| 24 |
التقوسات المترافقة.
كيف يمكننا فهم الفضاءات الثلاثية الأبعاد ذات التقوس المحلي الموجب أو السالب؟
لنبدأ بالأسطح ثنائية الأبعاد. تخيل كرة وثبّت مسمارًا في مكان ما عليها، كما هو موضح في الشكل (125). ثبّت خيطًا طوله L يربط المسمار بقلم رصاص. يمكننا استخدام هذا لرسم دائرة، وهي خط موازٍ للكرة. الخط الموازي للكرة هو مجموعة النقاط التي تقع على نفس المسافة L من نقطة معطاة S.
يمكننا إجراء عمليات مشابهة (الأشكال (125)):
-
على سرج حصان
-
على مستوٍ.
(125)
على السطح المستوي يكون المحيط 2 p L بينما مساحة القرص p L2.
على الكرة يكون المحيط ومساحة القرص أصغر. على سرج الحصان، على العكس من ذلك، يكونان أكبر.
تخيل كرة وخطًا موازيًا يتطابق مع خط استوائها. انظر الشكل (126). القيم تتوافق مع الشكل (126)
(126)
مساحة القرص أكبر بـ 3.875 مرة من الجزء المقابل (الرمادي) من الكرة. محيطه أطول بـ 1.57 مرة من طول خط الاستواء.
ستُظهر اختبارات مشابهة التقوس السالب لسرج الحصان. إذا رسمنا منحنى مغلقًا، مجموعة نقاط على نفس المسافة L من نقطة معطاة، على سرج حصان، فإن مساحة هذا القرص ذي التقوس السالب أكبر من مساحة قرص مستوٍ p L2. وبالمثل فإن محيط القرص ذي التقوس السالب أكبر من محيط القرص المستوي: 2 p L.
الهندسة علم للمكفوفين. يحاول المهندسون بناء اختبارات يمكن لسكان فضاء معطى إجراؤها لاكتشاف خصائصه الهندسية بأنفسهم. من الأشكال السابقة، يمكن لسكان سطح ثنائي الأبعاد، غير القادرين على رؤيته من وجهة نظر خارجية (لأنهم يعيشون فيه)، أن يكتشفوا، من خلال قياس المساحة والطول، ما إذا كان الجزء من السطح الذي يعيشون فيه يمتلك تقوسًا محليًا موجبًا، أو تقوسًا محليًا سالبًا، أو تقوسًا محليًا معدومًا (فضاء إقليدي).
لاحظ أن هناك أسطحًا يمكن أن يكون تقوسها المحلي موجبًا أو معدومًا أو سالبًا. مثال: الطارة.
(126ter)
تنطبق طرق مشابهة على الفضاءات الثلاثية الأبعاد. اختر نقطة O في مكان ما. خذ خيطًا و"قلم رصاص"، واستخدمه لرسم مجموعة النقاط الواقعة على مسافة معطاة L من النقطة المعتبرة. تحصل على كرة ويمكنك قياس مساحتها. إذا بُني هذا السطح في فضاء ثلاثي الأبعاد إقليدي، فستكون هذه المساحة: 4 p L2.
إذا وُجدت هذه المساحة أصغر، فهذا يعني أن هذا الفضاء الثلاثي الأبعاد ليس إقليديًا. إنه فضاء ثلاثي الأبعاد ريماني، ذو تقوس موجب. إذا قسنا الحجم سنجده أصغر من:
(127)
ستنعكس الحالة إذا تعاملنا مع فضاء ثلاثي الأبعاد ذي تقوس سالب. ستكون مساحة الكرة، المعتبرة كمجموعة نقاط تقع على مسافة معطاة L من نقطة ثابتة O، أكبر من 4 p L2. وسيكون الحجم، داخل ذلك السطح المغلق، أكبر من (127).
لا يقوم علم الكونيات على فضاءات ثلاثية الأبعاد بسيطة، بل على فوق-أسطح رباعية الأبعاد (ذات "توقيع قطعي") بحيث يكون هذا العرض محدودًا. يجب أن نعتبره نموذجًا تعليميًا خامًا.
إن تقوس ريمان القياسي لفضاء ذي n بُعد مختلف إلى حد ما.
في نموذجنا الكوني الحالي، سنفترض أن تقوس ريمان القياسي المحلي، عند النقاط المترافقة (M, M*)، متعاكسان: (127bis)
R* = - R
سيجد المتخصص تفاصيل أكثر في الورقة:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A , 5 , march 1998.
بعد ذلك، صورة تعليمية مفيدة ثنائية الأبعاد، تتوافق مع الشكل 39.
(128)
أعلى: بوزيكون مُنعَّم. تقوس محلي (زاوي) معدوم في جزء البوزيكون. كثافة تقوس (زاوي) موجب ثابتة في الجزء (الرمادي) من كرة.
أسفل: "نيغاكون مُنعَّم". كثافة تقوس محلي (زاوي) معدومة في جزء النيغاكون المحيط بسرج الحصان. كثافة تقوس (زاوي) سالب ثابتة في جزء سرج الحصان، المقابل لجزء من كرة.
التقوسات مترافقة. وجهًا لوجه، مع تناظر نقطة بنقطة، أجزاء التقوس المحلي المعدوم من البوزيكون والنيغاكون.
وجهًا لوجه، مع تناظر نقطة بنقطة، سطح ذو تقوس موجب ثابت (جزء من كرة) وسطح ذو تقوس سالب (سرج حصان). كثافتا التقوس متساويتان ومتعاكستان. الحدود الدائرية مرتبطة نقطة بنقطة.
هذه صورة تعليمية لنموذجنا الكوني. لمزيد من التفاصيل الرياضية، انظر:
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4 , march 1998.
