(موجب) انحناء.
عندما نرسم مثلثًا، باستخدام شريطنا اللاصق، على مستوى،
فإن مجموع قيم زواياه يساوي 180°. هذا سطح إقليدي. سوف
نقول إنه لا يحتوي على انحناء. إنه حقًا سطح مستوٍ. مجموع
زوايا مثلثنا هو المجموع الإقليدي. عندما رسمنا المثلث
على مخروطنا، "بوزيكوننا"، وعندما كانت القمة S خارجه، كان المجموع
لا يزال 180°. على العكس، عندما كانت القمة داخله، كان المجموع 180°
زائد الزاوية q (القطع الذي تمكنا من بناء بوزيكوننا به، انظر الشكل (8)).
هذه القمة نقطة غريبة على السطح، مخروطية، وسوف نقول إنها تحتوي على بعض الانحناء (الموجب) المركّز.
إنها نقطة انحناء (موجب) مركّز.
الآن يمكننا إجراء قطعين، يقابلان الزاويتين q1
و q2. انظر
الشكل (13). ثم نحصل على سطح غريب له نقطتان مخروطيتان S1
و S2. انظر الشكل (14).
(13)
(14)
الآن يمكنك رسم أكبر عدد تريده من المثلثات الجيوديسية،
المقابلة لحالات مختلفة.
-
إذا لم تحتوِ على أي قمة مخروطية، فإن مجموع الزوايا
يساوي 180°. -
إذا احتوت على القمة S1، فإن المجموع يساوي
180° زائد q1. -
إذا احتوت على القمتين، q1
و q2، فإن
المجموع يساوي 180° + q1+
q2
(15)
تخيل الآن أنه يمكنك صنع عدد كبير من البوزيكونات الصغيرة جدًا
ولصقها معًا، كما هو موضح في الشكل (16). كل بوزيكون صغير جدًا يقابل
زاوية أولية Dq
. يمكنك ترتيب هذه المخاريط المصغرة بطريقة منتظمة. أعني: المسافة
بين قمة وقمم المخاريط المصغرة المجاورة ستكون شبه
ثابتة في كل مكان.
(16)
إذا صارت مخاريطك المصغرة أصغر وأصغر، وكذلك
زاويتها الأولية المرتبطة Dq،
فستبني جزءًا من سطح منتظم ذي كثافة انحناء ثابتة.
الكرة سطح ذو كثافة انحناء محلية ثابتة.
وبطريقة أبسط، يقال إن الكرة سطح ذو انحناء ثابت.
إذا رتبت مخاريطك المصغرة بطريقة مختلفة، يمكنك بناء
سطح ذي كثافة انحناء محلية متغيرة. على سبيل المثال بيضة.
بيضة الدجاجة سطح ذو كثافة انحناء محلية متغيرة. لكن كرة
تنس الطاولة سطح ذو كثافة انحناء ثابتة. ولهذا تتعرف الدجاجة
على بيضتها وتميزه عن كرة تنس الطاولة. إنها ترسم خطوطًا جيوديسية
بشريط لاصق، وهكذا...
في الواقع، الدجاجة لا ترسم الخطوط الجيوديسية ماديًا
على الجسم. إنها تفعل ذلك ذهنيًا.
(17)
في النسبية العامة يُطابَق بين كثافة الكتلة r
والانحناء المحلي.
بالطبع ساحة النسبية العامة ليست سطحًا
ثنائي الأبعاد. يمكنك تخيل سطح فائق ثلاثي الأبعاد. يمكنك تخيل كرة فائقة ثلاثية الأبعاد.
لكن من يستطيع تخيل سطح فائق رباعي الأبعاد؟
بالمناسبة، للانحناء الرباعي الأبعاد للسطح الفائق الرباعي الأبعاد المسمى
"الكون" سمات خاصة لن نستكشفها هنا. هذا يبيّن
أن النماذج التعليمية محدودة. لكنها جيدة لتحفيز الخيال
وفتح الذهن نحو عوالم مختلفة بعض الشيء.
