردت، يمكنك الانتقال مباشرة إلى الصفحة 13 هنا