| 10 |
على النقيض من ذلك، توجد تفردات جوهرية حقيقية على الأسطح.
وهي تفردات هندسية حقيقية: (55)
(56)
(57)
وهكذا دواليك...
بالمناسبة، الثنية هي منطقة مميزة من السطح تتركز فيها
الانحناء الخطي. في الشكل (57)، على اليسار، لدينا انحناء خطي سالب. وعلى اليمين انحناء خطي موجب.
استخدمنا في كل شكل فرعي قطعتين من كرة. الكائن الكلي له نفس طوبولوجيا الكرة، مما يعني أن انحناءه الزاوي الكلي هو 4p
.
لنفترض أن الكائن الموجود على اليسار قد بُني من قطعتين من كرتين تحتوي كل منهما على انحناء زاوي مقداره 3p.
3p +
3p = 6p
هذا كثير جداً. إذن يجب أن يعادل الانحناء الخطي (السالب) هذا، للوصول إلى القيمة النهائية المطلوبة وهي 4p
:
كاستنتاج، تحتوي ثنيتنا على انحناء سالب
:
- 2p
.
يوزع هذا الانحناء بشكل منتظم على طول المنحنى الدائري، على طول الثنية.
لنعد إلى الأشكال (57). لقد رسمنا مثلثات مبنية من خطوط جيوديسية. لكن يمكنك عبور الثنية دون أي مشكلة باستخدام شريط لاصق (رفيع). أنت تعرف كيفية حساب والتنبؤ بمجموع زوايا المثلث الثلاث. ما عليك سوى مقارنة مساحة المثلث بمساحة الكرة. فائض الانحناء هو:
(58)
لكن يجب أن تأخذ في الاعتبار الانحناء (السالب أو الموجب) الموجود في الجزء من الثنية، في القوس mn. وهو:
(59)
لنفترض أن نوعاً من العدسات، على يمين الشكل (57)، بُني من قطعتين من كرة، تحتوي كل منهما على انحناء زاوي مقداره p
. لذلك، إذا تجاهلنا الثنية، فإن هذه المجموعة المكونة من قطعتين من كرة تحتوي على انحناء زاوي مقداره 2p
. لكن هذه العدسة لها طوبولوجيا كروية. يجب أن تكون مساهمة الانحناء الزاوي 2p.
إذن:
2p +
2p = 4p
( الانحناء الكلي للكرة )
يمكنك أيضاً التنبؤ بمجموع زوايا هذا المثلث الغريب، المتشكل من ثلاث خطوط جيوديسية. يحتوي القوس mn على انحناء زاوي خطي مقداره:
(60)
عند قياس مقدار الانحناء الزاوي الموجود في الثنية، داخل المثلث، يمكن تقدير الانحراف عن المجموع الإقليدي، وهو p .
ترى أنه يمكنك التعامل مع مشاكل الانحناء هذه، على الأسطح، بسهولة نسبية.
قد يحتوي السطح على نقاط مخروطية أو خطوط ثنية. وهي تفردات جوهرية، وليست تفردات اصطناعية ناتجة عن اختيار معين للإحداثيات. لاحظ أنه يمكننا تنعيم الثنية. عندئذٍ نحصل على شكل يشبه الفول السوداني:
(61)
هذا مشابه لتنعيم القمة النقطية للمخروط (انحناء زاوي مركز)، وتحويل الكائن إلى مخروط غير حاد (انحناء زاوي موزع على جزء من كرة).
لنفترض أن القطعتين الكرويتين، أعلاه، في الشكل (61)، تمثلان 2/3 من كرة، لكل منهما، أي انحناء مقداره
(62)
تحتوي المنطقة الرمادية من "الفول السوداني" على انحناء سالب. تحديداً:
(63)
