a122
| 23 |
|---|
السياق الهندسي.****
كروة هي كائن هندسي ذي بعدين. نحتاج إلى كميتين، عددين، م Scalars، لتحديد نقطة على سطحها.
كروة هي سطح يمتلك طوبولوجيا. طوبولوجياها مختلفة عن طوبولوجيا الحلقة.
لديهما نظامين جيوديسيا. كما أشارت إلى قسم سابق، يمكننا تخيل نقطتين مختلفتين M1 و M2 على كرة ومسار يربط بين هاتين النقطتين. يمكننا ثم قياس الطول على هذا المسار الخاص. إنها كمية ثابتة بغض النظر عن تغيير الإحداثيات. توجد كرة S² بشكل مستقل عن أي مساحة تمثيلية ثلاثية الأبعاد. ولكن يمكننا تمثيلها في مساحتنا الإقليدية المألوفة ثلاثية الأبعاد، حيث نفترض أننا نعيش. يمكننا ثم تعيين مركز لها وربط جميع نقاطها بهذا المركز. راجع الشكل (116). كل نقطة تتوافق مع زاويتين: q و j.
(116)
لقد قمنا بعمل ثقب في الكرة لعرض المتجهات OM، حيث O هو المركز وM نقطة على الكرة.
الآن، الشكل (117) يحتفظ بالمتجهات وينسى الكرة.
(117)
هذه الخطوط المستقيمة نصفية الأبدية، ولكن تم رسمها مقطوعة بطول معين، يتوافق مع نصف قطر الكرة R. كل خط مستقيم يتوافق مع زوج (q، j). تم اختفاء البنية المترية. لا جيوديسيا، لا طول. ما يبقى؟
لكل من هذه الخطوط المستقيمة نصفية هناك جيران، يشكلون جوارها. يمكننا تخيل كل خط مستقيم نصفية محاطًا بسلسلة من الأسطوانات (الشكل (118)).
(118)
حول أي خط يمكننا وضع عدد لا حصر له من الأسطوانات. بين أي من هذه الأسطوانات يمكننا دائمًا وضع أخرى. هذا يشير بشكل مفهوم مفاهيمي مفهوم القابلية للتمييز. في كائن هندسي كهذا لا يوجد أي انقطاع.
الآن، انسوا الكرة وخذوا سطحًا مسطحًا. هو مجموعة من النقاط. ما كان نظام الإحداثيات الذي أخترته، يمكنني تعريف النقاط باستخدام كميتين: (x، y)، (r، q)، إلخ.
زوج من الأعداد الحقيقية. هذه الأزواج تم اختيارها من R²، أي من مجموعة الأعداد الحقيقية، مثل (3،8705، -17،56).
لأي زوج من الأعداد الحقيقية (x؛ y) هناك عدد لا نهائي من الجيران (x + Dx؛ y + Dy).
هذه الكائنات "المسبقة للمترية" تُسمى من قبل الرياضيين المنهاجات.
من الصعب للغاية التفكير في مثل هذا الوسط "المرن". في الشكل (119)، قدمنا سطحًا مسطحًا صلبًا، مزودًا بخصائص مترية، وأسفله ظل نقاطه.
(119)
الظل لا يملك شكلًا خاصًا، ولا امتدادًا. يعتمد على الشاشة وانتاج أشعة الضوء. في الشكل (120)، نقترح نسبيّة الظل بحسب الجسم.
(120)
هذه "الخطوط المتوازية" تشبه تلك الأشعة التي قدمتها لربط نقاط كرة بمركزها. هنا، نقاط المستوى "مرتبطة" بـ "مصدر" موجود في اللانهاية.
ابتعد عن هذه الفكرة الأخيرة للخطوط المستقيمة. خذ حزمة من المعكرونة المطهية (إذا لم تكن كذلك، يجب أن تكون صلبة وقابلة للكسر). يمكننا تمديدها. ولكن نحن نفرض على المعكرونة أن تبقى معاً. لا يجب تغيير جوارها.
(121)
كل هذا أمر خشن، أعرف ذلك، ولا هو تمامًا دقيق. أنا أحاول فقط إقناع القارئ بما يمكن أن تكون عليه منهجية، كائن هندسي بدون مترية، حيث الخاصية الرئيسية هي أن كل نقطة لها جيران.
المنهاج هو مجموعة من النقاط m. يمكنني تخيل أنني أربط كل نقطة من منهجية بزوج (M1، M2) من النقاط التي تنتمي إلى أسطح حقيقية، والتي تمتلك خصائص مترية، طول، إلخ.
أسمي منهجية بـ n أبعاد منهاج عظمي، والأسطح المرتبطة بـ n أبعاد ببساطة طيات. ثم أبني الغطاء بـ طيتين من منهجية.
في الشكل (122) يوجد غطاء بـ طيتين من منهجية m2 (بُعدين).
(122)
في الشكل (122)، رسمت طيات إقليدية متطابقة ومتوازية، مزودة بنفس المترية. ولكن يمكنني بناء الشكل (123):
سنسمّي النقاط M و M* نقاط مترابطة. بناء هاتين الطيات من "منهاج عظمي" له معنى دقيق: لكل نقطة M من الطية F، يمكننا تعيين نقطة مترابطة واحدة وفقط واحدة M*. هناك تطبيق من نقطة إلى نقطة. ثم يمكننا نسيان منهجية العظم.
لكل جوار ل نقطة من الطية F يتوافق جوار نقطة مترابطة M*. راجع الشكل (124). هذا يعني أن لكل منطقة منتظمة من F تتوافق منطقة منتظمة مترابطة تعود إلى F*.
(124)
هذا يظهر على وجه الخصوص أن النقاط المترابطة M و M* تُوصف بنفس مجموعة الإحداثيات.
النسخة الأصلية (الإنجليزية)
a122
| 23 |
|---|
السياق الهندسي.****
كروة هي كائن هندسي ذي بعدين. نحتاج إلى كميتين، عددين، م Scalars، لتحديد نقطة على سطحها.
كروة هي سطح يمتلك طوبولوجيا. طوبولوجياها مختلفة عن طوبولوجيا الحلقة.
لديهما نظامين جيوديسيا. كما أشارت إلى قسم سابق، يمكننا تخيل نقطتين مختلفتين M1 و M2 على كرة ومسار يربط بين هاتين النقطتين. يمكننا ثم قياس الطول على هذا المسار الخاص. إنها كمية ثابتة بغض النظر عن تغيير الإحداثيات. توجد كرة S² بشكل مستقل عن أي مساحة تمثيلية ثلاثية الأبعاد. ولكن يمكننا تمثيلها في مساحتنا الإقليدية المألوفة ثلاثية الأبعاد، حيث نفترض أننا نعيش. يمكننا ثم تعيين مركز لها وربط جميع نقاطها بهذا المركز. راجع الشكل (116). كل نقطة تتوافق مع زاويتين: q و j.
(116)
لقد قمنا بعمل ثقب في الكرة لعرض المتجهات OM، حيث O هو المركز وM نقطة على الكرة.
الآن، الشكل (117) يحتفظ بالمتجهات وينسى الكرة.
(117)
هذه الخطوط المستقيمة نصفية الأبدية، ولكن تم رسمها مقطوعة بطول معين، يتوافق مع نصف قطر الكرة R. كل خط مستقيم يتوافق مع زوج (q، j). تم اختفاء البنية المترية. لا جيوديسيا، لا طول. ما يبقى؟
لكل من هذه الخطوط المستقيمة نصفية هناك جيران، يشكلون جوارها. يمكننا تخيل كل خط مستقيم نصفية محاطًا بسلسلة من الأسطوانات (الشكل (118)).
(118)
حول أي خط يمكننا وضع عدد لا حصر له من الأسطوانات. بين أي من هذه الأسطوانات يمكننا دائمًا وضع أخرى. هذا يشير بشكل مفهوم مفاهيمي مفهوم القابلية للتمييز. في كائن هندسي كهذا لا يوجد أي انقطاع.
الآن، انسوا الكرة وخذوا سطحًا مسطحًا. هو مجموعة من النقاط. ما كان نظام الإحداثيات الذي أخترته، يمكنني تعريف النقاط باستخدام كميتين: (x، y)، (r، q)، إلخ.
زوج من الأعداد الحقيقية. هذه الأزواج تم اختيارها من R²، أي من مجموعة الأعداد الحقيقية، مثل (3،8705، -17،56).
لأي زوج من الأعداد الحقيقية (x؛ y) هناك عدد لا نهائي من الجيران (x + Dx؛ y + Dy).
هذه الكائنات "المسبقة للمترية" تُسمى من قبل الرياضيين المنهاجات.
من الصعب للغاية التفكير في مثل هذا الوسط "المرن". في الشكل (119)، قدمنا سطحًا مسطحًا صلبًا، مزودًا بخصائص مترية، وأسفله ظل نقاطه.
(119)
الظل لا يملك شكلًا خاصًا، ولا امتدادًا. يعتمد على الشاشة وانتاج أشعة الضوء. في الشكل (120)، نقترح نسبيّة الظل بحسب الجسم.
(120)
هذه "الخطوط المتوازية" تشبه تلك الأشعة التي قدمتها لربط نقاط كرة بمركزها. هنا، نقاط المستوى "مرتبطة" بـ "مصدر" موجود في اللانهاية.
ابتعد عن هذه الفكرة الأخيرة للخطوط المستقيمة. خذ حزمة من المعكرونة المطهية (إذا لم تكن كذلك، يجب أن تكون صلبة وقابلة للكسر). يمكننا تمديدها. ولكن نحن نفرض على المعكرونة أن تبقى معاً. لا يجب تغيير جوارها.
(121)
كل هذا أمر خشن، أعرف ذلك، ولا هو تمامًا دقيق. أنا أحاول فقط إقناع القارئ بما يمكن أن تكون عليه منهجية، كائن هندسي بدون مترية، حيث الخاصية الرئيسية هي أن كل نقطة لها جيران.
المنهاج هو مجموعة من النقاط m. يمكنني تخيل أنني أربط كل نقطة من منهجية بزوج (M1، M2) من النقاط التي تنتمي إلى أسطح حقيقية، والتي تمتلك خصائص مترية، طول، إلخ.
أسمي منهجية بـ n أبعاد منهاج عظمي، والأسطح المرتبطة بـ n أبعاد ببساطة طيات. ثم أبني الغطاء بـ طيتين من منهجية.
في الشكل (122) يوجد غطاء بـ طيتين من منهجية m2 (بُعدين).
(122)
في الشكل (122)، رسمت طيات إقليدية متطابقة ومتوازية، مزودة بنفس المترية. ولكن يمكنني بناء الشكل (123):
سنسمّي النقاط M و M* نقاط مترابطة. بناء هاتين الطيات من "منهاج عظمي" له معنى دقيق: لكل نقطة M من الطية F، يمكننا تعيين نقطة مترابطة واحدة وفقط واحدة M*. هناك تطبيق من نقطة إلى نقطة. ثم يمكننا نسيان منهجية العظم.
لكل جوار ل نقطة من الطية F يتوافق جوار نقطة مترابطة M*. راجع الشكل (124). هذا يعني أن لكل منطقة منتظمة من F تتوافق منطقة منتظمة مترابطة تعود إلى F*.
(124)
هذا يظهر على وجه الخصوص أن النقاط المترابطة M و M* تُوصف بنفس مجموعة الإحداثيات.