| 23 |
سياق هندسي.
الكرة جسم هندسي ثنائي الأبعاد. نحتاج إلى كميتين، عددين، سلميين، لتحديد موقع نقطة عليها.
الكرة سطح يمتلك طوبولوجيا. طوبولوجياه مختلفة عن طوبولوجيا الحلقة.
كلاهما يمتلك منظومات جيوديسية. وكما أشير في قسم سابق، يمكننا تصور نقطتين متمايزتين M1 وM2 على كرة ومنحنى يربطهما. ثم يمكننا قياس الطول على طول هذا المسار الخاص. إنها كمية لا تتغير بتغير الإحداثيات. توجد كرة S2 بشكل مستقل عن أي فضاء تمثيلي ثلاثي الأبعاد. لكن يمكننا تصورها في فضائنا الإقليدي الثلاثي الأبعاد المألوف، الذي يفترض أننا نعيش فيه. ثم يمكننا إعطاء مركز لهذه الكرة ووصل جميع نقاطها به. انظر الشكل (116). كل نقطة تقابل زاويتين: q و j.
(116)
لقد أحدثنا ثقباً في الكرة لإظهار المتجهات OM، حيث O هو المركز وM نقطة على الكرة.
الآن، في الشكل (117) نحتفظ بالمتجهات وننسى الكرة.
(117)
هذه الأنصاف المستقيمة لانهائية، لكننا رسمناها مقطوعة، عند طول معطى، يقابل نصف قطر كرتنا R. كل مستقيم يقابل زوجاً (q, j). لقد اختفت البنية المترية. لا جيوديسيات، لا أطوال. ماذا يبقى؟
لأي من تلك الأنصاف المستقيمة جيران، يشكلون جوارها. يمكن تصور كل نصف مستقيم محاطاً بسلسلة من المخاريط (الشكل (118)).
(118)
حول أي خط يمكننا وضع ما نشاء من خطوط المخاريط. وبين أي مخروطين يمكننا دائماً وضع مخروط آخر. هذا يوحي حدسياً بمفهوم القابلية للاشتقاق. في مثل هذا الجسم الهندسي لا يوجد انفصال.
الآن، انسَ الكرة وخذ سطحاً مستوياً. إنه مجموعة نقاط. أياً كان نظام الإحداثيات الذي أختاره، يمكنني تعريف النقاط بكميتين: (x,y)، (r,q)، وهكذا.
زوج من الأعداد الحقيقية. هذه تُنتقى من R2، أي من مجموعة الأعداد الحقيقية، مثل (3,8705 ، - 17,56).
لأي زوج من الأعداد الحقيقية (x ; y) عدد لانهائي من الجيران (x + Dx ; y + Dy).
هذه الأجسام "قبل-المترية" يسميها الرياضيون المتعددات (manifolds).
من الصعب جداً التفكير في مثل هذا الوسط "المرن". في (119) رسمنا سطحاً مستوياً صلباً، بخصائص مترية، وتحته ظل نقاطه.
(119)
الظل ليس له شكل خاص ولا امتداد. إنه يعتمد على الشاشة وإنتاج أشعة الضوء. في الشكل (120) نقترح نسبية الظل بالنسبة إلى الجسم.
(120)
هذه "الخطوط المتوازية" شبيهة بتلك الأشعة التي أدخلناها لربط نقاط الكرة بمركزها. هنا نقاط المستوي "مربوطة" بـ"مصدر" يقع في اللانهاية.
تخلَّ عن هذه الفكرة الأخيرة عن الخطوط المستقيمة. اعتبر حزمة من السباغيتي المطبوخة (إن لم تكن كذلك، فينبغي أن تكون صلبة وقابلة للكسر). يمكننا ثنيها. لكننا نفرض على السباغيتي أن تبقى متلاصقة. يجب ألا يُعدَّل جوارها.
(121)
كل ذلك بدائي جداً، أعلم، وغير صارم تماماً. أنا فقط أحاول أن أوحي للقارئ بما يمكن أن يكون متعدداً، جسماً هندسياً بلا مترية، حيث الخاصية الرئيسية هي أن لأي نقطة جيراناً.
المتعدد مجموعة نقاط m. يمكنني أن أتخيل أنني أربط أي نقطة من متعدد بزوج (M1 ، M2) من النقاط، تنتمي إلى أسطح حقيقية، تمتلك خصائص مترية وطولاً وما إلى ذلك....
أسمي المتعدد ذا البعد n متعدداً-هيكلياً، والأسطح ذات البعد n المرتبطة به تُسمى ببساطة طيّات. ثم أبني
الغطاء المزدوج الطيّات لمتعدد.
في الشكل (122) الغطاء المزدوج الطيّات لمتعدد m2 (بعدين).
(122)
في (122) رسمت طيّات إقليدية متطابقة ومتوازية (مستويات) بمتريات متساوية. لكن يمكنني بناء الشكل (123):
سنسمي M وM* نقطتين مترافقتين. بناء هاتين الطيّتين من "متعدد هيكلي" له معنى محدد: لأي نقطة M من الطية F يمكننا ربط نقطة مترافقة واحدة ولا غير M*. هناك تقابل نقطة بنقطة. ثم يمكننا نسيان المتعدد-الهيكلي.
لجوار أي نقطة من الطية F يقابل جوار نقطتها المترافقة M*. انظر الشكل (124). هذا يعني أن لأي منطقة منتظمة من F تقابل منطقة منتظمة مترافقة تنتمي إلى F*.
(124)
هذا يُظهر على وجه الخصوص أن النقطتين المترافقتين M وM* توصفان بالمجموعة نفسها من الإحداثيات.
