| 2 |
الخطوط الجيوديسية.
...في ما يلي نتعامل مع أسطح ثنائية الأبعاد. بالمناسبة، لماذا يُعدّ السطح جسمًا ثنائي الأبعاد؟ لأنك تحتاج إلى معاملين لتحديد موقع نقطة عليه. مثال: خط الطول وخط العرض على الأرض.
...هي أشياء ستفهمها بيديك أفضل مما ستفهمها بعقلك. حاول أن تكتشف بعض الأشياء قبل أن تبدأ قراءة هذا النص. تحتاج إلى:
- ورق صلب ومرن في آن واحد.
- شريط لاصق ملوّن.
- مقص.
...في ما يلي، بهذا النوع من الشريط اللاصق الملوّن يمكنك صنع شرائط ذات عرض ثابت.
(6)
...خذ أي سطح، مثل هيكل سيارتك. يمكنك لصق شريطك اللاصق عليه، مع تجنّب التجاعيد بعناية. عندئذ تحصل على خطوط جيوديسية لهذا السطح. وهي لا نهائية على هيكل سيارتك.
يمكنك فعل ذلك على طبق مسطح. عندئذ تحصل على "الخطوط المستقيمة لمستواك".
"الخطوط المستقيمة" ليست سوى خطوط جيوديسية خاصة، تلك الموجودة على المستوي.
(7)
بثلاثة خطوط جيوديسية تصنع مثلثًا على هذا "السطح الإقليدي". عندئذ يكون مجموع الزوايا الثلاث 180°.
المخاريط الموجبة.
...الآن، لنبنِ "مخروطًا موجبًا"، نوعًا من "المخروط الإيجابي". خذ فقط قطعة ورق، سطحًا مسطحًا، واقطع بمقصك قطاعًا. ثم ضمّ الخطين SA وSB معًا، كما هو مبين في الشكل التالي.
(8)
...الآن، بشريطنا اللاصق، نرسم ثلاثة خطوط جيوديسية على ذلك السطح، كما هو موضح في الشكل (9). يمكننا قياس مجموع الزوايا الثلاث فنجد حالتين:
إذا كان المثلث لا يحتوي على قمة S لهذا المخروط الموجب، يبقى المجموع 180°.
إذا كان يحتوي على القمة، مهما كانت طريقة ترتيبه حولها، صغيرًا كان أو كبيرًا، فإن المجموع هو: 180° + q.
(9)
لفهم ذلك، يمكنك قطع مخروطك الموجب ووضعه مسطحًا. عندئذ تظهر زاويتك q بوضوح.
(10)
...يمكنك أن تتحقق بسهولة من أن الخطين المستقيمين AH و... ويمكننا لذلك أن نتحقق بسهولة من أن الخطين المستقيمين SH وSH' يشكّلان زاوية تساوي q.
... المخروط سطح يمكن وضعه مسطحًا، بعد أن تقطعه على امتداد خط يحتوي على القمة. بالفرنسية نقول إنه سطح "قابل للنشر"، لكنني لا أجد الكلمة الإنجليزية في قاموسي. الأمر نفسه بالنسبة للأسطوانة.
(11)
...يمكنك رسم خطوط جيوديسية على أسطوانة، بشريطك اللاصق. لكن، بعد أن تنجز قطعك وتضع أسطوانتك مسطحة، تصبح خطوطك الجيوديسية... خطوطًا مستقيمة.
يمكنك أيضًا دحرجة مثل هذه الأسطح (مخروط، أسطوانة) على مستوٍ. الشكل التالي.
(12)
...يمكنك رسم خط جيوديسي على مخروط أو على أسطوانة بالحبر، ثم دحرجته على مستوٍ، مستخدمًا إياه كقالب طباعة. عندئذ ستطبع على مستواك خطوطًا مستقيمة.
...وبالعكس، إذا رسمت خطوطًا مستقيمة على مستواك ودحرجت المخروط أو الأسطوانة عليه، قبل أن يجف الحبر، فستطبع عليه خطوطًا جيوديسية.
