| 11 |
فضاء تمثيلي.
رأينا في قسم سابق أنه يمكن تسطيح أسطوانة. الآن، خذ قطعة ورق، ورقة مسطحة. إنها سطح إقليدي. يمكنك رسم خطوط جيوديسية عليها. الآن جرّدها.
(64)
لو استطعت جعل هذا السطح المجعّد صلبًا ورسمت خطوطًا جيوديسية عليه بشريط لاصق، لالتقيت مجددًا بالنظام نفسه! لم يتغيّر السطح حقًا. إذا كان يسكنه ساكن ما في "أرض مسطحة" كهذه، فربما لا يستطيع إدراك عملية التجعيد. سيبقى كل شيء طبيعيًا بالنسبة له، كما هي الحياة بالنسبة له اليوم: اتباع الخطوط الجيوديسية لسطحه الزمكاني ثنائي الأبعاد، مثلًا.
بتجعيد الورقة، لم تعدّل سوى النظام التمثيلي، طريقة إدماج السطح ثنائي الأبعاد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.
التعديل الأبسط هو تحويل صفيحة معدنية مسطحة إلى سطح مموّج. انظر الشكل (65)
(65)
قبل سنوات عديدة كنت في سوق كبير في أديس أبابا، إثيوبيا. هناك، المعدن نادر. تجد ورشات يحوّل فيها شبان أسطحًا من الحديد المموّج إلى صفائح مسطحة، باستخدام مطرقة بسيطة. لو كان أحدهم قد رسم خطًا جيوديسيًا قبل العملية، لوجدنا أن نظام الخطوط الجيوديسية سيبقى دون تغيير.
لكن، لأقول الحق، لست متأكدًا حقًا أن هذا النوع من الناس يعرف ما هو الخط الجيوديسي، من وجهة نظر رياضية، بالطبع. أي شخص يصنع السلال يستخدم خطوطًا جيوديسية، بطبيعة الحال.
أتذكر أنني كنت مدرّسًا في صناعة السلال، في مخيم عطلات، قرب برلنغتون وبحيرة شامبلين، فيرمونت... قبل سنوات عديدة.
ضع في اعتبارك أن للأجسام الهندسية وجودها وخصائصها الخاصة، المستقلة عن الطريقة التي تتصورها بها، في فضاء ذي عدد أبعاد أعلى. مجعّدة كانت أو لا، الورقة ورقة، أي سطح إقليدي.
من المفترض أن نعيش في سطح فائق رباعي الأبعاد. من المفترض أن نعيش جميعًا الشيء نفسه، بالمناسبة. لكن زوجتي كلير، وهي شخصية ساحرة جدًا، مقتنعة أنني أعيش في فضاء ذي أبعاد أعلى (خمسة، كما تظن). وهذا يسبب أحيانًا بعض الصعوبات في التواصل عندما أكون في مكان ما في بعدي الخامس الشخصي.
لكن هل تعيش الإناث حقًا في سطح فائق رباعي الأبعاد؟ أحيانًا أتشكك في ذلك، لكن هذا موضوع آخر.
اعترف بأنك تعيش في سطح فائق رباعي الأبعاد واتبع الخطوط الجيوديسية لهذا الزمكان، التي تتبعها كالثور الذي يتبع أخدوده.
الآن افترض أنك الله. تريد تمثيلًا كاملًا لهذا السطح الفائق رباعي الأبعاد. إذن تحتاج إلى بعد إضافي واحد على الأقل. شخصيًا، أظن أنه إن كان الله موجودًا، فلا بد أن يعيش في عالم فائق عشاري الأبعاد. ستُطوَّر الحجج اللاحقة في الفيزياء الهندسية ب، وتأتي من نظرية الزمر.
هل يملك الله بنية زمرية؟
عمليًا، يحسب المتخصص في النسبية العامة حلًا لمعادلة حقل (حل أينشتاين). ثم يفحص نظام الخطوط الجيوديسية. إنها "خطوط مستقيمة رباعية الأبعاد". في الزمكان، وأنت تتبع الخطوط الجيوديسية، النظام العام هو:
- امضِ مستقيمًا! لا تنعطف يسارًا أو يمينًا.
أنت تطيع، فقط لأنك لا تستطيع فعل شيء آخر. الانعطاف هراء، في الزمكان. كل شيء، كل شخص "يمضي مستقيمًا".
لكن الأشياء، المسارات، trajectoires، تبدو منحنية لعيوننا ثلاثية الأبعاد. نقرؤها في تمثيلنا الذهني للفضاء. نواجه جدار كهف أفلاطون، ننظر إلى ظلال ثلاثية الأبعاد راقصة.
لنعد إلى صورتنا التعليمية ثنائية الأبعاد، إلى المخروط الأبتر. من المفترض أن يمثل الفضاء في جوار تركّز كتلي (المنطقة الرمادية). نفترض أنه يقابل حالة مستقرة.
يمكننا استخدام إحداثيات كروية (r، q، j) كعلامات فضائية (في ثلاثة أبعاد). في بعدين لدينا اثنتان فقط: (r، q).
ثم يمكننا إسقاط الشكل على مستوٍ واستخدام المجموعة نفسها من الإحداثيات القطبية. انظر الشكل التالي.
(66)
كما قيل أعلاه، سطح المخروط الأبتر نموذج تعليمي خام، يوحي بحل خاص لمعادلة حقل أينشتاين
(67)
S = c T
بُني عام 1917 على يد شفارتزشيلد. هذا عمل لامع وذكي. فقط لأقول إن ألبرت في ذلك الوقت لم يكن عبقريًا وحيدًا تائهًا في جزيرة صحراوية. كثيرون يظنون أن عالم الرياضيات الألماني العظيم هيلبرت اخترع "معادلة أينشتاين". وآخرون أشاروا إلى أن مدام أينشتاين ربما أسهمت بفعالية في بناء النسبية الخاصة، التي تأتي طبيعيًا من أعمال بوانكاريه ولورنتز (إن نظرت إلى أعمال أينشتاين، سترى أنه نادرًا ما يذكر آخرين).
حل شفارتزشيلد علامة بارزة في النسبية العامة. يُستخدم لحساب المسارات النسبية للكواكب حول الشمس، مُبرهنًا على مقدمة الحضيض لعطارد.
سيقول أي أحد فورًا:
- لماذا لم يحسب شفارتزشيلد ذلك بنفسه؟
كان هناك سبب وجيه جدًا: لقد كان ميتًا.
كان شفارتزشيلد وطنيًا وأصرّ على الذهاب إلى الجبهة عام 1917. هناك تعرّض للغاز وتوفي لاحقًا. واصل أينشتاين العمل، الذي أصبح "نظرية أينشتاين".
كان حلًا مستقرًا. لاحقًا حاول أينشتاين بناء نموذج للكون، حيث يمكن تعريف الانحناء بمحتوى الطاقة-المادة. لكن في ذلك الوقت، لم يعرف أحد أن الكون غير مستقر. حاول ألبرت بناء نموذج مستقر، لكن الأمور لم تكن جيدة. ثم زار إيلي كارتان، عالم رياضيات فرنسي عظيم، الذي أوصى بإضافة ثابت إلى معادلة الحقل، وهو ما فعله أينشتاين.
ثم اخترع طيار شراعي روسي يدعى فريدمان حلًا غير مستقر. في الفترة نفسها تقريبًا اكتشف إدوين هابل الانزياح الأحمر والسمات غير المستقرة للكون. خاب أمل أينشتاين كثيرًا وقال:
- لو كنت أعلم أن الكون غير مستقر، لكنت وجدت الحل قبل فريدمان!
لو، كما كان يقول الإسبرطيون.
لكن تلك القصة لم تنته هناك. في البداية، بنى فريدمان الحل الدوري، أحد الحلول الثلاثة التي تشكل "نماذج فريدمان".
صمت أينشتاين سنوات. ثم، بعد وفاة فريدمان، نشر "نموذج أينشتاين-دي سيتر"، "حل فريدمان القطعي المكافئ".
لاحقًا قدّم باحث بولندي شاب يدعى كالوزا ورقة إلى "البروفيسور أينشتاين"، فرفض نشرها أكثر من سنة. شكا كالوزا إلى أينشتاين، فأجاب:
- عليك أن تنظر عن كثب إلى هذه النظرية. أنا متشكك.....
بعد سنوات عديدة أصبحت فكرة كالوزا (إضافة بعد خامس إلى الزمكان) نقطة انطلاق أعمال متقدمة (بما فيها مقاربة الأوتار الفائقة). انظر الفيزياء الهندسية ب.
حسنًا، لم يكن ألبرت رياضيًا إلى هذا الحد......
لنعد إلى النموذج المستقر ثلاثي الأبعاد المقابل لهندسة الزمكان حول الشمس. يعطي الحساب خطوطًا جيوديسية تقع في مستويات. إذا كان تأثير الانحناء معتدلًا، والسرعة صغيرة بالنسبة لسرعة الضوء c، فإن إسقاطها، في زمكان إقليدي تمثيلي، يقابل مسارات شبه كبلرية وقوانين كبلر. يمكننا نسيان الزمن ورسم هذه الخطوط الجيوديسية في مستويات، باستخدام إحداثيات قطبية.
r = f (q).
في حل شفارتزشيلد، هناك في الواقع "حلان متريان" مرتبطان، كما أُشير في الشكل (68). داخل "الجسم الكتلي" يُفترض أن كثافة الكتلة r ثابتة. هناك موتر الطاقة-المادة T غير صفري. لكن في الخارج، r وT معدومان.
(68) 
هذه هندسة مركّبة. في ثلاثة أبعاد تُظهر كثافة الكتلة انقطاعًا مفاجئًا عند سطح (يُفترض أنه كرة) "تركّز الكتلة". هذا مشابه لانقطاع كثافة الانحناء الزاوي على السطح (غير صفرية في المنطقة الرمادية، معدومة في الخارج. تصبح الحدود كرة S1، أي... دائرة).
في أربعة أبعاد يمكن بناء الرابط الرياضي، لضمان استمرارية الخطوط الجيوديسية. هذا مشابه لوصلة جزء كرة-جزء مخروط موضعي.
عندما تصبح الكتلة مهمة (وهو ما لا يمكن وصفه بنموذجنا التعليمي الخام ثنائي الأبعاد) لم تعد المسارات المغلقة إهليلجية.
انظر الشكل (69). هذا الرسم يقابل مسار مركبة فضائية حول نجم نيوتروني.
مسار عطارد حول الشمس مشابه لكن مقدمة الحضيض للمسارات الإهليلجية تبلغ 0.15° في القرن.
(69) 
يومًا ما سنضمّن الصيغ والبرنامج الذي يجعل من الممكن اللعب بتلك المسألة. ليس صعبًا جدًا.
بعض المعلومات الرياضية في نهاية هذه الصفحة وفي الصفحة التالية، إن أردت يمكنك الذهاب مباشرة إلى الصفحة 13
