| 8 |
الصيغية اللامتغيرة إحداثيًا.
هذه كلمة مفتاحية أخرى من النسبية العامة. قلنا إن عمل عالم الكونيات كان مكافئًا للعمل الذي يتمثل في التنبؤ بشكل مادة ما، بسبب إجهاد داخلي.
خذ جسمًا، طوبولوجيته هي طوبولوجيا الكرة. إنها كرة مصنوعة من المعدن. وهنا أيضًا يمكننا تشكيلها، بواسطة تدفقات هواء ساخن وبارد.
(45)
تُحدث هذه التدفقات إجهادًا في المعدن، مما يعدل شكله. بالطبع، بما أن الحرارة تنتشر في المعدن، فإذا توقفنا عن التسخين والتبريد، تعود درجة حرارة الكرة إلى التجانس ويصبح مظهرها منتظمًا مجددًا.
نُحدث إجهادًا في المادة، مما يعدل هندستها.
يمكن وصف حقل الإجهاد هذا بواسطة كائن رياضي يُسمى موتر T.
يمكن حساب هندسة الجسم من معادلة حقل، مشابهة لمعادلة أينشتاين.
(46)
S = a T
حيث a ثابت وS موتر هندسي، يصف الخصائص الهندسية.
ستكون أفضل طريقة "لقراءة" الحل هي حساب النظام الجيوديسي. نحن نعرف الجيوديسيات الخاصة بالكرة، لكن جيوديسيات البيضة مختلفة. للتعبير عن هذه الجيوديسيات نحتاج إلى نظام إحداثيات. بالنسبة للكرة يمكننا استخدام نظام (q,j):
(47)
في هذا النظام الخاص من الإحداثيات يمكن التعبير عن جيوديسية الكرة بصيغة خاصة. على سبيل المثال المنحنيات:
q = ثابت (خطوط الطول)
هي جيوديسيات. لكن المنحنيات
j = ثابت (خطوط العرض)
ليست منحنيات جيوديسية لهذا السطح.
يمكننا تعريف نظام مشابه من الإحداثيات على سطح "البيضة". لكن شيئًا ما واضح: النظام الجيوديسي موجود بشكل مستقل عن تمثيله الرياضي (في نظام معين خاص من الإحداثيات).
النظام الجيوديسي لا متغير إحداثيًا.
مثال آخر أبسط بكثير. اعتبر جيوديسيات صفحة مستوية. إنها خطوط مستقيمة. يمكننا وصف هذه الخطوط المستقيمة في إحداثيات ديكارتية:
(48)
يمكننا أيضًا وصف هذه العائلة من الجيوديسيات في إحداثيات قطبية. عندئذ تكون المعادلات مختلفة تمامًا، لكنها تشير إلى العائلة نفسها من الخطوط المستقيمة. هذه الخطوط المستقيمة، جيوديسيات الصفحة المستوية، موجودة بشكل مستقل عن الإحداثيات المختارة. إنها كائنات لا متغيرة إحداثيًا.
المعادلات ليست سمة جوهرية.
هل هو شيء لا يتغير عندما ننتقل من نظام إحداثيات إلى آخر؟
نعم: المسار الجيوديسي، بين نقطتين M1 وM2 لا يتغير. الأمر نفسه بالنسبة لأي خط مرسوم على السطح. السطح، والنقاط، والمنحنى الذي يصل بينها موجودة بشكل مستقل عن الإحداثيات المختارة. الأمر نفسه بالنسبة لطول المسار بين M1 وM2. هذا صحيح أيضًا بالنسبة لقوس جيوديسي، وهو خط خاص يصل بين نقطتين:
(49)
بالمناسبة، هذا المسار الجيوديسي هو أيضًا مسار أقصى (على سبيل المثال الأقصر، الموضح هناك).
هذا مشابه بالنسبة للسطح الفائق الزمكاني، الذي يمتلك نظامه من الجيوديسيات، وهو أيضًا لا متغير إحداثيًا. على هذا السطح الفائق يوجد طول s، ينتمي إلى الكائن ومستقل عن نظام الإحداثيات المختار.
النقطة الصعبة هي أن المكان والزمان ليسا كميتين مستقلتين. نحن لا نعيش في فضاء ثلاثي الأبعاد، بنقاط (x , y , z). نحن ننتمي إلى سطح فائق رباعي الأبعاد يوصف بالكامل بواسطة نظامه من الجيوديسيات. اعتبر نقطتين متمايزتين من هذا السطح الفائق M1 وM2.
يمكن وصف هذه النقاط في نظام معين من أربع إحداثيات:
M1 ---> (x1 , y1 , z1,
t1 )
M2 ---> (x2 , y2
, z2, t2 )
تُسمى هذه النقاط أحداثًا. يمكننا حساب المنحنى الجيوديسي الذي يربط بينها، إن وُجد. هذه الأحداث ليست متطابقة. بين الاثنين يمكننا قياس مسافة s، وهي لا متغيرة إحداثيًا. يُسمى هذا الطول:
الزمن السليم s
افترض أنك وأنا نستخدم مركبة فضائية للسفر، من نقطة M1 إلى نقطة أخرى M2، تقع في الزمكان.
s هو قياس الزمن على ساعة لوحة قيادتنا.
ستجادل:
- لكن المكان موجود، أليس كذلك؟
- كن حذرًا. هذا التعريف لما نسميه المكان و"الزمن المطلق" corresponds to an arbitrary choice. إنهما مجرد طريقة ملائمة "لقراءة" السطح، كما عندما كتبنا معادلة الخطوط المستقيمة، في صفحة مستوية، في معادلتين مختلفتين. الشيء الوحيد الذي لا يتغير، والذي لا متغير إحداثيًا، هو فاصل الزمن السليم Dt بين حدثين مرتبطين بكائن آخر لا متغير إحداثيًا: خط جيوديسي. ما يُسمى "الزمن المطلق" t ليس سوى علامة زمنية اعتباطية إلى حد ما.
بتغيير نظام إحداثياتك، تغير قراءة الأحداث. في الأوراق التي سنقدمها في هذا الموقع سترى أن هذه مشكلة حقيقية.
على أي حال، أنت تفهم لماذا اختار الفيزيائيون والرياضيون صيغية لا متغيرة إحداثيًا، مبنية على الموترات.
معادلات الموترات لا متغيرة إحداثيًا.
هذه هي روح النسبية العامة. لكن، باستثناء استخدام عتاد متطور، يصعب أن أقول لك المزيد عنها.
