a123
| 24 |
|---|
الانحناءات المترافقة.****
كيف يمكن فهم المساحات ثلاثية الأبعاد التي تتميز بانحناء محلي إيجابي أو سالب؟
ابدأ بمساحات ثنائية الأبعاد. خذ كروة وثبّت مسمارًا في نقطة عشوائية عليها، كما هو موضح في الشكل (125). ثبّت خيطًا طوله L، متصلًا بالمسمار بالقلم. يمكنك استخدام هذا لرسم دائرة، وهي محيط للكرة. محيط الكرة هو مجموعة النقاط التي تقع على نفس المسافة L من نقطة معينة S.
يمكننا إجراء عمليات مشابهة (الأشكال (125)):
- على سطح حذاء الحصان
- على سطح مسطّح.
(125)
على سطح مسطّح، المحيط هو 2πL بينما مساحة القرص هي πL².
على الكرة، المحيط ومساحة القرص أصغر. في المقابل، على سطح حذاء الحصان، هما أكبر.
خذ كرة واعتبر محيطًا يتوافق مع خط الاستواء لها. انظر الشكل (126). القيم تتوافق مع الشكل (126).
(126)
مساحة القرص هي 3.875 مرة أكبر من الجزء المقابل (الرمادي) من الكرة. محيطها أطول بنسبة 1.57 مقارنة بطول خط الاستواء.
اختبارات مشابهة ستظهر انحناء سطح حذاء الحصان السالب. إذا رسمنا منحنى مغلق، وهو مجموعة النقاط التي تقع على نفس المسافة L من نقطة معينة، على سطح حذاء الحصان، فإن مساحة هذا القرص ذو الانحناء السالب تكون أكبر من مساحة القرص المسطح πL². وبالمثل، يكون محيط القرص ذو الانحناء السالب أكبر من محيط القرص المسطح: 2πL.
الهندسة هي علم للعميان. يحاول الرياضيون تصميم اختبارات يمكن لسكان مساحة معينة إجراؤها لاستكشاف خصائصها الهندسية بأنفسهم. من خلال الأشكال السابقة، يمكن لسكان سطح ثنائي الأبعاد، الذين لا يستطيعون رؤية السطح من نقطة خارجية (لأنهم يعيشون فيه)، أن يكتشفوا من خلال قياس المساحة والطول ما إذا كانت المساحة التي يعيشون فيها تتميز بانحناء محلي إيجابي، أو سالب، أو صفر (مساحة أقليدية).
لاحظ أن هناك أسطحًا يمكن أن يكون انحناؤها المحلي إيجابيًا أو صفرًا أو سالبًا. مثال: حلقة.
(126ter)
تُطبَّق طرق مشابهة على المساحات ثلاثية الأبعاد. اختر نقطة O، أينما كانت. خذ خيطًا، وقلمًا، واستخدمه لرسم مجموعة النقاط التي تقع على مسافة معينة L من النقطة المعتبرة. تحصل على كرة ويمكنك قياس مساحتها. إذا تم بناء هذه السطح في مساحة ثلاثية الأبعاد أقليدية، فإن مساحتها ستكون: 4πL².
إذا وُجدت المساحة أصغر، فهذا يعني أن المساحة ثلاثية الأبعاد هذه ليست أقليدية. إنها مساحة ثلاثية الأبعاد ريمانية ذات انحناء إيجابي. إذا قُسّم الحجم، نجد أنه أصغر من:
(127)
ستكون الحالة معاكسة إذا كنا نتعامل مع مساحة ثلاثية الأبعاد ذات انحناء سالب. مساحة الكرة، التي تُعتبر مجموعة النقاط التي تقع على مسافة معينة L من نقطة ثابتة O، ستكون أكبر من 4πL². والحجم داخل هذه السطح المغلق سيكون أكبر من (127).
الكونيات لا تعتمد على مساحات بسيطة ثلاثية الأبعاد، بل على أسطح أرباعية الأبعاد (بتوقيع "هيبربوليكي")، لذلك فإن هذه العرض محدود. يجب اعتبارها نموذجًا تعليميًا بسيطًا.
الانحناء скаляр ريمان لمساحة بـ n أبعاد مختلف قليلاً.
في نموذجنا الكوني الحالي، نفترض أن الانحناء скаляр ريمان المحلي، في النقاط المترافقة (M, M)، معاكس:
*(127bis)
R* = - R
سيجد المتخصص تفاصيل أكثر في المقال:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, مارس 1998.
بعد ذلك، صورة تعليمية مفيدة في بعدين، تتوافق مع الشكل 39.
(128)
في الأعلى: مخروط مُعَدَّل. انحناء محلي (زاوي) صفر في جزء المخروط. كثافة انحناء إيجابي ثابت في الجزء (الرمادي) من الكرة.
في الأسفل: مخروط "مُعَدَّل سالب". كثافة انحناء محلي (زاوي) صفر في الجزء من المخروط المحيط بحذاء الحصان. كثافة انحناء سالب ثابت في الجزء من حذاء الحصان، المواجه لجزء الكرة.
الانحناءات مترافقة. مواجهة بعضها البعض، مع تطابق النقاط، أجزاء من المخروط المُعَدَّل والمُعَدَّل السالب ذات الانحناء المحلي الصفر.
مواجهة بعضها البعض، مع تطابق النقاط، سطح ذو انحناء إيجابي ثابت (جزء من كرة) وسطح ذو انحناء سالب (حذاء الحصان). كثافات الانحناء متساوية ومعاكسة. الحواف الدائرية مرتبطة، نقطة ب نقطة.
هذه صورة تعليمية لنموذجنا الكوني. لمزيد من التفاصيل الرياضية، انظر:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, مارس 1998.