| 7 |
هندسات مترافقة.
يمكننا الآن ربط بوزيكون غير حاد ونيغاكون غير حاد. متقابلان: جزء من كرة وسرج حصان، بانحناء زاوي متعاكس + q و - q. لدينا تطابق نقطة بنقطة (تطبيق تبايني). في الشكل (39) تم رسم زوج من النقاط المترافقة.
نسمي الهندسات المترافقة بنيتين هندسيتين، برابط نقطة بنقطة، بحيث تكون كثافات الانحناء المحلية متعاكسة. هذا هو الحال بالنسبة لجزء الكرة وسرج الحصان المقابل. الأمر نفسه ينطبق على جزء البوزيكون، في مواجهة جزء من النيغاكون. كثافات الانحناء الزاوي المحلية لهما صفر.
(39)
الانحناء الموجب، في الطية F، محتوى بالكامل في جزء الكرة. جزء البوزيكون سطح إقليدي، "مسطح محلياً". في الطية الأخرى F*، الطية المترافقة، كل الانحناء الزاوي (السالب) محتوى في سرج الحصان. في الخارج، جزء النيغاكون "مسطح محلياً"، لا يحتوي على أي انحناء.
لاحظ أنه بمعطى طية يمكنك بناء الأخرى.
النسبية العامة.
الفكرة الأساسية هي أن المحتوى المحلي من "المادة-الطاقة" يحدد الهندسة المحلية، ويشكّل سطح الزمكان الفائق. لاحظ الكلمة المركبة "مادة-طاقة"، التي تُظهر أن أي محتوى يحدد هندسة الكون: المادة و الإشعاع. في قسم سابق أشرنا إلى حقيقة أن الفوتونات تساهم في الانحناء (الموجب). اليوم مساهمة الخلفية الكونية مهملة. مساهمة المادة في الهندسة مهيمنة. لكن، في الماضي البعيد، كانت الحالة معكوسة: في النموذج القياسي، عندما t < 500,000 سنة.
لنبحث عن نموذج تعليمي لتصور المفاهيم الأساسية للنسبية العامة. لنتعامل مع أنظمة الحالة المستقرة. اعتبر سطحاً مستوياً، دون أي إجهاد داخلي. يمكننا تعديل هندسته إذا أدخلنا إجهاداً محلياً. يمكننا إدخال شد موجب أو سالب (موتر الإجهاد). مثلاً إذا سخّنت فيلماً بلاستيكياً، سأخلق نفطة (تأثير انحناء موجب)
يمكنني أيضاً تشريب المادة بمنتج، عندما يجف، سيسبب تمدداً محلياً (تأثير انحناء سالب).
صانع الغلايات يعرف كيف يوظف التسخين والتبريد لتشكيل سطح معدني، مثلاً علبة تعرضت لحادث.
خذ أنبوباً معدنيًا بسيطاً. لنسخّنه من جهة ونبرّده من الجهة المقابلة. ماذا سيحدث؟
(40)
سيُثني الإجهاد الأنبوب، كما هو موضح في الشكل (41).
(41)
أدخلنا شدوداً في المعدن. هذا هو أصل كلمة موتر في الرياضيات، ومقاومة المواد، والهندسة. سيتحدث متخصص مقاومة المواد بمصطلحات موتر الإجهاد. سيتذرع الهندسي بـ موتر الانحناء. سيطبق متخصص النسبية العامة المبدأ الأساسي:
المحتوى المحلي من الطاقة-المادة <-------> الهندسة المحلية
بالطبع، هذا المحتوى المحلي من الطاقة-المادة يحدد الهندسة المحلية لسطح فائق رباعي الأبعاد. لكن الفكرة مشابهة.
كيف نكتب ذلك؟ باستخدام ما يسميه الرياضيون الموترات.
من الصعب المضي قدماً في هذا الاتجاه، دون تطوير دورة كاملة في الهندسة التفاضلية. معادلة أينشتاين الشهيرة هي:
(42)
S = c T
c ثابت بسيط (يسمى ثابت أينشتاين). يعتمد على قيم ثابتين آخرين:
-
سرعة الضوء c.
-
ثابت الجذب العام G.
عبر:
(42 مكرر)
S موتر هندسي ويتولى السمات الهندسية.
T موتر آخر، يصف المحتوى المحلي للكون. في هذا الموتر ستجد كثافة المادة r والضغط p. يُعبَّر عنهما ككثافات طاقة.
r c2
كثافة طاقة
لكن p أيضاً كثافة طاقة. عادةً يُعبَّر عن الضغط بباسكال لكل متر مربع. لكن باسكال لكل متر مربع هو أيضاً جول لكل متر مكعب. الضغط أساساً كثافة طاقة حجمية. الحقلان
r (x,y,z) و p (x,y,z)
لنظام حالة مستقرة، يشكلان مدخلات المسألة. من هذين الحقلين القياسيين يمكننا بناء الموتر T. ثم تصبح المسألة:
- ما الهندسة التي تتوافق مع حقل الموتر T (x,y,z) هذا، والتي تحقق المعادلة (42)؟
بمعطى المحتوى المحلي للكون، على المنظّر أن يبني الهندسة المحلية لسطح الزمكان الفائق. لكن، لماذا؟
هنا يستخدم الفرضية الأساسية الثانية:
- كل الأجسام التي تكوّن كوننا تتبع جيوديسيات سطح الزمكان الفائق.
يمكن أن يكون الجسم نجماً أو كوكباً أو ذرة أو فوتوناً أو جسيماً أولياً.
هل تأتي الجسيمات من معادلة الحقل؟ إطلاقاً. النسبية العامة تتجاهلها تماماً. بالنسبة لمتخصص النسبية العامة، الكون متصل، لا شيء آخر. دوال المدخلات r و p تقابل وصفاً ماكروسكوبياً للكون. الأمر نفسه للمخرجات: نظام الجيوديسيات. بالنسبة لمنظّر النسبية العامة، الكون سطح فائق، لا شيء آخر. يقول:
- أعطيتني الدالتين r (x,y,z) و p (x,y,z). بنيت لك السطح الفائق المناسب، الذي يطيع معادلة الحقل. حددت كل المسارات الممكنة: نظام الجيوديسيات. لكنني عاجز تماماً عن بناء جسيمات لك. آسف. راجع قسماً آخر.
خلاصة: الجسر بين النسبية العامة وعالم الجسيمات الأولية لا يزال ينتظر بانيه.
لكن الفلكي سيقول:
- من يهتم؟ يُفترض أن الفوتونات تتبع جيوديسيات خاصة لهذا السطح الفائق. هذا يعمل: يمكنني رصد الأشياء بأجهزة بصرية. يُفترض أيضاً أن الكواكب تتبع نوعاً آخر من الجيوديسيات. هذا يعمل أيضاً. يمكنني حساب مساراتها، والتنبؤ بمبادرة الحضيض الشمسي لعطارد. هناك أيضاً تأثير العدسة الجاذبية.
هو محق.
بضع كلمات عن هذا التأثير الجاذبي. أولاً، صورة المخروط غير الحاد هذه صورة تعليمية بسيطة. مثلاً لا يمكنها وصف المسارات الدائرية لكوكب حول نجم:
(43)
هذا يُظهر ببساطة حدود الصور التعليمية. لكن يمكننا استخدام هذا المثال الأخير لتوضيح تأثير العدسة الجاذبية، بجيوديسيتين:
(44)
أدناه، التمثيل الذهني الإقليدي للفضاء. هناك تأثير سراب. بدلاً من جسم واحد، يرى الراصد "سرابين جاذبيين".
