f108
| 8 |
|---|
الثبات بالنسبة للتغير في الإحداثيات.
...هذا مفهوم أساسي في النسبية العامة، وهو ليس من السهل شرحه. لقد قلنا إن البحث عن "حل كوني"، سواء ثابت أو غير ثابت، يعني بناء سطح فائق الأبعاد (أربعة أبعاد) يكون "حلًا لمعادلة الحقل".
...لنأخذ مثالًا كجسم من الصلب له طوبولوجيا الكرة. هذا "كرة من الصلب". من السهل تخيل أنه يمكن تشوه هذا السطح بتسخينه وتكديسه في أماكن مختلفة. على سبيل المثال، بتسخين نقطة معينة وتكديس المنطقة المقابلة، يمكن تحويل هذه الكرة إلى شكل بيضة. البيضة كائن له طوبولوجيا الكرة، لكنه سطح منحنى متغير.
...بتسخين مكان ما وتكديس مكان آخر، سنخلق توترات في المعدن. بالطبع، بما أن هذا المادة موصلة، فإن توقف التسخين والتكديس سيؤدي إلى تجانس درجة الحرارة، ويعود الجسم إلى شكله الكروي. المهم هنا هو القدرة على إنشاء حالة ثابتة مع مجال حرارة غير متجانس. هذا المجال يولد توترات، ويمكن تمثيل هذه التوترات بشكل رياضي ككائن يسمى تناظر T.
شيء ما يصف هندسة هذا الكائن. يُسمى هذا مترية. وباستخدام هذا الكائن الرياضي الثاني، يمكننا:
- حساب التمثيل الهندسي S
- حساب المسارات الجيوديسية للسطح.
يمكن حساب هندسة هذا السطح من معادلة مشابهة لمعادلة آينشتاين، على الشكل:
S = a T
حيث a ثابت. وبمعرفة مجال درجة الحرارة في الصلب مسبقًا، أي التمثيل التوافقي للتوترات، يمكن استنتاج هندسته. أفضل طريقة لـ"قراءة" هذه الهندسة هي تحليل نظام الجيوديسيات. نعرف جيوديسيات الكرة (دوائرها الكبرى). أما جيوديسيات البيضة فهي مختلفة.
...لوصف هذه الجيوديسيات، سنحتاج إلى تحديد نظام إحداثيات على السطح. بالنسبة للكرة، يمكننا استخدام النظام الكلاسيكي للإحداثيات الزاوية-الارتفاعية.
...في هذا النظام الخاص من الإحداثيات، تمثل الجيوديسيات للكرة معادلات معينة.
على هذه الكرة، تمثل المنحنيات q = ثابتة عائلة الجيوديسيات التي تمر بنقطتين. أما المنحنيات j = ثابتة (المتوازيات) فهي ليست جيوديسيات للسطح.
...يمكننا أيضًا تعريف نظام إحداثيات مشابه وكتابة معادلات الجيوديسيات للسطح "البيضة". لكننا نلاحظ فورًا أمرًا جوهريًا: الجيوديسيات للسطح لا تعتمد على الإحداثيات التي نختارها لوصفها، تمامًا كما أن نقاط الكرة أو البيضة موجودة بغض النظر عن النظام المستخدم لتحديد مواقعها.
...وبالمثل، على مستوى، يمكن تمثيل النقاط باستخدام إحداثيات ديكارتية أو إحداثيات قطبية. الخطوط المستقيمة على المستوى هي جيوديسيات.
يمكن وصف خط مستقيم في نظامين مختلفين من الإحداثيات:
...إنه نفس الجيوديسية، مع وصفين مختلفين تمامًا. الخطوط المستقيمة موجودة بغض النظر عن الطريقة التي نصف بها، أو اختيارنا للإحداثيات. ويمكننا تخيل... عددًا لا نهائيًا منها.
...إذًا، ما هو الجوهر؟ الجواب: الطول s المقاس على الخط المستقيم (أو على طول أي مسار منحني). بين نقطتين M1 وM2 على سطح، المسار الأقصر هو جيوديسية.
...وبالمثل، المسافة بين نقطتين على جيوديسية كائنين "كرتين" أو "بيضة" هي كمية لا تعتمد على النظام المختار من الإحداثيات. إذا أخذنا نقطتين M1 وM2 على سطح، ورسمنا القوس الجيوديسي الذي يربطهما، فإن الطول s المقاس على طول هذا القوس سيكون نفسه، بغض النظر عن النظام المستخدم لتحديد المواقع.
...هذا ينطبق أيضًا على السطح الفائق الأبعاد الأربعة الذي نسميه "الكون". يمتلك هذا السطح نظامه الخاص من الجيوديسيات، والتي تكون أيضًا ثابتة بالنسبة للتغير في الإحداثيات. لا نعيش في فضاء (x, y, z, t) مع إحداثيات موضعية وتنسيق زمني، بل نعيش في سطح فائق أربعة أبعاد يمكن وصفه تمامًا بشبكة جيوديسياته. على هذه الجيوديسيات، هناك طول s ثابت بالنسبة للتغير في الإحداثيات. لم تعد النقاط في هذا السطح نقاط فضاء، بل نقاط في سطح فائق زماني-مكان. نسمّيها أحداثًا. إذًا، تفصل حدثين مختلفين شيء نسميه s. ولكن ما هو هذا الشيء فعلاً؟
هو الزمن الحقيقي.
...مسار جيوديسي في هذا السطح الزماني-مكان يفصل بين حدثين M1 وM2. كل ما يمكنني قوله هو أنه لو استخدمت وسيلة نقل لتنفيذ هذا المسار في الزمان-المكان، لكان قد مرّ زمن s على ساعتي المحمولة.
اختيار نظام إحداثيات يعني تحديد نقاط الزمان-المكان باستخدام إحداثيات مكانية (x, y, z) وتنسيق زمني t. لكن بما أن هذا الاختيار عشوائي، فإن هذا الزمان والمكان ليس لهما وجود داخلي. إنهم مجرد طرق لـ"قراءة" السطح، لاستكشافه. الشرط الوحيد: حسب الفرضية المُقدَّمة، لا يمكننا التحرك إلا على الجيوديسيات، وعلى هذه الجيوديسيات، الشيء الوحيد الموثوق الذي يمكن الاعتماد عليه هو "الزمن الحقيقي المنقضي" s، وليس هذا الزمن t، الذي هو مجرد نظام لتحديد التوقيت (علامة زمنية).
لكل اختيار لنظام إحداثيات، نظام مختلف لقراءة الأحداث والظواهر.
...لذلك، حاول الفيزيائيون إيجاد صيغة رياضية لا تعتمد على اختيار الإحداثيات. هذه هي جوهر الصيغة التناظرية. لا يمكننا قول أكثر من ذلك حول هذا الموضوع، خشية الدخول في تفاصيل تقنية معقدة نسبيًا.
مشكلة التفردات.
على الكرة، يُدخل الاختيار الكلاسيكي للإحداثيات الزاوية تفردات قطبية.
من المستحيل رسم خريطة للكرة دون إدخال هذه التفردات القطبية.
...ملاحظة: يمكن رسم خريطة للكرة باستخدام تفرد واحد فقط. نُنشئ على الكرة عائلة أولى من المنحنيات (دوائر) بقطعها بمستويات، كما هو موضح أدناه:
ثم عائلة ثانية:
باستثناء هذا التفرد الوحيد، لا توجد مشكلة. إذا نظرنا إلى الكرة من الجانب الآخر، سنرى هذا:
...باستثناء التفرد الوحيد S، يمكن تحديد النقاط بسهولة. لكن قيم المعاملات a وb التي تحدد هذا تفرد الشبكة S هي... عشوائية.
...مع ذلك، الكرة ليست مميزة هندسيًا أو داخليًا. اقلب كرة بلياردو أو بيضة في كل الاتجاهات، لن تجد أي نقطة مميزة.
إذًا، هذه التفردات نُشِئت بسبب اختيار الإحداثيات.
../../../bons_commande/bon_global.htm
ملخص
المقال ملخص
العلم الصفحة
الرئيسية
**
عدد مرات زيارة هذه الصفحة منذ 1 يوليو 2004** :