| 4 |
صورة تعليمية لجسم سماوي (نجم، كوكب، بيضة كثيفة)
النجم مثل الشمس هو تركيز للكتلة. وحوله: الفراغ، أو جزء من الفضاء "شبه فارغ"، لأنه يحتوي على غاز شديد التخلخل وفوتونات. في البعد الثاني، الصورة التعليمية المقابلة هي مخروط غير حاد (موجب):
(18)
يمكنك صنعه بمكوّنين. جزء من كرة وجزء من مخروط (موجب)، ملصوقين معاً. جزء الكرة هو سطح ذو كثافة انحناء ثابتة. جزء المخروط هو سطح مستوٍ، سطح ذو كثافة انحناء محلية صفرية. هذا المثال الأخير هو سطح إقليدي. جزء الكرة هو سطح غير إقليدي (سطح ريماني).
هذه هي الصورة التعليمية في البعد الثاني لجسم ذي كثافة ثابتة r، محاط بالفراغ.
كيف نثبّت العنصرين معاً، لضمان استمرارية المستوى المماس؟ الأمر بسيط. جزء المخروط الخاص بك يأتي من مخروط كان قطعه يقابل زاوية q. يُفترض أن جزء الكرة مبني من مخاريط أولية صغيرة موجبة، بحيث يحتوي على "مقدار معين من الانحناء الزاوي" q. إذا تساوت الزاويتان، سيكون المستوى المماس مستمراً.
لكن كيف نقيس مقدار الانحناء المحتوى في جزء معين من كرة؟
الانحناء الكلي.
يمكننا بناء سطح، بضم مخاريط أولية موجبة. يمكننا ترتيبه للحصول على سطح ذي كثافة انحناء ثابتة. حينها نعلم أن السطح هو جزء من كرة. إذا أضفنا المزيد والمزيد من المخاريط الأولية (الموجبة) ستكتمل هذه الكرة. إنها تحتوي على مقدار معين من الانحناء الزاوي. جميع الكرات تحتوي على المقدار نفسه. الانحناء الزاوي الكلي لكرة كرة الطاولة والانحناء الزاوي الكلي للأرض متساويان، رغم أن وزنهما مختلف جداً.
بالمناسبة، الانحناء الكلي لبيضة هو نفسه، لأن لها الطوبولوجيا نفسها. من حيث المبدأ، تصنع الدجاجات بيضاً ذا طوبولوجيا كروية. شخصياً لم أرَ قط بيضة ذات طوبولوجيا حلقية. سيقابل ذلك ثعباناً غريباً، بلا رأس ولا ذيل، أو شيء من هذا القبيل.
لنعد إلى كرات كرة الطاولة، الكرات العادية. إذا كان لهذا السطح كثافة زاوية محلية ثابتة فهذا يعني أن مقدار الانحناء الزاوي (مجموع الزوايا الأولية Dq) سيكون متناسباً مع المساحة. انظر الشكل 19. يمكن تحديد هذه المساحة بأي نوع من الحدود. لكن يمكننا استخدام الخطوط الجيوديسية للكرة. لنسمِّ S مساحة الكرة و s المساحة الرمادية، داخل المثلث.
(19)
رأينا أعلاه أن الانحراف (الموجب) عن المجموع الإقليدي (180°)، لمثلث مرسوم على سطح، يعتمد على عدد قمم المخاريط التي كانت داخل المثلث. كان المجموع 180° زائد كل الزوايا المقابلة لتلك القمم المحتواة.
وبالعكس، إذا قست الانحراف عن المجموع الإقليدي يمكنني قياس مقدار الانحناء المحتوى داخل المثلث.
يُسمى الخط الجيوديسي للكرة دائرة عظمى للكرة. انظر الشكل (20). خطوط الطول، وخط الاستواء، هي دوائر عظمى للكرة.
(20)
يمكننا قطع كرتنا إلى ثماني قطع متساوية المساحة. انظر الشكل (21). نحصل على ثمانية مثلثات كل زواياها 90°. حينها يكون الانحراف عن المجموع الإقليدي 90°. كل من هذه المثلثات يحتوي على انحناء زاوي يساوي 90°. وخلاصة القول إن الانحناء الكلي، الانحناء الزاوي الكلي للكرة هو 8 × 90° = 720° = 4 p.
(21)
كل مثلث رمادي يحتوي على p/2.
هل تستمتع بالسطوح المنحنية، بهندسة الأسطح الريمانية؟
إذا عدنا إلى مخروطنا غير الحاد نرى أن الانحناء الزاوي محتوى داخل الحد الدائري، في منطقة كثافة الانحناء الثابتة. جانب المخروط، جداره، ليس سطحاً محدوداً. يمكنك تمديده إلى ما لا نهاية إن أردت. مقدار الانحناء الزاوي لا يعتمد على محيط الحد، ولا على مساحة جزء الكرة. هذا الأخير يمكن تصغيره. انظر الشكل (22). حتى إذا صُغِّر إلى نقطة بسيطة فسيحتوي على المقدار نفسه من الانحناء الزاوي. لهذا نقول إن النقطة المخروطية كانت نقطة انحناء مركّز. وبالعكس يمكننا بناء أسطح ملساء بمجموعة من النقاط المخروطية.
المادة مكونة من ذرات. يمكن اعتبار الذرات أجساماً شبيهة بالنقاط. إنها "نقاط انحناء مركّزة" في الفضاء الثلاثي الأبعاد.
الهواء الذي تتنفسه وسط ذو كثافة ثابتة. إنه مكون من جزيئات وذرات. إنه مجموعة من نقاط الانحناء المركّزة، مرتبطة بأجزاء إقليدية من الفضاء. أنت تشبّه ذلك بوسط ذي انحناء ثابت.
في المرة القادمة التي تتنفس فيها، فكّر في ذلك.
(22)
